Relaci on de Problemas M ³nimos de C alculo de I.T.T. Curso 2000/2001

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1 Relaci o de Problemas M ³imos de C alculo de I.T.T. Curso 2000/200 Tema : L ³mite y Cotiuidad. Resolver los siguietes l ³mites: µ! ::: l b)! c)! l 2 + d)! µ l(l) 2. Estudiar la eistecia de los siguietes l ³mites, y calcular su valor o el de sus l ³mites laterales, cuado eista:! Probar que eiste u umero real 0 tal que: = 7; 2 4. Describir el domiio de los siguietes camos escalares: 2 +y f(;y) = 2 9 b) g(;y;z) = b)! y 2 z 2 5. Hallar, si eiste, los siguietes l ³mites: Ã 2 y 2! 2 b) 2 y 2 c) 2 +y 3 (;y)!(0;0) 2 +y 2 (;y)!(0;0) 2 +y 2 (;y)!(0;0) 2 +y 2 d) (;y)!(0;0) 5 2 y 2 +y 2 e) (;y)!(;) 6. Estudiar la cotiuidad de la siguiete fuci o: f(;y) = 8 >< >: 2 y y 3 2 +y 2 si (;y)6= (0; 0) 28 si (;y) = (0; 0) cos( 2 y) f) (;y)!(;) ( y) 2 7. Describir las curvas o suer cies de ivel, ara los siguietes camos y los valores dek que se idica: q f(;y) = 25 2 y 2 k = 0; ;2; 3; 4; 5 b) f(;y) = 2 +y 2 k = 0; 2;4; 6; 8 c) f(;y) =y k = ; 2; ; 6

2 Tema 2: Derivada de Fucioes 8. Hallar y 00, usado derivaci o iml ³cita dode: 3 3y +y 3 =. 9. Usar derivaci o logar ³tmica ara hallardy=: y = 2 e 2 cos 3 0. Estimar la catidad se62 ± usado la f ormula f(a +h) =f( +f 0 ( h:. Calcular los siguietes l ³mites alicado la regla de L'H^oital: µ ¼ d) ) tg! +(2 2 e)!0 + Ã! l( +) f)!0 cos se 3 2. Escribir el oliomio f() = e otecias de Deducir los desarrollos e serie de Taylor de las siguietes fucioes e los utos idicados y de los ordees idicados: f() =e ; orde e 0 b) f() = se; orde e 0 c) f() =e se; orde 8 e 0 d) f() = tg; orde 5 e 0 4. Calcular el valor correcto e cuatro cifras decimales dee 0:2 y de l0:8. 5. Demostrar que la suma de u umero y su rec ³roco es al meos Hallar las dimesioes del cilidro de mayor volume etre todos aquellos que tiee la suer cie total costate. 7. Ua ersoa desea cortar u edazo de alambre de m. de largo e dos trozos. Uo de ellos se va a doblar e forma de c ³rculo y el otro e forma de cuadrado. >C omo debe cortarse el alambre ara que la suma de las areas sea m aima? Tema 3: Derivada de Camos 8. Hallar las derivadas arciales de rimer orde de las siguietes fucioes: f(;y) = 3 2 y y b) f(;y;z) =zsey 2 + 2z 9. Calcular las derivadas arciales de segudo orde de las siguietes fucioes: f(;y) =y cosy b) f(;y;z) = y y 2 +z 4 2

3 20. Hallar la derivada de f(;y) = 2 + 3y 2 e el uto P 0 = (; 2) y e la direcci o que auta hacia el orige. 2. Usado la de ici o de difereciabilidad, comrobar que la fuci o f(;y) = y 2 es difereciable e (0; 0), y calcular su diferecial e dicho uto. 22. Calcular el gradiete def(;y) = 3 2 2y 2 e el uto ( ; 3). 23. Calcular la ecuaci o del lao tagete a 2 +y 2 +z 2 = e el uto ( 3=4; =4; 3=2). 24. Estimar 2; ; ; 05 2 y comararlo co la calculadora. 25. Hallar@w=@s y@w=@t araw=2y, dode=s 2 +t 2 ey=s=t. 26. Calcular@z=@ sabiedo que 3 2 z 2 y 2 + 2z 3 + 3z 5 = Calcular los etremos relativos de: f(;y) = 2 + 3y +y 2 b) f(;y) = 3 + 4y 2y Ua caja rectagular descasa sobre el lao y co u v ertice e el orige. Hallar el volume m aimo de la caja si su v erticeouestoal orige erteece al lao 6+4y+3z = Utilizar el m etodo de los multilicadores de Lagrage ara hallar las dimesioes del rect agulo de mayor area que uede iscribirse e la elise y2 = co los lados 9 aralelos a los ejes coordeados. Tema 4: Itegral de ida y Primitivas 30. Dada la fuci o Calcular 3 4 f(). 3. Calcular el l ³mite: µ! f() = ( si 2 si > Usar el teorema fudametal del c alculo ara calcular las siguietes derivadas: d dt µ t b) d dt à t 2 0 cos Usar itegraci o or artes ara resolver las siguietes itegrales: cos b)! arctg 3

