CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

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1 COCEPTOS BÁSICOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

2 Codfcacó Procesameto de datos Cosste e proporcoar códgos umércos o alfaumércos a dversos procesos Cualtatvos Cuattatvos umero de decmales 0 Tabulacó: Epresar valores, magtudes u otros datos por medo de tablas. Flas, columas Proporcoa ua prmera dea de las tedecas de los resultados. Preseta los valores ecotrados para cada varable Prmer paso para su presetacó gráfca y para el tratameto estadístco. Su orgazacó depede del úmero y de las característcas de las varables Orgazacó: Plafcar o estructurar, poer orde Dseños trasversales o estátcos (los datos represeta observacoes realzadas e u solo mometo temporal). Dseños logtudales (los datos so regstrados a lo largo de tervalos temporales):

3 Aálss de datos Es la técca que cosste e el estudo de los hechos y el usos de sus epresoes e cfras para lograr formacó valda y cofable. Del aálss Técca estadístca. Hallar que hay e los datos.. Coocer que tato varía los datos. 3. Cómo está dstrbudos los datos?. 4. Qué relacó este etre varable?. 5. Estmacoes y predccoes. 6. Descrbr las dferecas etre grupos y varables. 7. Demostrar causaldad.. Meda, medaa, moda. Desvacó estádar, varaza, etc. 3. Frecueca 4. Correlacó y meddas de asocacó 5. Estmacó de puto e tervalos y regresó 6. Prueba T, Z y aálss de varaza 7. Prueba T, Z y aálss de varaza

4 Estadístca descrptva Cuado se dspoe de datos de ua poblacó, y ates de abordar aálss estadístcos mas compleos, u prmer paso cosste e presetar esa formacó de forma que ésta se pueda vsualzar de ua maera mas sstemátca y reducda Para varables categórcas, se requere coocer la frecueca y el porcetae del total de caso que cae e cada categoría. Represetar resultados medate dagrama de barras o dagrama de sectores. Aalza metódcamete los datos, smplfcádolos y presetádolos e forma clara; elmado la cofusó característca de los datos prelmares. Permte la elaboracó de cuadros, gráfcos e ídces be calculados Estadístca Iferecal Provee coclusoes o ferecas, basádose e los datos smplfcados y aalzados; detectado las terrelacoes que puede urlos, las leyes que los rge y elmado las fluecas del azar; llegado más allá de las verfcacoes físcas posbles Aálss multvarate Regresó múltple: Permte evaluar la flueca smultáea de varas varables depedetes sobre ua varable depedete Aálss dscrmate: Se utlza cuado e la varable depedete este más de ua categoría y quere averguarse cómo se relacoa esta dvsó co las varables depedete. Aálss factoral: Herrameta para obteer formacó sobre las característcas subyacetes a u couto de datos. Coefcetes de correlacó Prueba de hpótess

5 Frecueca absoluta Se defe como el úmero de veces que aparece repetdo el valor e cuestó de la varable estadístca e el couto de las observacoes realzadas. Las frecuecas absolutas cumple las propedades 0 ; La frecueca absoluta, auque os dce el úmero de veces que se repte u dato, o os forma de la mportaca de éste.. úmero de observacoes (o tamaño de la muestra) Frecueca relatva f Cocete etre la frecueca absoluta y el úmero de observacoes realzadas. Es decr cumplédose las propedades 0 f ; f f,.. Esta frecueca relatva se puede epresar també e tatos por cetos del tamaño de la muestra (%) 00 f

6 Frecueca absoluta acumulada Suma de las frecuecas absolutas de los valores ferores o gual a, o úmero de meddas por debao, o gual, que. Evdetemete la frecueca absoluta acumulada de u valor se puede calcular a partr de la correspodete al ateror como +. La frecueca absoluta acumulada del últmo valor será. Frecueca relatva acumulada F Cocete etre la frecueca absoluta acumulada y el úmero de observacoes. Cocde además co la suma de las frecuecas relatvas de los valores ferores o guales a. F y la frecueca relatva acumulada del últmo valor es F. Se puede epresar asmsmo como u porcetae (multplcado por 00) y su sgfcado será el tato por ceto de meddas co valores por debao o gual que. f,

7 Tablas de frecuecas Supogamos que teemos ua muestra de tamaño, dode la varable estadístca toma los valores dsttos.,,, E prmer lugar hay que ordear los dferetes valores que toma la varable estadístca e orde (ormalmete crecete). Valores de la varable estadístca Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas f f f Frecuecas absolutas acumuladas Frecuecas relatvas acumuladas F F F f F Es posble hacer també ua tabla de frecuecas de ua varable cualtatva. E ese caso, e la prmera columa se escrbrá las dferetes cualdades o atrbutos que puede tomar la varable

8 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete El tamaño de la muestra es 0, el umero de valores posbles 5 f F f

