ap L i C ac i o n e s d e L a

Transcripción

1 Un i d d 8 p L i C C i o n e s d e L i n t eg r L i Ojetivos Al inlizr l unidd, el lumno: Utilizrá los conceptos de cálculo de áres y longitud de rco en coordends crtesins y polres en l resolución de ejercicios. Clculrá volúmenes de sólidos de revolución. Simplificrá y resolverá integrles impropis.

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3 Cálculo diferencil e integrl 75 Introducción De lo estudido en l unidd seis se tiene que el áre de un región se puede otener por proimción, esto es, sudividiendo el intervlo integrr con rectángulos cd vez más delgdos o hciendo que l prtición tiend un número grnde, dndo como consecuenci que el áre de cd uno de ellos tiend cero, después se procede sumr ls áres de todos los rectángulos lográndose un muy uen proimción del áre de l región. L integrción no es más que l strcción mtemátic de este proceso y se puede plicr l cálculo de un grn vriedd de cntiddes que se pueden epresr como l sum de un grn número de términos infinitmente pequeños. Asimismo, con l utilizción del teorem fundmentl del cálculo se logr redonder el concepto de integrl definid simplificndo con esto su cálculo. A continución eminremos vrios csos en los que l integrción prece de est mner de modo nturl. 8.. Cálculo de integrles definids Pr clculr un integrl definid: Se plic l fórmul f( ) d = F ( ) F ( ), siendo F() un primitiv de f(). Por rtificios de cálculo. Cundo se emple un sustitución pr clculr un integrl definid hy dos mners de hllr su vlor. Primer: los límites de integrción se cmin emplendo l sustitución, y un vez clculd l integrl se remplzn dichos vlores en l función sí clculd pr hllr su vlor. El segundo procedimiento es remplzr los límites originles un vez clculd l integrl. Cundo l integrción conduce funciones trigonométrics recíprocs, se dee tener cuiddo en elegir los vlores principles de l función. Not. Si l función f() es discontinu en = α, con α comprendido entre y, entonces: si ε y ε tienden cero. α ε f( ) d = lim f( ) d + f( ) d α+ ε' Si los límites de integrción son infinitos se define: f( ) d lim f( ) d =

4 76 Unidd 8 Ejemplo Determin el vlor de ( ) d Integrndo se tiene: ( ) d = d d = evlundo los límites de integrción result () ( ) ( ) d = = = = 5 + = 6 = ( ) Ejemplo Clcul el vlor de l integrl e d Pr integrr se u =, entonces, du = d. Multiplicndo y dividiendo por se tiene: e d= e d = e evlundo los límites de integrción result: = = = = e e e e e. e e = ( 7. ) = 6 (. 7. )= (. 9 )= e = ( 7. ) 5. ( 7. )

5 Cálculo diferencil e integrl Cálculo de áres y longitud de rco en coordends crtesins y polres En est sección se trtrá el cálculo de áre entre dos curvs en generl. Ilustrremos con lgunos prolems el método seguir. Sen dos funciones f y g, ms continus en un intervlo [, ]. Si f y g son ms positivs y si f( ) g ( ) pr todo en [, ] (vése l figur 8.), el áre entre ls gráfics viene dd por l integrl [ f( ) g ( )] d, lo cul y es conocido. Figur 8.. Lo que se necesit hor es un fórmul que se plicle tmién l región representd en l figur 8.. Aquí, ni f ni g son siempre positivs. Además, ningun de ls funciones es siempre myor que l otr. Figur 8.. Un modo de proceder es suir l región complet un número fijo de uniddes, de mner que ms funciones psen ser positivs (vése l figur 8.). Los nuevos contornos son hor de l form:

6 78 Unidd 8 F( ) = f( ) + C y G( ) = g( ) + C Figur 8.. El áre de l primer prte es: s s [ F( ) G ( )] d = [ f( ) g ( )] d = f( ) g ( ) d. El áre de l segund prte es: t s t [ G ( ) F( ) ] d = [ g ( ) f( ) ] d = f( ) g ( ) d. El áre de l tercer prte: t s [ F( ) G ( )] d = [ f( ) g ( )] d = f( ) g ( ) d. El áre totl es, en consecuenci, l sum: t s t s t s t f( ) g ( ) d + f( ) g ( ) d + f( ) g ( ) d. s t En virtud de l propiedd ditiv de l integrl, est sum es simplemente: f( ) g ( ) d. Luego entonces: El áre entre ls gráfics = f( ) g ( ) d

