CAPÍTULO 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 8 CAPÍTULO : LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITES.. Concpto d it. Id intuitiv Qué s un it? Lo podmos dinir como qul lugr l qu, si no llgmos, srmos cpcs d crcrnos todo lo qu qurmos. En sntido mtmático, l it d un unción n un punto, tin sntido d lugr hci l qu s dirig l vlor d l unción cundo l vribl indpndint s proim un vlor dtrmindo. Si tommos l unción dl gráico djunto, cundo s proim l vlor, l vlor d l unción s proim l vlor. Admás, n st cso, no solo podrmos crcrnos todo cunto qurmos, sino qu llgmos s vlor, pusto qu l vlor d l unción pr = s =. Amplindo l gráic d l unción, n l ntorno dl punto,, hmos dibujdo los vlors d n l ntorno d = y, como primr obsrvción, vmos qu nos podmos crcr l vlor d = dsd vlors myors rojo o mnors él vrd. En l primr cso dirmos qu nos proimmos l vlor d = por l drch y, n l sgundo cso, por l izquird. En mbos csos, podmos vr qu l vlor d s proim, tnto como qurmos, por l drch dsd vlors mnors rojo, pro tmbién lo podrmos hcr, dsd l izquird, dsd vlors myors vrd. Estim l vlor d Por lo tnto, podmos intuir qu, l it d l unción s, cundo l vlor d l vribl indpndint s crc y s prs d l siguint orm: Dmos vlors l vribl pr vlors próimos l punto = Obsrv cómo, l proimrnos los vlors d l vribl, sindo myor qu :,,, los vlors d l unción s proimn : 6,,,,,,, sindo simpr myors qu, mintrs qu l proimrnos, sindo mnors qu :,, 99, 999, 9999 los vlors d l unción tmbién s proimn, tnto como qurmos, sindo hor mnors qu :,,, 6,, 996, Prtndmos scribir con rigor mtmático l id d proimrs y str crc, tnto como qurmos. Dinición Dd un unción : X, X un intrvlo d, y un punto =, s dic qu l it d, cundo s proim s L, y s prs: L Pr todo >, ist un > tl qu, simpr qu < <, X, s cumpl L<. Dl gráico ntrior, s dsprnd qu, culquir punto qu prtnzc l intrvlo, +, slvo quizás l propio punto por s motivo prc n l dinición s signo <, <, pr liminr dl ntorno l punto, su imgn simpr strá contnid n l intrvlo L, L +. Y como lo podmos hcr pr culquir, ntoncs, podrmos irmr qu L s l it d, cundo s proim. Es un dinición riguros, con un lto nivl d bstrcción, pro no t procups, no s l vmos utilizr n l cálculo d its. Aunqu sí l vmos usr un vz: Utiliz l dinición d it pr comprobr qu L dinición dic: pr todo, por lo qu lgimos un culquir, imponmos: L< < = + < < <. Bst tomr < < pr qu s vriiqu si < < ntoncs <. Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

2 8 Actividds propusts. Utiliz l dinición d it pr probr qu... Propidds d los its Hbrás obsrvmos qu clculr its utilizndo l dinición pud sr muy complicdo. Por so nos intrs obtnr propidds y ncontrr procdimintos qu nos prmitn clculrlos con myor soltur. Si ist, s único: Si ist, s único. Si hubir dos its distintos bstrí tomr como un trcio d l distnci ntr mbos its pr llgr contrdicción. Oprcions con los its Pr studir ls oprcions con los its vmos suponr qu y g son dos uncions dinids sobr un mismo intrvlo X y con vlors n. Cundo indicmos L dbn sr y L númros rls. Rspcto d l sum d uncions: El it d l sum d dos uncions, s igul l sum d los its d ls uncions simpr qu l oprción ntr los its sté dinid y dichos its istn, y s prs sí: g g Análogo s pr l rst d uncions. Rspcto dl producto d uncions: El it dl producto d dos uncions, s igul l producto d los its d ls uncions simpr qu dichos its istn y l oprción ntr los its sté dinid, y s prs sí: g g Un cso prticulr s prsnt cundo un d ls uncions s un constnt, n s cso, l prsión qud: K K Rspcto dl cocint d uncions: El it dl cocint d dos uncions, s igul l cocint d los its d ls uncions, simpr qu los its istn, l oprción ntr los its sté dinid y qu g M, y s prs sí: g g si g M Rspcto d l potnci d uncions: El it d un potnci d uncions, s igul, n gnrl, l potnci d los its d ls uncions, y s prs sí: g g Anlizrmos csos prticulrs n l cálculo d its, como cundo l it d l bs s, y l ponnt tind ininito. Un cso prticulr s prsnt cundo un d ls uncions s constnt, n s cso, l prsión s: K Rspcto d l composición d uncions: El it d l composición d uncions, s igul l composición d los its d ls uncions, simpr qu g s continu n, y s prs sí: g g si g s continu n. Como vimos nts, podmos crcrnos por l drch o por l izquird y, d hí, obtnmos los its ltrls. Clcul l vlor d Aplicndo ls propidds sbmos qu. Aplicndo l dinición comprobmos qu y qu l it d, por lo qu usr ls propidds nos prmit clculr un bun númro d its sustituyndo. K Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

