1. Distribución normal

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1 Distribución normal y correlación Universidad de Puerto Rico ESTA 3041 Prof. Héctor D. Torres Aponte 1. Distribución normal En este punto ya tenemos distintas herramientas para poder caracterizar la distribución de cierto conjunto de datos. Estas herramientas son: Siempre podemos graficar nuesta data utilizando hitogramas, diagramas de caja, diagramas de tallo de hoja, entre otras. Podemos mirar el patrón de los datos fijándonos en su centro, forma y propagación. Podemos carcular cuartiles y hacer el diagrama de cinco números. Ademas de esto en algunas ocasiones cuando tenemos una cantidad grande de datos entonces nos podemos fijar en la forma general de los datos. En la maryoría de las veces esta se puede describir utilizando una curva Curvas de densidad Figura 1: Histograma del consimo de gasolina en la ciudad (millas por galón) de 856 vehículos de motor. 1

2 En la Fígura 1, tenemos un histograma que refleja el consumo de gasolina por millaje de 856 vehículos de motor (modelos 2001) que fueron reportados en un informa oficial del gobierno de los Estados Unidos. A exepción de ciertos valores atípicos podemos ver que la grafica tiene una simetría bastante obvia y que se puede notar a simple vista. La linea que está intersecando el histograma nos representa el patrón general del histograma generado por todos nuestros dátos. Esta curva se le conoce como el modelo matemático para nuestra distribución. Un modelo matemático nos brinda una descripción ideal ofreciendonos así una imagen gráfica del comportamiento de nuestros datos ignorando así cualquier irregularidad incluyendo la posibilidad de valores atípicos. Podemos ver que es más fácil trabajar con la curva que con el histograma, esto debido a que el histograma depende del estilo de clases que nosostros escojamos. Una particularidad del ser humano es que respondemos con bastante facilidad a las áreas de las barras de un histograma. La área de una barra en un histograma representa la proporción de las observaciones Figura 2: Proporción de millas por galón menor igual a 20.0 del histograma es En área sombreada en la Figura 2 representa la proporción de vehiculos de motor modelo 2001 cuyo consumo por galón es menor que 20. Según lo datos suministrados en el informe de gobierno, existen 384 vehículos de motor bajo esta categoría. Debido a que la muestra se basa en 856 vehículos esta cantidad representa el 44.9 % de todos los modelos del Esto es 384/856 = = 44.9 %. Fijandonos en la curva de la Figura 3 vemos que el área sombreada está lozalizada a la izquierda de 20. Cabe aclarar que el área total bajo la curva es 1, esta área representa la proporción completa, 1, esto es, todas las observaciones. Entonces podemos llamar a la curva como la curva de densidad. El área sombreada en la Figura 3 representa la proporción de los modelos 2001 cuyo gasto de gasolina en millas por galón es menor que 20. Esta área es Si comparamos este resultado con el anterior (el cual utilizamos el histograma) vemos que solamente existe una diferencia de Vemos entonces que el área bajo la curva es una buena aproximación del área cubierta por el histograma. 2

3 Figura 3: Proporción de millas por galón menor igual a 2.0 de la curva es Definición 1.1. Una curva de densidad es una curva que cumple con lo siguiente: siempre está lozalizada por encima del eje horizontal tiene una área exactamente 1. La curva de densidad describe el patrón general de la distribución. El área bajo la curva y encima del eje horizontal es la proporción de todas las observaciones que existen en este rango. La curva de densidad en las Figuras 1 y 2 es una curva normal. Las curvas de densidad igual que las distribuciones pueden tomar distintas formas. En la Figura 4 vemos dos curvas de densidad con dos formas distintas: perfectamente simétricas y sesgada a la derecha. Median and mean (a) Median Mean (b) Figura 4: (a) Media y mediana de una densidad simétrica, (b) Media y mediana de una densidad sesgada a la derecha. 3

4 Definición 1.2 (Mediana y media en una curva de densidad). La mediana de una curva de densidad es el punto donde exactamente quedan las miasmas áreas a ambos lados de este punto. Es decir, este punto divide el área de la curva en exactamente la mitad. La media de una curva de densidad es el punto del balance. La mediana y la media son lo mismo si la gráfica de densidad es una simétrica. Ambos estarán ubicados en el centro de la curva. La media de una densidad sesgada se aleja de la media en dirección de la cola mas larga. Figura 5: La media como punto de balanse en una curva de densidad. Con un poco de dificultad podemos encontral la media, mediana, cuartiles de cualquier curva de densidad esto solo haciendo una inspección visual de la curva de densidad. Pero esto no es cierto al momento de encontrar la desviación estadar. Con el propósito de idealizar las descripciones de las distribución de la data tenemos que establecer una notación la cual establesca una diferencia. Para esto, la forma usual es referirnos a la media utilizando la letra griega µ y para escribir la desviación estandar utilizaremos la letra griega σ. Por consiguiente la varianza estará denotado como σ Distribuciones normales Las gráficas que describen lo que es una distribución normal tienen unas caracteristicas muy particulares, estas son, simétricas, unimodal (un solo pico) y en forma de campana. A estas curvas se le llaman curvas normales y estas describen lo que es una distribución normal. La curva de densidad exacta de una distribución está dada por los parámetros µ (media) y σ (desviación estandar). La media está localizada en el centro de la curva simétrica y es la misma que la mediana. Si cambiamos µ sin cambiar σ entonces la gráfica Normal se mueve en el eje horizontal sin cambiar su propagación. La Figura 6 nos muestra dos curvas Normales con diferentes valores de σ. σ σ µ µ Figura 6: Dos curvas Normales con media µ y desviación estandar σ. 4