7 Cálculo diferencil e integrl 79 El número f( ) g ( ) d l seprción verticl entre los dos contornos, por lo que: Áre = (promedio de l seprción verticl) ( ) Ejemplo Hll el áre entre y = cos y y = sen, [ π, ]. L región en cuestión se represent en l figur 8.. Luego entonces, el áre dee estr dd por l integrl cos sen d. π Figur 8.. El modo más sencillo de evlur est integrl es oservr que cos sen es, π, 5 π π, 5 π π Esto signific que: π π Áre = ( cos sen ) d + ( sen cos ) d + ( cos sen ) d = 5π π 5π π 5π π 5π π = [ sen+ cos] + [ cos sen ] + [ sen + cos ] = ( ) + + ( + ) =

8 8 Unidd 8 En ls figurs 8.5 y 8.6 se representn regiones en ls que ls curvs del contorno no son funciones de, sino funciones de y. En tles csos el áre está dd por l integrl c d f( y) g( y) dy Esto es simplemente el promedio en l seprción horizontl (d-c) Figur 8.5. Figur 8.6. Ejemplo Hll el áre entre ls práols = y y = y +. L región se represent en l figur 8.7. Ls dos práols se cortn en y = y y =. Asimismo, pr cd y entre y l seprción horizontl entre ls dos curvs es: ( y + ) y = y + = y + El áre de l región se hll integrndo entre y = y y =. y A= y + dy = ydy+ dy = y ( ) + [] = + ()= + 6 =, por lo tnto, A =. + ( ( ) )= =

9 Cálculo diferencil e integrl 8 Figur Cálculo de áres en coordends polres El áre de un sector circulr de ángulo centrl θ (en rdines) y rdio r es r θ. Se C l curv de ecución r = F( θ ) en coordends polres, F( θ ) no negtiv y continu pr θ [ α, β], β α π. Se S el conjunto de puntos del plno de coordends polres (r, θ) y que stisfcen θ [ α, β] y r [, F( θ)]. Vése l figur 8.8. Figur 8.8. Como F es continu y, por lo tnto, integrle, entonces β áre ( S ) = F ( θ) dθ α

10 8 Unidd 8 Ejemplo 5 Clcul el áre de l región Γ representd en l figur 8.9. Figur 8.9. El áre de l figur 8.9 se escrie como: π π π Γ = = = θ θ dθ θ dθ = 6 π 7π 7π () = 6 = = 9 π Ejemplo 6 Clcul el áre encerrd por l crdioide r = cos θ, vése l figur 8..

11 Cálculo diferencil e integrl 8 Figur 8.. β El áre está dd por l siguiente integrl ( S) = F ( θ) dθ, donde los límites α de integrción vn de π. Sustituyendo se tiene que: π áre = π ( cos θ) d θ, desrrollndo el inomio result π π π = + = + ( cosθ cos θ) dθ ( cos θ) dθ cos θdθ integrndo por seprdo cd término se tiene: π ( cos θ) d θ = [ θ sen ] π θ = π sen ( π) + sen ( ) = π cos θ θ π ( cos ) ( ) θ θ θ θ d = + d = + sen = π ( sen ( )) = π = π por lo tnto, el áre pedid es: A = + = π ( π π) π

12 8 Unidd Cálculo de longitud de rco Recordndo que l longitud del segmento de rect que une dos puntos P( P, y P ) y Q( Q, y Q ) de un plno se puede escriir como: dpq (, ) = ( ) + ( y y ) Q P Q P () Figur 8.. Aquí se drá un fórmul pr l longitud de l gráfic de un función rel f: [, ] R, con primer derivd continu; es decir, df ( ) eiste y es continu. d df () L longitud de l curv de f en [, ] es + longitud de rco. d d y se llm tmién Ejemplo 7 Determin l longitud del segmento de rect ddo por f( )= + sore [, ] emplendo l ecución desrrolld en est sección. L derivd de l función es y sustituyendo en l ecución de l longitud del rco se clcul: + ( ) d = 5d = 5 d = 5 = ( 5( ) 5( )) = 5( + ) = 5