3 8 Clcul los its siguints: Así, por jmplo, podmos clculr los siguints its simplmnt sustituyndo: Límits ltrls Límit ltrl por l drch El it ltrl, por l drch d un punto, d l unción, s prs como: L y s din como l vlor d cundo tind, simpr qu s cumpl l condición >. Es dcir, pr todo >, ist un > tl qu, simpr qu < <, X, s cumpl L <. Límit ltrl por l izquird. El it ltrl, por l izquird d un punto, d l unción, s prs como: L y s din como l vlor d cundo tind, simpr qu s cumpl l condición <. Es dcir, pr todo >, ist un > tl qu, simpr qu < <, X, s cumpl L <. Eistnci d Límit Pr qu un unción tng it n un punto =, s ncsrio y suicint qu istn los its ltrls y coincidn, s dcir: Dd un unción y un punto =, s dic qu l it d, cundo s proim s L si s vriic qu: Eistn y Son iguls: L. Entoncs dcimos qu: = L. Estim l vlor dl it l drch y l vlor dl it l izquird d = n l unción: si 7 si Dmos vlors l vribl pr vlors próimos l punto =. Pr stimr l it l drch nos proimmos, tnto como qurmos, con vlors myors qu, utilizndo l rm d l unción dinid pr vlors myors qu, s dcir: : 9 6 Obsrv cómo l proimrnos, sindo myor qu :,,,,, los vlors d l unción s proimn, l vlor dl it ltrl por l drch:,,,,. Pr stimr l it l izquird nos proimmos, tnto como qurmos, con vlors mnors qu, utilizndo l rm d l unción dinid pr vlors mnors qu, s dcir: : X Obsrv cómo l proimrnos, sindo mnor qu :,,, 999, 9999, los vlors d l unción s proimn, l vlor dl it ltrl por l izquird:,,, 997, En st cso mbos its ltrls coincidn. Obsrv l gráic d l unción: Sin mbrgo, l vlor d l unción no stá dinido n =. Clcul l vlor dl it l drch y l vlor dl it l izquird d = n l unción: si si Pr clculr l it por l izquird d l unción n = nos proimmos, sindo mnors qu, por lo qu tommos l rm d l unción: + : Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

