Soluciones a los ejercicios del examen final

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1 Álgebra Lineal Curso 206/7 6 de junio de 207 Soluciones a los ejercicios del examen final Se considera la aplicación lineal L : R 3 R 3 definida por L(x, y, z) = (z x, x + y + z, x y 3z). a) Hallar la matriz A asociada a L. b) Calcular una base ortonormal de Ker(L) y otra de Im(L). c) Hallar la matriz de proyección ortogonal sobre Im(L) y la distancia mínima entre el vector v = (,, 3) e Im(L). d) Para b = (0, 2, 2), calcular la solución del sistema Ax = b que es ortogonal al vector w = (, 2, 7). e) Para b = (3, 0, 0), calcular la solución del sistema Ax = b en el sentido de mínimos cuadrados que está en el plano de R 3 definido por la ecuación x + z = 0. a) La expresión matricial de la aplicación lineal L es z x 0 x L(x, y, z) = x + y + z = y. x y 3z 3 z Por tanto, la matriz asociada a L es A = 0. 3 b) En primer lugar calculamos una base de Ker(L) = Ker(A) haciendo operaciones elementales sobre la matriz A: A = 0 F 2() F 32() = A. 3 F 3 () Así, Ker(L) = Ker(A) = Ker(A ) = { (x, y, z) R 3 / x + z = 0, y + 2z = 0 } = = {(z, 2z, z) / z R} =< {(, 2, ) } >. }{{} v

2 Para calcular una base ortonormal de Ker(L), basta dividir el vector v por su módulo para obtener el vector unitario u = v ( v = 6, 2 ),, 6 6 de modo que B = {u } es una base ortonormal de Ker(L). La imagen de L está generada por las columnas de la matriz asociada A. Ya sabemos que rg(a) = 2, de modo que las dos primeras columnas (que son vectores linealmente independientes) generan Im(A), es decir, Im(A) =< {(,, ), (0,, )} >. Ortonormalizamos la base {v 2, v 3 } = {(,, ), (0,, )}: u 2 = v ( ) 2 v 2 =,,, ũ 3 = v 3 (v t 3u 2 )u 2 = v 3 = (0,, ), u 3 = ũ3 ũ 3 = El conjunto B 2 = {u 2, u 3 } es una base ortonormal de Im(L). ( 0,, ). 2 2 c) La matriz de proyección ortogonal sobre Im(L) es P = UU t, donde U = (u 2 u 3 ) es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base ortonormal B 2. Así, / 3 0 P = / 3 / 2 / 3 / 2 ( / 3 / 3 / 3 0 / 2 / 2 La proyección ortogonal de v = (,, 3) sobre Im(L) es P v = = 0, y la distancia mínima entre v e Im(L) es ) = d(v, Im(L)) = d(v, P v) = v P v = (2,, ) = 6. d) Resolvemos el sistema Ax = b haciendo operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada (A b): A = F 2() F 32() F 3 () El sistema equivalente es x + z = 0, y + 2z = 2, de modo que el conjunto de soluciones es S = { (x, y, z) R 3 / x = z, y = 2 2z } = {(z, 2 2z, z) / z R}. Calculamos la solución que es ortogonal a w = (, 2, 7):