13 Cálculo diferencil e integrl 85 Ejemplo 8 Determin l longitud del rco de f( ) = 5 en,. 9 Se tiene que df = d de modo que l longitud de rco es L= + d d = Pr resolver l integrl se reliz el siguiente cmio de vrile. Se u = + 9 9, entonces, du = d. Multiplicndo y dividiendo por 9 se tiene: 8 L= u du = Ejercicio = + 9 ( 7 ) ( ) 87. = 8 =. Hll el áre entre l curv y el eje sore el intervlo ddo: f( ) =, sore [, ] =. Clcul el áre entre ls curvs dds en el intervlo indicdo: f( ) =, g( ) =, sore [,]. Hll el áre limitd por l curv r = sen θ θ π. Determin l longitud de l gráfic de l función f( )= + en el intervlo [, ]. 5. Clcul l longitud de rco de l gráfic de l función f tdt ( )= en el intervlo [, 8].

14 86 Unidd Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución Un sólido de revolución es generdo l girr un áre pln en torno un rect, llmd eje de revolución o de rotción, en el plno. El volumen de un sólido de revolución se puede clculr utilizndo uno de los siguientes procedimientos: Método de los discos. Este método es útil cundo el eje de rotción es prte del contorno del áre pln. Hcer un diujo del áre, de un frnj representtiv perpendiculr l eje de revolución y del rectángulo proimnte, esto es el mínimo rectángulo que contiene el áre en cuestión. Escriir el volumen del disco o cilindro generdo l girr un rectángulo proimnte en torno l eje de revolución y sumr pr los n rectángulos. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidmente y plicr el teorem fundmentl. Figur 8.. Cundo el eje de revolución es el eje y l fronter superior del áre pln viene dd por un curv y = f() entre = y = figur 8., el volumen V del sólido de revolución está ddo por: V = πy d = π [ f( ) ] d () Análogmente, cundo el eje de rotción es el eje y y un ldo del áre pln es dd por l curv = g(y) entre y = c y y = d (vése l figur 8.), el volumen V del sólido de revolución es: V = π dy = π [ g( y) ] d () c d d c

15 Cálculo diferencil e integrl 87 Figur 8.. Método de ls rndels. Este método es útil cundo el eje de revolución no es prte del contorno de áre pln. Hcer un diujo del áre (de un frnj representtiv perpendiculr l eje de revolución) y del rectángulo proimnte. Prolongr los ldos del rectángulo proimnte ABCD hst lcnzr el eje de revolución en los puntos E y F, como en l figur 8.. Figur 8.. Cundo el rectángulo proimnte se hce girr en torno l eje de revolución se form un rndel cuyo volumen es l deferenci entre los volúmenes generdos l girr los rectángulos EBAF y ECDF en torno l eje. Escriir l diferenci de los dos volúmenes y proceder como en el pso del método de los discos.

16 88 Unidd 8 Suponer que el número de rectángulos crece indefinidmente y plicr el teorem fundmentl del cálculo. Si el eje de revolución es el eje, l fronter superior del áre pln viene dd por y = f( ), l inferior por y = g( ) y l región v desde = hst = (vése l figur 8.5), entonces el volumen V del sólido de revolución está ddo por V = π {[ f( )] [ g( )]} d () Figur 8.5. Análogmente, si el eje de rotción es el eje y y el áre pln está limitd l derech por = f(y), l izquierd por = g(y), superiormente por y = d e inferiormente por y = c (vése l figur 8.6), entonces el volumen V es ddo por V = π {[ f( y)] [ g( y)]} dy c d () Figur 8.6.