4 86 Pr clculr l it por l drch d l unción n = nos proimmos, sindo myors qu, por lo qu tommos l rm d l unción: : Los dos its ltrls son distintos, lugo no ist l it. Actividds propusts. Clcul los its ltrls y dtrmin si ist l it n ls uncions siguints dinids trozos, n los puntos n los qu s unn dos rms: si si si b c si 7 si si.. Tipos d its Límits ininitos Dd un unción : X, X = [, +, s dic qu l it d, cundo tind + s L, y s prs: L, cundo pr todo >, ist un k > tl qu, simpr qu > k, X, s cumpl L <.. D orm nálog podmos dinir cundo l punto s proim. O más gnrl: L >, k > tl qu, simpr qu > k, X, s cumpl L <. L dinición s l mism qu n l cso inito, sustituyndo l ntorno dl punto = por un ntorno dl ininito. Dd un unción : X, X un intrvlo d, y un punto =, s dic qu l it d, cundo s proim +, y s prs: Cundo pr todo k >, ist un > tl qu, simpr qu < <, X, s cumpl > k. D orm nálog podmos dinir cundo l unción tind. Y tmbién cundo l punto s proim + y l unción tind +, cundo En ocsions, pr un dtrmindo vlor d l vribl indpndint, =, l vlor d l unción crc tnto como s quir n vlor bsoluto: k >, > tl qu, simpr qu < <, X, s cumpl > k. Obsrv qu no nos stmos ijndo n l signo d ininito. Obsrv l gráic d l unción y stim l vlor dl it l drch d = y l it cundo tind +. El it l drch d = s +,, y l it cundo tind + obsrvmos qu s, qu Los tipos d its qu nos podrmos ncontrr dpndrán d los vlors qu tomn, tnto l vribl indpndint, como l unción. Así, tndrmos: Finito - Vlor dl Límit Ininito Finito - Vlor l qu tind l vribl indpndint Ininito Hcindo ls combincions d mbos lmntos, tndrmos cutro posibilidds: VALOR DEL LÍMITE FINITO INFINITO VALOR VARIABLE INDEPENDIENTE FINITO INFINITO L L Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

5 87 Vmos lgunos jmplos d tipos d its. Límit inito n punto inito En st cso l vlor dl it s inito cundo l vribl indpndint tind un vlor inito. En l unción: cundo l it d l unción s : Límit inito n punto ininito En l unción ntrior, cundo, l it s : Limit ininito n punto inito En l mism unción d l gráic,, cundo, l it tomrá l vlor : Límit ininito n punto ininito En l cso d vlor d it ininito cundo l vribl indpndint tind ininito, dbrmos tomr otr unción culquir qu s simpr crcint prtir d un vlor. S l unción,. El it d l unción, cundo tind, tom l vlor :. Es más, tnto cundo tind como cundo tind +, l unción tind +. Actividds propusts. Clsiic los siguints its n initos o ininitos, y clcúllos: b c. Clcul los siguints its, indicndo l signo: b c d d. Clcul los siguints its, indicndo l signo: b c d.. Cálculo d its Oprcions con y Pr podr clculr its, dbmos conocr prvimnt cirts oprcions con y, y cirts propidds qu tinn los its rspcto d lguns oprcions mtmátics como son l sum-rst, multiplicción-división, potncis, composición, tc. Si summos, rstmos, multiplicmos dos númros rls, no tnmos ningún problm pr sbr l rsultdo, pro y si s l? Obsrv l tbl siguint y comprub qu n ocsions sí sbmos l rsultdo, pro n otrs, dcimos indtrmindo pus no lo sbmos d orm inmdit, dbmos trbjr más pr sbrlo. SUMA PRODUCTO COCIENTE K = K = K + = = K = Indtrmindo = Indtrmindo Indtrmindo K K Indtrmindo Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

6 88 POTENCIAS K K si K = si K = Indtrmindo si K = K si K = Indtrmindo + + = + + = + = + = Indtrmindo Not: Indtrmindo no signiic qu no pud istir l it, sino qu srá ncsrio rlizr lguns oprcions prvis pr podr dtrminr si ist, y su vlor. El it d pus sgún vimos n ls oprcions con, l dividir un númro por lgo qu tndí s obtní Como ininito no s un númro rl, cundo l it tind ininito, dcimos qu no ist. Indtrmincions El procso d cálculo d un it consist, como y hmos visto, n sustituir l vribl por l vlor l qu tind y oprr, obtnindo l rsultdo dl it qu podrá sr un vlor inito, ininito o indtrmindo. Si l rsultdo s indtrmindo dbmos trbjr más. Como hmos visto n l prtdo ntrior, n lguns oprcions con y, no podímos llgr dtrminr l vlor, pusto qu rsultb un indtrminción. Eistn lgunos tipos d indtrmincions qu son rsolubls hcindo oprcions y/o simpliiccions prvis qu studimos continución. Anlizrmos como rsolvr cd cso d indtrminción. Indtrminción Est tipo d indtrmincions s pudn rsolvr oprndo con mbs uncions, y qu suln sr dl tipo g. Actividd rsult Indtrmindo Pro si hcmos oprcions y ls summos prvimnt: Clculmos l it d l unción, y nos rsult: pus l dnomindor tind. Actividds propusts 6. Clcul l it: 9 7. Clcul l it: 8. Clcul l it: 9. Clcul l it: Indtrminción Normlmnt suln drs n productos d uncions g, dond = y g =. Suln rsolvrs oprndo y simpliicndo. Actividd rsult 6 9 Indtrmindo Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

