Soluciones Problemas Capítulo 3: Mecánica cuántica I. λ (nm)

Transcripción

1 Soluciones Problemas Capítulo 3: Mecánica cuántica I ) (a) La distribución espectral viene dada por R(λ) (/4)cu(λ), donde u(λ) es la densidad de energía radiada que a su vez viene dada por la ley de Planck: Así pues, u(λ) 8π/λ5 e /λk BT. R(λ) π /λ 5 e /λk BT. Nótese que R(λ) tiene dimensiones de una potencia por unidad de volumen y, por tanto, la expresaremos en W/m 3 (o en un múltiplo conveniente de W/m 3 ). Haciendo uso del valor de las diversas constantes fundamentales que aparecen en la expresión anterior (ver apéndice D de las notas del curso) es fácil mostrar que la distribución espectral para estas tres estrellas tiene el aspecto que se muestra en la siguiente figura. R(λ) (x W/m 3 ) Aldebarán R(λ) (x 3 W/m 3 ) Sol R(λ) (x 6 W/m 3 ) Eridani B (b) Numéricamente, se encuentra que los máximos de las distribuciones espectrales aparecen en las siguientes longitudes de onda: 74.7 nm para Aldebarán, 5.56 nm para el Sol y nm para 4 Eridani B. Estos valores están de acuerdo con la ley de desplazamiento de Wien que nos dice que ese máximo viene dado por: λ m T m K. (c) Como la luminosidad de una estrella es la potencia total que emite, ésta será igual a la potencia total por unidad de área emitida por la estrella, R σt 4 (ley de Stefan- Boltzmann), multiplicada por el área total de la estrella, 4πR, donde R es el radio de la estrella. Es decir, L 4πR σt 4. Dividiendo esta expresión por la correspondiente expresión para el Sol, podemos obtener el radio de una estrella en unidades del radio del Sol: R R ( T T ) L. L De esta expresión deducimos que el radio de Aldebarán es 49.7R y el de 4 Eridani B es.4r. (d) La potencia emitida por unidad de área por una estrella en un cierto rango de longitudes de onda [λ, λ ] viene dada por la siguiente integral: λ λ R(λ)dλ.

2 La correspondiente potencia total por unidad de área se obtiene integrando entre e infinito. Esta potencia total es precisamente lo que nos da la ley de Stefan-Boltzmann: R σt 4. As pues, el porcentaje de radiación emitida en el rango del visible viene dada por 7 nm 4 nm R(λ)dλ σt 4 %. Evaluando numéricamente la integral del numerador se llega a que ese porcentaje es aproximadamente: 9.6% para Aldebarán, 36.6% para el Sol y 5.6% para 4 Eridani B. ) Si llamamos K max,. ev a la energía cinética máxima para la longitud de onda λ y K max, 4. ev a la energía cinética máxima para la longitud de onda λ λ /, tendremos que K max, λ φ K max, λ φ. Restando la primera ecuación a la segunda tendremos que: /λ K max, K max,. De la primera ecuación podemos despejar la función de trabajo para obtener: φ /λ K max, K max, K max, ev. 3) Si nos situamos en el sistema de referencia en el que el electrón libre está parado después del choque, es obvio que este proceso es imposible ya que no se conserva el momento lineal. Mientras que el momento lineal del sistema es cero después de la colisión en este sistema de referencia, no puede ser cero antes de la colisión ya que el momento de un fotón no puede anularse en ningún sistema de referencia. 4) (a) La energía transferida al electrón en forma de energía cinética, K e, por conservación de la energía viene dada por K e Q Q, donde Q y Q son las energías del fotón incidente y del fotón dispersado, respectivamente. Recordemos que la energía de un fotón está relacionada con su longitud de onda del siguiente modo: Q, /λ,. Además, sabemos que el cambio de la longitud de onda de un fotón en una colisión Compton viene dado por: λ λ (h/m e c)( cosθ), donde h/m e c.4 pm es la longitud de onda de Compton y θ es el ángulo con el que se dispersa el fotón, que en este caso es de 8 o. Así pues, λ λ +.4 pm 4.48 nm. De este modo, la energía transferida al electrón vendrá dada por K e Q Q (λ λ ) ev. λ λ λ λ