17 Cálculo diferencil e integrl 89 Método de cps. Al plicr este método se procede como sigue: Mostrr en un gráfic el áre en cuestión, un frnj representtiv prlel l eje de revolución y el rectángulo proimnte. Escriir el volumen como el producto de l circunferenci medi por l ltur por el espesor, de l cp cilíndric (tuo cilíndrico) generd l girr el rectángulo proimnte en torno l eje de revolución, y sumr pr los n rectángulos. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidmente y plicr el teorem fundmentl. Si el eje de revolución es el eje y y el áre pln en el primer cudrnte está cotd jo por el eje, rri por y = f(), l izquierd por = y l derech por = como se muestr en l figur 8.7, entonces el volumen es ddo por: V = π yd= π f( ) d (5) Figur 8.7. Análogmente, si el eje de rotción es el eje y el áre pln, en el primer cudrnte, está limitd l izquierd por el eje y, l derech por = f(y), superiormente por y = d e inferiormente por y = c, como se muestr en l figur 8.8, entonces el volumen V está ddo por: V = π yd= π yf( y) dy c d c d

18 9 Unidd 8 Figur 8.8. Ejemplo 9 Se hce girr l rect y = lrededor del eje desde = = y, como se muestr en l figur 8.9, gener un cono recto circulr. Hll el volumen de este cono emplendo tuos cilíndricos. Figur 8.9. Se gener un tuo típico l hcer girr el áre ryd lrededor del eje. Su rdio es el vlor de y sore l curv y su circunferenci πy. Donde f(y)= y/ Entonces el volumen es:

19 Cálculo diferencil e integrl 9 8 V y y 8 8 y = π ( ) dy = π y = 8 8 y = y = y π y π ( ) y π y ( ) () = () 8 π ( 8 ( ) = π π = Por lo tnto V = 56 π 8 Ejemplo Considérese l región del primer cudrnte limitd por el eje y l gráfic de f( )=. Hll el volumen del sólido de revolución formdo l hcer girr est región lrededor del eje, como se muestr en l figur 8.. Figur 8.. En l figur 8. se muestr l región considerd. Bsándose en el método de los discos: V = π f ( d ) = π ( ) d, desrrollndo

20 9 Unidd 8 Integrndo término término: Evlundo result: = π ( ) d 5 = + = 8 + π 6 d 8 d d π ( ) ( ) 8 ( ) ( ) π 6( ) + 6( ) + = 5 5 π 88 () + 5 = 56 π Por lo tnto, el volumen es proimdmente 5.6 uniddes cúics. 8.. L integrl impropi Eisten funciones pr ls cules no es posile plicr ninguno de los métodos de integrción trtdos hst hor, deido que ls funciones del integrndo no están definids pr lgún punto o puntos del dominio. Considérese el volumen del sólido que se otiene cundo gir lrededor del eje l región limitd por y = y por el eje, l derech de l rect =. L sección trnsversl típic, determind por un plno perpendiculr l eje, es un círculo de rdio (vése l figur 8.). Figur 8..

21 Cálculo diferencil e integrl 9 Cuál es el volumen de este sólido? Se podrí segurr que el volumen es π ( ) d. Desfortundmente, el símolo f( ) d crece de significdo, hst hor. L definición de l integrl n definid se s en sums de l form f( )( ) donde i [ i, i ] i i i i= Sin emrgo, si se emin el volumen de l prte del sólido comprendido entre = y =, donde es lgún número myor que y, después, se determin qué sucede cundo. En otrs plrs, se consider lim ( ) π d. Ahor, π π π π d = π π = = π Así, lim d = π = π. El volumen de este sólido que se etiende indefinidmente es finito. Este enfoque sugiere un modo de dr significdo l símolo f( ) d. Se v etender l definición de integrl definid pr que el símolo teng significdo si el intervlo de integrción o l función no son cotds. f( ) d Definición. L integrl definid f( ) d se dice impropi si: ) L función f() tiene uno o más puntos de discontinuidd en [, ] ) Uno de los dos límites de integrción es infinito, o se f( ) d o f( ) d c) Amos límites de integrción son infinitos f( ) d Ls integrles del inciso se otienen de l siguiente mner: f() d = lim f() d o f() d = lim f() d

22 9 Unidd 8 Si los límites nteriores eisten, se dice que l integrl impropi es convergente y si el límite no eiste se dice que l integrl impropi es divergente. Pr otener l integrl del inciso c tenemos c ( ) f() d = f() d + f d c si lgun de ls dos integrles es divergente, entonces l integrl divergente. f ( ) d es Ejemplo Clcul el áre de l región limitd por l curv y = ( + ) y el eje. El áre pedid es igul + d como se muestr en l figur 8.. Figur 8.. Ahor, = + = + d + d lim lim + d lim [rctn( )] + lim[ rc tn( )], evlundoresult lim[ rctn( )] + lim[ rc tn( )] = π + π = π De donde, + d = π, por lo tnto, el áre uscd es π.