7 Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd 89 Si clculmos ls rícs dl polinomio , obtnmos qu = s un ríz dobl, por lo qu los ctors dl polinomio son + y sustituyéndolo n l cución nos qud 9 6 Clculmos, hor, l it d l unción simpliicd, y obtnmos: 9 6 Actividd rsult El it siguint tmbién s indtrmindo s dcir, todví no lo hmos dtrmindo. Indtrmindo Si clculmos ls rícs dl polinomio, obtnmos qu son = y =, por lo qu los ctors dl polinomio son: = + y, sustituyéndolo n l it, nos qud: Clculmos, hor, l it d l unción simpliicd, y obtnmos: Actividds propusts. Clcul l it: 9 6. Clcul l it: Indtrminción / Est tipo d indtrmincions s producn porqu istn lgunos ctors n l numrdor y dnomindor qu lo hcn cro y qu srá convnint liminr por lgún método mtmático. Pr llo, dbmos ctorizr polinomios, multiplicr y dividir por l conjugdo o culquir otro procdiminto qu nos prmit liminr l indtrminción. Actividd rsult Si sustituimos vlors n l siguint it, tmbién s indtrmindo, por lo qu clculmos los ctors d los polinomios dl numrdor y dnomindor, y simpliicndo lo posibl, obtnmos:: Actividd rsult Si sustituimos vlors n l siguint it, tmbién s indtrmindo. Uno d los sumndos s un ríz, por lo qu pr quitr l indtrminción vmos probr multiplicndo por l conjugdo: Actividds propusts. Clcul l it: 9 6. Clcul l it:. Clcul l it:. Clcul l it:

8 9 Indtrminción / Aunqu pudn prsntrs muchos csos, l más rcunt s l d cocints d polinomios cundo l vribl indpndint tind. Así tndrmos qu P Q P Lugo s un indtrminción dl tipo /. Q Pr rsolvr st tipo d indtrmincions, s ncsrio comprr l grdo dl polinomio dl numrdor con l grdo dl polinomio dl dnomindor, pudiéndos prsntr los siguints csos: P Si grdop > grdo Q ntoncs Q P Si grdop = grdo Q ntoncs K Q P Si grdop < grdo Q ntoncs Q Pr rsolvr st tipo d its obsrvmos qu cundo l vribl s hc muy grnd l it vndrá ddo por los términos d myor grdo. Nos qudmos con llos, y simpliicmos. grdop = grdo Q: Obsrv lo qu ocurr si dmos vlors: , S proim, 8 tnto l drch como l izquird. grdop > grdo Q: grdop < grdo Q: 7. En l cso d its ininitos d cocint d polinomios si n m n n podmos simpliicr los n... n n si n m cálculos pus hmos visto qu: m b b m b b m... m m si n m Actividds propusts 6. Escrib, sin hcr cálculos, l vlor d los its siguints: b 7. Clcul los its siguints: b c 7 c d d 8. Clcul los its siguints: b sn c 7 d ln Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