5 1.3. La regla de Sabemso que existen muchos tipos de curvas Normales y estas comparten propiedades en común. En particular todas las distribuciones Normales obedecen las siguientes reglas. Definición 1.3. En una distribución Normal con media µ y desviación estandar σ: 68 % de las observaciones están dentro de σ y µ. 95 % de las observaciones están dentro de 2σ y µ % de las observaciones están dentro de 3σ y µ. La Figura 7 describe la regla Si usted logra recordar estos tres números, entonces tiene una buena manera de como trabajar en la distribución Normal sin tener que hacer muchos cálculos matemáticos complicados. 68% of data 95% of data 99.7% of data Figura 7: La regla para distribuciones Normales. 2. Diagrama de disperción (Scatterplots) Un diagrama de disperción nos muestra la relación que existe entre dos variables cuantitativas las cuales fueron medidas en el mismo individuo. Los valores de una variable aparecen en el eje de x y los valores de la otra variable aparecen en el eje de y. Cada individuo en la data es representado por un punto en el plano cartesiano. Note que normalmente le llamamos a la variable en el eje de x variable independiente y a la variable en el eje de y variable dependiente. 5

6 Gross sales /22/ Number of items sold Figura 8: Diagrama de disperción 2.1. Examinar un diagrama de disperción Para cualquier gráfico tenemos que mirar el patrón general y las posibles desviaciones que pueda tener nuestros datos representados en una gráfica. Un diagrama de dispersión lo podemos describir mirando lo siguiente: forma dirección fortaleza de la relación Una de las desviaciones mas importantes que siempre debemos considerar son los posibles valores atípicos existentes en nuestra data y la relación que tenga con valores no atípicos (ver figura a continuación) City miles per gallon Highway miles per gallon 6

7 Esta figura nos muestra una forma clara de que el patrón de los datos es uno lineal aunque con la consideración de un punto como valor atípico. Definición 2.1 (Asociación positiva o asociación negativa). Dos variables son positivamente asociadas cuando los datos tienen una pendiente positiva y se consideran negativamente asociados si tiene una pendiente negativa. La fortaleza de la relación en un diagrama de disperción es determinado por cuan cercanos está un dato de otro. Vemos que la Figura 8 tiene un patrón lineal con una dirección clara cuyos datos son positivamente asociados y tienen una gran fortaleza. 3. Correlación Un diagrama de puntos o scaterplot muestra la forma, dirección, y cuan fuerte es la relación entre dos variables cuantitativas. Las relaciones lineales son particularmente importantes porque una linea recta nos representa un patrón sencillo y bastante común. Definición 3.1. La correlación mide la dirección y la fortaleza de una relación lineal entre dos variables cuantitativas, la cual es usualmente denotada por r. Suponga que tenemos cierta data en las variables x y y para n individuos. Los valores del primer individuo son x 1 y y 1, los valores para el segundo individuo son x 2 y y 2 y así sucesivamente. Las medias y las desviaciones estandares de estas dos variables son x y s x para los valores de x y para los valores de y tenemos que la media y la desviación estandar es ȳ y s y respectivamente. La correlación r entre x y y es n ( ) ( xi x yi ȳ r = 1 n 1 i=1 La fórmula para r comienza con la estandarización de las observaciones. Suponga, por ejemplo, que x representa al altura en centímetro y y el peso en kilogramos y tenemos la medida de estatura y peso para una muestra de n personas. Entonces x y s x son la media y la desviación estándar de n alturas, ambas en centímetros. El valor s x x i x s x es la altura estandarizada para la i ma persona. La estandarización de la altura nos indica cuantas desviaciones estándares hay por encima o debajo de la media. La correlación r es el promedio de los productos de las alturas estandarizadas y de los pesos estandarizados para n personas Carácteristicas de la correlación La formula de correlación a ver el valor de r y poder concluir que hay una asociación positiva entre las variables. Por ejemplo, la altura y el peso tiene una asociación positiva. Personas que tienden a estar por encima de la altura promedio también tienden a estar por encima de el peso promedio. 7 s y ).

8 1. La correlación requiere que ambas variables sean cuantitativas, esto para poder llevar a cabo toda la aritmética que está en la fórmula. No podemos calcular la correlación entre grupos de personas y en que ciudad viven, porque hay una variable categórica. 2. Como r utiliza valores estandarizados de observación, r no varía cuando las unidades de medida cambia. 3. Si r es positivo nos indica que las variables están positivamente asociadas. 4. La correlación r siempre es un número entre 1 y 1. Esto es, 1 r 1. Los valores de r que son cercanos a 0 nos indica que existe una relación lineal débil. La fortaleza de la relación aumenta cuando el valor de r se acerca a 1 o 1. Valores de r cercanos a 1 o 1 nos indica que la relación es próxima a una línea. Los valores extremos r = 1 y r = 1 ocurren en casos donde exista una relación linal perfecta, donde los puntos estén alineados perfectamente en una linea. 5. La correlación solamente trabaja con fortalezas lineales y no trabaja con datos que tomen otras formas. 6. La correlación r no es resitente. Es igual que la media y la desviación estandar. Correlation r = 0 Correlation r = 0.3 Correlation r = 0.5 Correlation r = 0.7 Correlation r = 0.9 Correlation r = 0.99 Figura 9: Interpretación de las correlaciones 8