23 Cálculo diferencil e integrl 95 Ejemplo Evlú ( + ) d Est integrl dee descomponerse en dos integrles impropis seprds: d = d + d ( ) ( ) + + ; siempre que cd integrl eist, ( + ) emplendo el resultdo de l integrl y evlundo lim lim ( + ) + ( + ) = lim lim + ( + ) + + ( + ) = + = Por lo tnto, ( + ) d = Ejercicio. Determin el volumen del sólido de revolución otenido l rotr lrededor del eje y, l región cotd por ls curvs y = +, y = +, = y =.. Determin el volumen de un esfer metálic de rdio r = mm que es perford por uno de sus diámetros con un hordción de rdio mm, con un rect y = mm.. Evlú l siguiente integrl impropi e d.

24 96 Unidd 8 Ejercicios resueltos. Determin el áre encerrd por ls curvs cuys ecuciones son: + y = y y+ = L siguiente figur muestr el áre encerrd por ls curvs dds Los puntos de intersección entre ls curvs dds es posile otenerlos l despejr y de ls ecuciones e igulr mos vlores de y, = y sí se otiene = donde ( ) = Igulndo cero cd fctor result = y = Al sustituir cd uno de estos vlores de en culesquier de ls ecuciones de ls curvs se otiene y = = y y = =, luego P =(,) y Q =(,) son los puntos de intersección entre ms curvs y el áre A encerrd por ells es: A= f g d= d + d = + [ ( ) ( )] + = + = 6 Es decir, A = uniddes cudrds. 6 =

25 Cálculo diferencil e integrl 97. Clcul el áre entre ls curvs: y = ( ln ), y = e y ls rects, = y = e L gráfic de ls curvs se muestr en l siguiente figur. Figur 8.. Por lo tnto, el áre entre ls curvs es: e e e e A= {(ln ) ( e )} d = ( ) + + ln d e d d ; integrndo cd término se tiene pr el primer término, integrndo por prtes: se u = (ln ), entonces du = ln d = ln d y dv = d dv = d =, sustituyendo result en l últim integrl: u entonces, du d y dv d por lo tnto, v. e e e e e (ln ) d= {(ln )} ln d = {(ln )} ln d = e e {(ln )} ln = {(ln )} { ln } d e e +{ } e = e e {(ln )} { ln } = { e { ln e} [ln( )]} { e ( )lne e + } = e e + e = e

26 98 Unidd 8 Pr el segundo término se tiene e e u e e d = e d = e du = e ( ) = e + e e e Se u =, entonces, du = d. Multiplicndo y dividiendo por result. e e Pr el tercer término d =[ ] = e. Por lo tnto, e e e e A = ( ln ) d+ e d + d = e e + e + e A= e + e e e, que es el áre encerrd por ls curvs.. Determin el áre encerrd por ls tres rects siguientes: y =, y = +, y = + 8 L figur 8. muestr el áre encerrd por ls tres rects. Los puntos de intersección entre ls rects se otienen de igulr sus respectivs ecuciones un con otr. Así, por ejemplo, l igulr y con y se otiene y = y = +, de donde, + = y ( ) 6 =, por lo tnto, = = = 5 entonces y = 6 5 = 8 5 en consecuenci Q = 6 8, es el punto de intersección 5 5 entre ls rects y con y. Similrmente l igulr y con y se otiene: y = y, por lo tnto, = +, grupndo términos y despejndo result: =, donde =, finlmente = l sustituir este vlor de en 8 8 5

27 Cálculo diferencil e integrl 99 culquier de ls dos epresiones pr y o y se tiene y = 5 el punto de intersección entre y y y es P =,. 5 5 y, consecuentemente, Figur 8.. De igul mner se otiene que el punto de intersección entre ls rects y y y en R =,. Entonces el áre encerrd por ls tres rects es: y( ) y( ) pr A= f( d ) con f( ) = 5 6 y( ) y( ) pr < < A= + d d = d 6 d = [ ] [ ] = = = = = = 5