9 Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd 9 Indtrminción Pr podr rsolvr st tipo d indtrmincions, s ncsrio conocr l númro, qu s din como: '788 n n n. Si ntoncs 788 ' Ls solucions d st tipo d indtrmincions psn, irrmdiblmnt, por llgr un prsión dl tipo d l dinición dl númro. Obsrvmos qu s l it d un potnci n l qu l bs tind, y l ponnt tind ininito. Así, cundo l clculr un it stmos n s situción dcimos qu s un it tipo. Vmos lgunos jmplos. Actividd rsult En l it siguint: L bs tind, y l ponnt lugo s un it tipo. Pr rsolvrlo, primro compltmos l primr d l dinición, y lugo l sgundo: Lugo hcmos l ponnt igul l dnomindor pr lo qu multiplicmos y dividimos l ponnt por l dnomindor dl sumndo d l bs. Así, tndrmos El it d l bs s y l it dl nuvo ponnt n st cso s, por lo qu: Est tipo d indtrmincions, tmbién s pudn rsolvr mdint l prsión: Indtrminción,,. Est tipo d indtrmincions ponncils s rsulvn mdint l plicción d logritmos nprinos ln. Suponmos qu l it d sts indtrmincions s: L g Tomndo logritmos nprinos n mbos mimbros d l iguldd, tndrmos: ln ln L g Y por propidds d los its y d los logritmos s tin: L L g L g ln ln ln ln Por tnto: ln g L y L g Actividds propusts 9. Dtrmin los its siguints: b c d. Dtrmin los its siguints obsrv qu no son tipo : b c d

10 9. ASÍNTOTAS Ls síntots d un unción cso d istir son rcts dl plno ls qu l unción s proim tnto como qurmos. Pusto qu ls síntots son rcts dl plno, pudn sr horizontls, vrticls y oblicus... Asíntots vrticls Pr qu un rct vrticl pud sr síntot d un unción, s db cumplir: o Entoncs dcimos qu = s un síntot d y =. L rct = s vrticl. Ls posibls síntots vrticls d un unción, strán n los puntos d l unción qu no prtnzcn su dominio y s db vriicr qu l it d l unción, cundo l vlor d tind s punto, s hc muy grnd n vlor bsoluto, s dcir, tom l vlor. Asíntots vrticls d l unción:. L unción tin un síntot vrticl n =, pus pr = l unción no stá dinid, no prtnc su dominio d dinición, y l it l drch y l izquird, tind ininito. Tmbién tin un síntot vrticl n =, pus pr = l unción no stá dinid, no prtnc su dominio d dinición, y l it tind ininito. Por tnto ls síntots vrticls d son ls rcts vrticls: = y =. Actividds propusts. Dtrmin ls síntots vrticls d ls uncions siguints: b c d.. Comportminto n l ininito Asíntots horizontls Pr qu un rct horizontl s síntot d un unción s db cumplir l siguint condición: K o K Entoncs dcimos qu y = K s un síntot horizontl d y =. L unción: tin un síntot horizontl, y = y un síntot vrticl =. Y lo hmos visto n ctividds ntriors. Dtrmin l síntot horizontl d l unción:. Al nlizr l comportminto d l unción cundo l vribl indpndint tind ininito, tnto +, como, s obsrv qu l unción s crc, lugo tin un síntot horizontl, y =. Asíntots oblicus Pr qu un rct oblicu y = m + n pud sr síntot d un unción, dbn istir, y sr initos, los its siguints: m y n m. Dtrmin l síntot oblicu, si ist, d l unción:. Clculmos l it m - Por tnto ist un síntot oblicu d pndint m =. Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

11 9 Clculmos l ordnd n l orign con l it: n m Por tnto l rct y = + s un síntot oblicu d l unción. Rms prbólics Pro n muchs ocsions no hy ni síntots horizontls ni síntots oblicus. Y conocs bin, por jmplos, l prábol y =, qu cundo tind +, o l unción crc sin proimrs ningun rct. Por simpliicción, s dic n todos stos csos qu hy un rm prbólic. L uncions:,,,, tinn rms prbólics n su comportminto n l ininito. Obsrv qu y y y y, lugo tin un rm prbólic., lugo tin un rm prbólic., lugo tin un rm prbólic., lugo tin un rm prbólic. Actividds propusts. Dtrmin l síntot horizontl d cd un d ls uncions siguints: b c d. Dtrmin l síntot oblicu, si ist, d cd un d ls uncions siguints: b c d. Anliz l comportminto n l ininito d cd un d ls uncions siguints: b c d. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Intuitivmnt, podmos dcir qu un unción s continu n un punto si somos cpcs d pintrl, crc d s punto, sin lvntr l lápiz dl ppl, o si somos cpcs d rcorrrl con l ddo sin ncontrrnos ningún obstáculo sltos, indinicions, tc.. Pro l continuidd d un unción s pud studir n un punto, n un intrvlo o n todo su dominio d orm más prcis... Continuidd d un unción En lnguj mtmático, l ntrior dinición simpl, s complic bstnt y s prs sí: Dd un unción : X, X un intrvlo d, y un punto = X, s dic qu l unción s continu n l punto =, si: Pr culquir >, ist un > tl qu simpr qu <, X s cumpl qu <. Esto lo podmos nuncir dicindo qu, si nos crcmos l punto, ntoncs ls imágns d l unción s proimrán l imgn d. Si sto no ocurr, ntoncs, l unción no srá continu n = y dirmos qu l unción tin un discontinuidd n =. Compr l dinición d continuidd con l d it, y obsrv qu hor l punto db prtncr l intrvlo X, mintrs qu n l d it podí no ocurrir. Est rlción pud prsrs d l siguint orm: Un unción s continu n l punto = sí, y solo sí, s cumpln sts trs condicions: Qu pr l punto = ist. Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