4 34. Resolver las siguietes itegrales racioales: b) + 4 ( 2 + ) c) Usar el m etodo de sustituci o ara resolver las siguietes itegrales : 2 b) 36. Resolver las siguietes itegrales irracioales: b) (2 + 3) Resolver las siguietes itegrales trigoom etricas: se 3 cos 2 b) se 4 c) se2 cos 3 d) + se + cos Tema 5: Alicacioes de la Itegral 38. Hallar el area total de la regi o acotada or las curvas dadas: f() = 2 ; g() = b) f() = 2 ; g() = + 2 y el eje OX 39. E los siguietes aartados usar el m etodo de discos ara hallar el volume del s olido geerado al girar la regi o dada etre los l ³mites dados sobre el eje idicado: ( Limitada ory= 2 2 ;y = alrededor de la rectay =. (b) Limitada ory= 2 + ;y = 0; = 0; = alrededor el ejeoy. 40. E los siguietes aartados usar el m etodo de las caas ara hallar el volume del s olido geerado al girar la regi o co los l ³mites dados alrededor del eje idicado: ( Limitada ory= ;y = ; = alrededor de la recta = 2. (b) Limitada ory= 2 ;y = alrededor de la recta= Se corta ua cu~a de u troco (cil ³drico) de radio 2 dm dado dos cortes co ua sierra mec aica que llega hasta el cetro del troco. Si uo de los cortes se hace eredicular y el otro formado u agulo de 20 ± co el rimero, >qu e volume tedr a la cu~a? 42. Deducir la f ormulav = 4 3 ¼a3 ara el volume de la esfera de radioa, usado el m etodo de caas. 43. Calcular la logitud de arco de la gr a caf() = sobre [ 2 ; 2]. 4

5 44. Calcular el area de la suer cie formada al girar la gr a ca de f() = 3 e el itervalo [0; ] alrededor del eje. 45. Calcular las siguietes itegrales imroias: 0 3 b) 2 3 c) l d) 0 0 ( + ) Tema 6: Series de umeros reales 46. Estudiar el car acter de las siguietes series um ericas: X! 2! + e) X se(=) 2 + i) X 2! b) Xµ 2 f) X e 2 j) X! c) X l g) X Sumar, si es osible, las siguietes series um ericas: d) X 2 + h) X ( ) se(=) 2 3 k) X ( ) l 2 l) X ( ) l d) 3 2 b) ( + )( + 2) e) (2 + )(2 + 3) ( ) c) f) ( + )! Tema 7: Series Fucioales 48. Determiar el camo de covergecia de las siguietes series de otecias: d) 2 b)! e)! c) 3( 2) f) ( ) 2 2 ( ) ( + ) Sumar las siguietes series eres adolas e t ermios de fucioes elemetales: ( + 3)! b) ( + )( + 2) 5

6 50. Probar que las series trigoom etricas X ( ) cos 2 so uiformemete covergetes. X se X (cos se)! 5. Calcular las series de Fourier de las siguietes fucioes de eriodo 2¼: f() = ( 0 e [ ¼; ¼=2)[ (¼=2;¼] e [ ¼=2;¼=2] g() = ¼ e [ ¼;¼] 52. Desarrollar e serie de Fourier la fuci o de eriodo 2¼: f() = ( 2 +¼ si 2[ ¼; 0] ¼ 2 si 2 [0;¼] Alicar dicho desarrollo ara obteer la suma de la siguiete serie um erica: ( ) (2 + ) 3 6