3 (b) La energía transferida en el caso del efecto fotoeléctrico es simplemente la energía del fotón 4 ev nm 3. ev. λ 4 nm (c) No, no podría. Esa energía es muy pequeña en comparación con la función de trabajo de cualquier metal. 5) (a) En la siguiente figura representamos esquemáticamente la colisión Compton de este problema. En esta figura, Q y Q kev son, respectivamente, la energía del fotón incidente y la del fotón dispersado, mientras que K e 4 kev es la energía cinética del electrón dispersado. K e Q p c / λ Q p c / λ Para determinar la longitud de onda del fotón incidente, λ, haremos uso de la ley de conservación de la energía: Q 4 ev nm Q + K e 6 kev λ λ 6 kev 7.75 pm. (b) Para determinar el ángulo de dispersión del fotón, θ, hacemos uso del principio de conservación del momento lineal: (Q /c)ˆn (Q /c)ˆn + p e, donde p e es el momento lineal del electrón y ˆn, son los vectores unitarios que describen las direcciones de los dos fotones. Reordenando y elevando al cuadrado esta ecuación se tiene y, por tanto, Q + Q Q Q cosθ p e c cos θ Q + Q p ec Q Q. En esta expresión aún necesitamos determinar p e c, lo cual se puede hacer mediante su relación con la energía cinética del electrón: p e c K e (K e + m e c ) 6. kev. De este modo, se llega a que θ 93.7 o. 3

4 (c) Para hallar el ángulo φ con el que sale dispersado el electrón usamos la conservación del momento lineal en la dirección perpendicular a la incidente: (Q /c) sen θ p e sen φ sen φ Q p e c sen θ φ 35.5o. 6) (a) Calculemos la longitud de onda de de Broglie: λ h p pc, E E donde E es la energía total de la partícula y E mc es la energía en reposo. Usando ahora que E K + E, donde K es la energía cinética, tenemos que λ K + E + KE E K + KE /E (K/E ) + K/E λ c (K/E ) + K/E, donde λ c h/mc es la longitud de onda de Compton. (b) En el límite de velocidades bajas (v c) se tiene que K E y, por tanto, λ λ c K/E K/(mc ) λ h mk, que es el resultado no relativista que derivamos en clase de teoría. 7) La incertidumbre mínima en la posición del fotón viene dada por el principio de incertidumbre: x p h ( x) min h p. Ahora tenemos que relacionar la incertidumbre p con la incertidumbre λ. Usando la relación de de Broglie p h/λ, se tiene que (en valor absouto) h p λ/λ. De este modo, ( x) min h p λ 4.77 cm. 4π λ/λ 8) Haciendo uso del principio de incertidumbre y usando que x L 4 m, podemos determinar la incertidumbre en el momento lineal: p h x ev s 4 m. 7 ev/c. De este modo, un electrón podría alcanzar valores del momento lineal del order de MeV/c, que corresponden a valores de su energía total del orden de E (pc) + (mc ) MeV. 4

5 Nótese que hemos hecho uso de la expresión relativista ya que pc toma un valor mucho mayor que la energía en reposo del electrón. Así pues, la energía cinética de un electrón en el interior de un núcleo podría alcanzar valores del orden de: K E mc 9.5 MeV. Esta energía es mucho mayor que las energías características de los electrones que se generan en una emisión β. De este modo, se concluye que no pueden existir electrones en el interior del núcleo. Aprenderemos en el capítulo dedicado a la física nuclear que estos electrones se generan a través de una desintegración de un neutrón del núcleo con la consiguiente producción de un electrón que sale despedido del núcleo. Este proceso de transmutación del neutrón está gobernado por la interacción nuclear débil. 5