3 (z, 2 2z, z) 2 = z = 0 z =. 7 Sustituyendo z = en el vector genérico (z, 2 2z, z), obtenemos la solución p = (, 4, ). e) Para resolver el sistema Ax = b en el sentido de mínimos cuadrados, multiplicamos ambos miembros de la igualdad por la matriz A t, obteniendo el sistema A t Ax = A t b. En este caso, el sistema resulta: x y = z 3 Haciendo operaciones elementales en la matriz ampliada, obtenemos el sistema equivalente con lo que el conjunto de soluciones es x z = y + 2z = 0, S = { (x, y, z) R 3 / x = z, y = 2z } = {(z, 2z, z) / z R}. La solución que está en el plano x+z = 0 cumple la ecuación z +z = 0, es decir, z = /2. Por tanto, la solución buscada es p = ( /2,, /2). 2) Se considera la matriz 2 2 M = a a) Calcular los valores de a para los que la forma cuadrática ω (x) = x t Mx es definida positiva. b) Sin calcular M, razonar cuáles son los valores de a para los que la forma cuadrática ω 2 (x) = x t M x es definida positiva. c) Para a = : (i) Calcular una base de Ker(M 3I), deducir que 3 es un autovalor de M, y calcular su multiplicidad algebraica. (ii) Hallar razonadamente el espectro de M sin calcular su polinomio característico. (iii) Determinar los valores singulares de M utilizando que M es simétrica. a) Los menores principales de M son = 2, 2 = 3, 3 = M = 3(a 8). Por tanto, M es definida positiva a 8 > 0 a > 8 a (8, ). b) Que M sea definida positiva es equivalente a que todos los autovalores de M sean positivos. Como los autovalores de M son los inversos de los autovalores de M, es claro que tienen el mismo signo. Por tanto:

4 M es definida positiva M es definida positiva a (8, ). c) (i) Para a =, la matriz es 2 2 M = 2 2, 2 2 de modo que Ker(M 3I) = Ker 2 2 = { (x, y, z) R 3 / y = x + 2z } = = {(x, x + 2z, z) / x, z R} =< {(,, 0), (0, 2, )} >. Por tanto, m.g.(3) = dim(ker(m 3I)) = 2, de donde se deduce que 3 es un autovalor de M. Además, como M es simétrica, en particular es diagonalizable. Esto implica que m.a.(3) = m.g.(3) = 2. (ii) Como m.a.(3) = 2, podemos escribir Sp(M) = {3, 3, λ}. Teniendo en cuenta que la traza coincide con la suma de los autovalores, se tiene: tr(m) = = 3 = λ = 3 = 6 + λ = λ = 3. Por tanto, Sp(M) = {3, 3}, con m.a.(3) = 2, m.a.( 3) =. (iii) Los valores singulares de M son las raíces cuadradas positivas de los autovalores de M t M. En este caso, como M es simétrica, M t M = M 2 = Sp(M t M) = Sp(M 2 ) = { 3 2, 3 2, ( 3) 2} = {9, 9, 9}. Por tanto, los valores singulares de M son σ = σ 2 = σ 3 = 9 = 3. 3) Se considera la matriz 0 B = a) Determinar el espectro de B y estudiar si B es diagonalizable. b) Hallar una raíz cuadrada de B. c) Calcular la traza y el determinante de B n para cualquier número entero positivo n. a) Desarrollamos el polinomio característico de B por la última columna: x 0 q B (x) = 4 3 x 0 = ( x) x x 4 3 x = ( x)(x2 2x + ) = ( x) 3.

5 Por tanto, Sp(B) = {}, con m.a.() = 3. La matriz B no es diagonalizable porque m.g.() = 3 rg(m I) = 3 2 = 3 = m.a.(). b) Definimos la función f(x) = x = x /2, de modo que B /2 = f(b). El conjunto de valores de f sobre B es V f,b = {f(), f (), f ()}. Dado que f(x) = x /2, f (x) = (/2)x /2, f (x) = ( /4)x 3/2, se tiene que f() =, f () = 2, f () = 4. Tenemos que determinar un polinomio r(x) = a + bx + cx 2 tal que r() = a + b + c = f() = r () = b + 2c = f () = 2 r () = 2c = f () = 4. La única solución del sistema es a = 3 8, b = 3 4, c =. Por tanto: 8 r(x) = a + bx + cx 2 = 8 (3 + 6x x2 ). Finalmente B /2 = f(b) = r(b) = 8 (3I + 6B B2 ) = c) Como Sp(B) = {,, }, se tiene que Sp(B n ) = { n, n, n } = {,, } para cualquier número entero positivo n. Por tanto, tr(b n ) = + + = 3, B n = =.