28 Unidd , resolviendo el querdo entre los dos primeros términos 5 5 y el último y lo que resulte de ellos se oper con el tercer término: = = = = y hor 78 6 = = que es el áre uscd. 5. Hll el áre de un hoj de l gráfic en coordends polres r = senθ. Vése l figur 8.5. Figur 8.5. π Un hoj de l curv corresponde θ,. Entonces, emplendo l fórmul del áre se tiene A= f( θ) dθ π A= π ( senθ) dθ = 6sen θdθ; empledo l identidd trigonométric ( cos θ ) sen θ = y sustituyendo en l integrl nterior A= π 6( cos θ ) d θ = π ( cos θ ) d θ = π d θ cos θ d θ π = π π π π [ θ] [ θ] =.) sen sen sen( = π sen( π) + sen( ) = π Por lo tnto, el áre es π.

29 Cálculo diferencil e integrl 5. Hll el áre limitd por l curv r = cos θ, vése l figur 8.6. Figur 8.6. π π Es tentdor escriir su áre como A= r dθ = cos θdθ =. n Sin emrgo, se dee recordr que l integrl es lim cos θ θ i. Los θ n i i= comprendidos entre π y π, por ejemplo, contriuyen con términos de est serie (si se divide el intervlo [, π ] en n prtes) y l curv no eiste en π π < θ < r es negtiv cundo π π < θ <. Entonces π π π π A= cosθdθ + cosθdθ = senθ + sen θ = π π π sen sen sen sen π π + = () + () = = 6. Clcul l longitud de rco de l función y ( ) = ln = hst =. desde Como l derivd de l función es dy d =, entonces l longitud del rco es: ( ) 6 + ( ) L= + d = + d = 6 d = d = d = ( + ) d =

30 Unidd 8 + d d d = + = + = ln = + [ ln ]= + ln( ), que es l longitud uscd. + [ ln( ) ln( ) ]= w 7. Clcul l longitud de l curv y ( )= e + e dw desde = hst = ln. Por el teorem fundmentl del cálculo se tiene: dy d = e + e Luego entonces, l longitud de l curv es: ln ln ln L= + e + e d= + e + e d= + e + e ( ) ( ) d = w es: ln ln ln ln ln ln ( + e ) d= ( + e ) d = d + e d=[] + e 9 ln = ln + ; es decir, l longitud de l curv y() entre los límites = L = ln Hll l longitud de un rco de l cicloide y = ( cos θ), = ( θ sen θ ). Derivndo ms funciones con respecto θ se tiene: d dy = ( cos θ ) y =sen θ, sustituyendo en l ecución de l longitud de dθ dθ rco result: π L= ( cos θ) + sen θdθ = {( cos θ) + sen θ} dθ de l identidd trigonométric: sen α + cos α =, se tiene: π

31 Cálculo diferencil e integrl π π π { cosθ + cos θ + sen θ} dθ = cosθ + dθ = cosθ dθ Ahor, emplendo l siguiente identidd pr hcer más fácil l últim integrl α sen = ( cosα ), se otiene π cos θdθ = ( cos θ) dθ, y como ( cos θ ) = π ( cos θ ) = ( cos θ ) entonces de l últim integrl se tiene sen θ dθ π sen θ d θ θ, se u =, entonces, du = dθ, hor multiplicndo y dividiendo π por como fctor integrnte π π = sen θ θ dθ = cos = {cos( π ) cos( )} = ( ) = ( ) = 8 que es l longitud de rco de l cicloide dd. 9. Determin el volumen del sólido de revolución l rotr l región encerrd por l función f( )= entre = y = lrededor del eje. L figur 8.7 muestr l región del enuncido. Figur 8.7.