12 9 Qu ist y s inito l it d l unción pr =, lo qu implic qu istn los its ltrls y coincidn. Qu los dos vlors ntriors coincidn: Bjo sts trs condicions, l unción s continu n l punto =. Continuidd d un unción n un intrvlo birto Pr qu un unción s continu n un intrvlo birto, l unción db sr continu n todos los puntos dl intrvlo. Si lo ur n todo l dominio, dcimos qu l unción s continu. Actividd rsult si Estudi l continuidd d l unción si Ls uncions polinómics son continus n tod l rct rl. El único punto dudoso s =. Estudio d l continuidd d l unción n l punto = : Comprobmos, como primr mdid, qu l unción stá dinid n =. Pr =, tnmos qu dtrminr = + = 6 + = 8, lugo ist. Clculmos, ntoncs los its ltrls d l unción pr =. Limit por l izquird: 8 Limit por l drch: 6 8 Los its ltrls, istn, son initos y coincidn. Vmos si coincid, l it d l unción con l vlor d l unción n = : = 8 = Lugo, como s cumpln ls trs condicions, l unción s continu n =. Como s r l único punto dudoso, s pud irmr qu l unción s continu n tod l rct rl... Propidds d ls uncions continus Ls uncions polinómics, rcionls, con rdicls, ponncils, logrítmics y trigonométrics son simpr continus n su dominio. Por lo tnto, prsntrán discontinuidds n qullos puntos n los qu no sté dinid y, por lo tnto, no prtnzcn su dominio. Oprcions d uncions continus Sn ls uncions y g continus n l punto =, ntoncs podmos irmr qu: + g s continu n =. g s continu n =. s continu n =, si g. g s continu n =, si s continu n g. g Ls uncions polinómics son uncions continus n todo. Bst comprobr qu l unción =, l unción = son uncions continus pr comprobr qu culquir unción polinómic s sum y producto d sts uncions. Ls uncions rcionls son continus n todo slvo pr los vlors qu nuln l dnomindor. Estudi l continuidd d. En cto, ls uncions rcionls son cocint d uncions polinómics, qu son continus n tod l rct rl. L unción s continu n {, }, pus l dnomindor s nul n dichos vlors... Tipos d discontinuidd Eistn vrios tipos d discontinuidds d ls uncions, qu s prsn n l cudro siguint: EVITABLES No ist imgn n l punto Eistn los its ltrls y son L imgn ist pro no coincid con los its ltrls initos iguls INEVITABLES Los its ltrls no istn, bin porqu lguno s ininito o porqu son distintos, o lguno d los its ltrls no ist. D primr spci D slto inito Límits ltrls initos pro distintos D slto ininito Alguno o los dos its ltrls son ininitos D sgund spci No ist lguno d los its ltrls. Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