32 Unidd 8 El volumen de revolución l rotr lrededor del eje está ddo por V = π f () tdt = π ( t ) dt, desrrollndo: = π ( t t ) dt = π( 6dt 8 tdt t dt ) integrndo cd término: 8 π 5 8 π 6π[] t π t t + 5 = π[ - ]- π é ()-( ) ù ëê ûú + é ëê ()-( ) ù ûú 6 5( ) π 5( 6) π + ( ) π 56 = π π + π = = π = 7π u Determin el volumen del sólido de revolución otenido de rotr el áre encerrd por ls curvs y =, y =, lrededor del eje. Ls figurs 8.8 y 8.9 muestrn el áre encerrd por ls funciones y, y y el volumen de revolución lrededor del eje. Figur 8.8.

33 Cálculo diferencil e integrl 5 Figur 8.9. Al igulr ls ecuciones de dichs curvs: =, donde + = Resolviendo l ecución se otiene = ( + )( ) = entonces = y, y con ello se otienen los puntos de intersección entre ls curvs P= (, ), Q= ( 9, ), respectivmente. Como y y pr, entonces el volumen V del sólido generdo es: V = π y tdt π y tdt = π ( t) dt π () () tdt, hciendo un cmio de vrile en el primer término pr integrr, entonces: du Se u = t donde = dt, multiplicndo y dividiendo por result dt π π π π = [( t)] [ t ] {( ()) ( ( ))} {( ) ( )} = 5 π π π π + + = {( ) ( )} { } { ( )} { 5 }= π π π π π π π = = = = π 6 { 79} {} u

34 6 Unidd 8. Clcul el volumen de revolución que se otiene de girr el áre entre l gráfic de l función f() = + en el intervlo [, ], cundo ést se rot lrededor del eje. Figur 8.. L figur 8. muestr l gráfic de l función f() sore el intervlo [, ] y su volumen generdo cundo ést rot lrededor del eje es: V = π f ( d ) = π ( + ) d, desrrollndo y grupndo términos semejntes se tiene V = π {( + )( + )} d = π ( ) d = 6 5 π ( ) d, integrndo término término result 6 5 π d 8π d + π d π d + 9π d π 8π π π 9π

35 Cálculo diferencil e integrl 7 π π π π π V = () () () () () 87π 96π 56π 87π 56π V = + 86π + 8π = 97π + 86π + 8π π 56π 95π + 7 π 895π 6π V = + 77π = = Por lo tnto, el volumen uscdo es: V = 5 π u L figur 8. muestr el sólido de revolución otenido l girr el áre lrededor del eje. Figur 8... Determin el volumen del sólido de revolución otenido de rotr l región encerrd por l función F() = y ls rects =, = y y =, lrededor del eje y. Figur 8..

36 8 Unidd 8 L figur 8. muestr l región y el volumen de cuerdo con l fórmul pr clculr el volumen de revolución de regiones girds lrededor del eje y, se tiene pr f() que el volumen del sólido otenido es: V = π tf() t dt π t( t ) dt = π ( t t ) dt = π{ tdt t dt} = 8π tdt π Integrndo se tiene que t t V = 8 π = () () = = π π π 6 π 8 π 8 π Es decir, V = 8π uniddes cúics.. L se de un sólido es l región del plno y encerrd por ls curvs = y, =. Cd sección trnsversl del sólido perpendiculr l eje es un triángulo isósceles, cuyos vértices que unen los ldos igules del triángulo están sore l gráfic de l función z= sore el plno z. Hll el volumen del sólido. tdt Figur 8.. Ls figur 8. muestr l se del sólido encerrdo por ls curvs y ls secciones de áre trnsversl del sólido.

37 Cálculo diferencil e integrl 9 Como cd sección del áre trnsversl es un triángulo, y puesto que l se del triángulo A() t es t y l ltur de A() t es t, entonces: At ()= se ltur = = t( t) t y, por lo tnto, el volumen del sólido es: t V = A tdt = tdt = tdt = t = () = () = ( 6) = es decir, el volumen del sólido es: V = uniddes cúics.. L se de un sólido en el plno y es el triángulo T = {(, y)/ y, y }. Cd sección de áre trnsversl del sólido perpendiculr l eje es un semicírculo. Determin el volumen del sólido. Figur 8.. En l figur 8. se muestr l se del sólido y secciones de áre trnsversl. Pr cd se tiene un semicírculo de rdio semicírculo es: A ( )= π y demás el áre de dicho

38 Unidd 8 y el volumen es: V V = A( d ) = π π π d = d = = () = 8 8 π π. Por lo tnto, V = π uniddes cúics. 5. Hll e d Integrndo por prtes se otiene: Se u =, entonces, du = d se dv = e dv= e d v= e t t t t t por lo que e d = e e d = e + e d = e evlundo: { ( ) } + { } = = t t t t t + te e e e + = t t t t e e e e e t Ahor como e d = lim e d e d = lim e d = t t t t y t + e t +, si t t, entonces, e 6. Supong que l durción t (en ños) de un foco eléctrico de 75 W tiene l distriución de form eponencil con un función de densidd de proilidd dd por l siguiente epresión: 5. t 5. e pr t f( ) =, pr t< Clcul l proilidd de que un foco dure ños o más, vése l figur 8.5. t o

39 Cálculo diferencil e integrl Figur 8.5. Est proilidd se d por Pt [ ]= P= [ t ]= f() t dt = 5. t 5. t 5. e dt = lim 5. e dt = M 5. t 5. M lim ( e ) = lim ( e + e ) M M M M Cundo M el primer término es cero y sólo se tiene = e 7. Por lo que proimdmente 7 % de los focos dee durr de más ños. 7. Hll el áre limitd por l curv y = = +, en, el eje y l rect. = Figur 8.6.

40 Unidd 8 t d Como pr cd t, + represent en l figur 8.6 el áre somred, es dt rzonle definir el áre pedid como l integrl si este número eiste. Este + t d número eiste porque e + eiste. t d Ahor, = rctn rc tn = rc tn π. + π Si t, rc tn, por lo tnto: d π Áre = = + t = π π lim rc tn = π Ejercicios propuestos. Hll el áre comprendid en el interior del círculo r = cosθ y por fuer de l crdioide r = cosθ.. Hll el áre comprendid entre l primer y segund espir de l espirl de Arquímedes r = θ.. Clcul l longitud de l curv w y ( )= e + e desde = hst = ln.. Hll el volumen del sólido de revolución generdo cundo l región encerrd 6 por ls curvs y =, y =, y =, =, =, es gird lrededor del eje. 5. Determin el volumen de un cuñ, cortd de un cilindro circulr por un plno, que psndo por el diámetro de l se está inclindo respecto ell, formndo un ángulo = 5. El rdio de l se es R = 8 cm. w

41 Cálculo diferencil e integrl Autoevlución. Determin el áre encerrd por ls curvs cuys ecuciones son: y = +, y = ) A = 6 u ) A = 5 u c) A = 7 u d) A = u. Clcul el áre entre ls curvs dds en el intervlo indicdo f( ) =, g( ) =, sore [, ]: ) A = u ) A = u c) A = u d) A = 5 u. Hll el áre de un de ls hojs de l curv r = cosθ: ) A = π 6 ) A = π c) A = π d) A = π 8

42 Unidd 8. Clcul l longitud de l gráfic de l función f( ) = ( + ) en el intervlo [, ]: ) L = 77 u ) L = 76 u c) L = 75 u d) L = 7 u 5. Determin l longitud de l gráfic de l función f()= r r + rdr en el intervlo [, ]: ) L = u ) L = 7 u c) L = 6 u d) L = 9 u 6. Determin el volumen del sólido otenido de rotr l región encerrd por ls gráfics de y = y y =, lrededor de l rect y = : ) 7 π ) 7 π c) 7. π d) 7.5 π 5 7. Clcul l siguiente integrl impropi e d : r ) 7 ) 6 c) d) 5

43 Cálculo diferencil e integrl 5 8. Evlú l siguiente integrl impropi d : ) ) c) d)

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45 Cálculo diferencil e integrl 7 Respuests los ejercicios Ejercicio. A = 6 u. A = u. A = π u. L = 6 u 5. L = 8 u Ejercicio. V = 6 π u 5. V = 997 π u.

46 8 Unidd 8 Respuests los ejercicios propuestos. A = π. A= 8π. L = + ln( ) u ln. V = 55 π u 8 5. V = u Respuests l utoevlución. ) A = 6 u. c) A = u. d) A = π 8. ) L = 76 u 5. c) L = 6 u 6. d) 7.5π 7. d) 5 8. )