13 9 Ls discontinuidds vitbls, s llmn sí porqu s pudn solvntr mdint l rdinición d l unción n l punto, bin porqu no stuvir dinid, bin porqu no coincidir l imgn con los its ltrls, qu istn, coincidn y son initos. Ls discontinuidds invitbls vinn dds porqu: los its ltrls istn, son initos y no coincidn d primr spci d slto inito. Slto s igul _ istn pro lguno s ininito d primr spci d slto ininito. Slto ininito. o no ist lguno d los its ltrls o los dos d sgund spci. Discontinuidd vitbl si si Discontinuidd d primr spci slto inito si si Discontinuidd d primr spci slto ininito si si Discontinuidd d sgund spci sn si si Actividd rsult Estudi l continuidd d los jmplos ntriors. Obsrv qu l unción si no stá dinid n =. Bstrí dinir si si si pr qu l unción us continu. Por tnto l unción tin un discontinuidd vitbl n =, sindo l unción continu n {}. L unción si tin mbos its ltrls n = y son initos, pro distintos, por lo qu tin un si discontinuidd d primr spci n = d slto inito, con slto. Es un unción continu n {}. L unción si tin l it l drch d, ininito, por lo qu tin n = un discontinuidd d primr si spci d slto ininito. L unción s continu n {}. si L unción no tin it l drch d. L unción sno tin luctucions cd vz más junts por sn si lo qu dicho it no ist. Es un discontinuidd d sgund spci. L unción s continu n {}. Actividds propusts. Estudi l continuidd d ls uncions siguints: b c log d 6. Dtrmin l vlor d k pr qu l unción k si si s continu n tod l rct rl. 7. Estudi l continuidd d ls uncions siguints: si si b c si si si Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

14 96 Dinición d it RESUMEN L Pr todo >, ist un > tl qu, simpr qu <, s cumpl L <. Límit ltrl l drch Límit ltrl l izquird Eistnci d it Asíntots Propidds d los its L l vlor d cundo tind, simpr qu s cumpl l condición > L l vlor d cundo tind, simpr qu s cumpl l condición < Si Si K hy un síntot horizontl y = K. hy un síntot vrticl =. L unción si tin si d it ltrl l izquird 8, y d it ltrl l drch tmbién 8, pus L L unción tin it n = si si síntot horizontl, y = y síntot vrticl = g g g g K K g g si g. Continuidd d un unción n un punto Propidds d ls uncions continus Un unción s continu n l punto =, si pr culquir >, ist un > tl qu simpr qu <, s cumpl qu <. L sum y l producto d uncions continus s un unción continu. El cocint d uncions continus s un unción continu si no s nul l dnomindor. L unción continu n = Los polinomios son uncions continus n si si s continu n {} s Tipos d discontinuidd Límits. Clcul los its siguints: b 9 Evitbl. D primr spci d slto inito. D primr spci d slto ininito. D sgund spci EJERCICIOS Y PROBLEMAS Clcul los its siguints: 8 8 b c c g g si si vitbl n = = / d primr spci con slto ininito n = d d h Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd

15 Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd 97. Dtrmin ls síntots d ls uncions siguints: b c 6 d g ln h Continuidd. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. log b g c h. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. b g c h 6. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. b g 7 c h 7. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. 6 b g c h 8. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. ln b ln g c 9 ln h 9. Estudi l continuidd d ls uncions siguints, indicndo n cd cso l tipo d discontinuidd. d 7 9 g h. Dd l unción Estudi su continuidd. b Rprsnt su gráic. Dd l unción k Dtrmin l vlor d k pr qu l unción s continu n tod l rct rl. Rprsnt su gráic. Dd l unción. Estudi su continuidd. b Rprsnt su gráic. Dd l unción. Estudi su continuidd. b Rprsnt su gráic. Esboz l gráic d l unción indicndo sus síntots y sus puntos d discontinuidd.. Esboz l gráic d l unción indicndo sus síntots y sus puntos d discontinuidd.

16 98 AUTOEVALUACIÓN. El it s igul : b c d /. El it s igul s igul : b c d. El it s igul : b c / d. El it s igul : / b c d 7. El it s igul : b c d 7 6. El it s igul : b c d 7. El it s igul : b c d 8. Estudi l continuidd d si n =. si Es continu b Tin un discontinuidd vitbl c Un slto inito d Un slto ininito 9. Estudi l continuidd d si n =. si Es continu b Tin un discontinuidd vitbl c Un slto inito d Un slto ininito. Estudi l continuidd d si n =. si Es continu b Tin un discontinuidd vitbl c Un slto inito d Un slto ininito Mtmátics Aplicds ls Cincis Socils I. º Bchillrto. Cpítulo : Límits y continuidd