9 Agrupameto e tervalos de clase Cuado el úmero de valores dsttos que toma la varable estadístca es demasado grade o la varable es cotua o es útl elaborar ua tabla de frecuecas como la vsta aterormete. Se realza u agrupameto de los datos e tervalos y se hace u recueto del úmero de observacoes que cae detro de cada uo de ellos. Dchos tervalos se deoma tervalos de clase, y al valor de la varable e el cetro de cada tervalo se le llama marca de clase. A la dfereca etre el etremo superor e feror de cada tervalo se le llama ampltud del tervalo. Itervalos de la clase a a + Marcas de la clase c Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas f Frecuecas absolutas acumuladas Frecuecas relatvas acumuladas F a a a a a a 3 + c c c f f f F F F La tabla de frecuecas resultate es smlar a la vsta aterormete El realzar el estudo medate el agrupameto e tervalos de clase smplfca el trabao, pero també supoe ua pérdda de formacó, ya que o se tee e cueta cómo se dstrbuye los datos detro de cada tervalo. Para que dcha pérdda sea míma es ecesaro elegr co cudado los tervalos.

10 . Determar el recorrdo, o rago, de los datos. Decdr el úmero de tervalos de clase e que se va a agrupar los datos. Dcho úmero se debe stuar ormalmete etre 5 y 0, depededo del caso. 3. Dvdr el recorrdo etre el úmero de tervalos para determar la ampltud (costate) de cada tervalo. 4. Determar los etremos de los tervalos de clase. 5. Calcular las marcas de clase de cada tervalo como el valor medo etre los límtes feror y superor de cada tervalo de clase. Ua vez determados los tervalos se debe hacer u recueto cudadoso del úmero de observacoes que cae detro de cada tervalo, para costrur así la tabla de frecuecas.

11 E la tabla sguete se lsta los datos meddos por James Short e 763 sobre la paralae del Sol e segudos de arco. La paralae es el águlo subteddo por la Terra vsta desde el Sol. Se mdó observado trástos de Veus desde dferetes poscoes y permtó la prmera medda de la dstaca Terra-Sol, que es la udad básca de la escala de dstacas e el Sstema Solar (la udad astroómca). Datos e segudos de arco Recorrdo: Ampltud del tervalo: Etremos de los tervalos a < úmero de tervalos: mímo > 0.80 mámo Recueto y costruccó de la tabla a a + c F f f.000

12 Represetacoes gráfcas Represetacoes gráfcas para datos s agrupar Dagrama de barras: E éste se represeta e el ee de abscsas los dsttos valores de la varable y sobre cada uo de ellos se levata ua barra de logtud gual a la frecueca correspodete. Polígoo de frecuecas: Este se obtee uedo co rectas los etremos superores de las barras del dagrama ateror. De la msma forma, puede represetarse frecuecas absolutas relatvas, o ambas a la vez Dagrama de frecuecas acumuladas: Este gráfco, e forma de escalera, se costruye represetado e abscsas los dsttos valores de la varable y levatado sobre cada ua perpedcular cuya logtud será la frecueca acumulada ( o ) de ese valor. F

13 Represetacoes gráfcas para datos agrupados Hstograma: Es u couto de rectágulos adyacetes, cada uo de los cuales represeta u tervalo de clase. Las base de cada rectágulo es proporcoal a la ampltud del tervalo. La altura se suele determar para que el área de cada rectágulo sea gual a la frecueca de la marca de clase correspodete. Polígoo de frecuecas: Este se obtee uedo por líeas rectas los putos medos de cada segmeto superor de los rectágulos e el hstograma. Polígoo de frecuecas acumuladas: Srve para represetar las frecuecas acumuladas de datos agrupados por tervalos. E abscsas se represeta los dferetes tervalos de clase.

14 Represetacoes gráfcas para varables cualtatvas Este ua gra varedad de represetacoes para varables cualtatvas Dagrama de rectágulos: Es smlar al dagrama de barras y el hstograma para las varables cuattatvas. Cosste e represetar e el ee de abscsas los dferetes caracteres cualtatvos y levatar sobre cada uo de ellos u rectágulo (de forma o solapada) cuya altura sea la frecueca (absoluta o relatva) de dcho carácter. Dagrama de sectores (també llamado dagrama de torta): E él se represeta el valor de cada carácter cualtatvo como u sector de u círculo completo, sedo el área de cada sector, o, lo que es lo msmo, el arco subteddo, proporcoal a la frecueca del carácter e cuestó. Este tpo de dagrama proporcoa ua dea vsual muy clara de cuáles so los caracteres que más se repte.

15 Caracterzacó de u couto de medcoes. Meddas de Cetralzacó o localzacó. Meda artmétca La meda de ua muestra de respuestas meddas,,, está dada por. La meda poblacoal correspodete se deota como µ. Dos coutos de medcoes podría teer dstrbucoes de frecueca muy dferetes pero guales medas I La dfereca etre las dstrbucoes I y II de la fgura se ecuetra e la varacó o dspersó de las medcoes que está a lado y lado de la meda. II Fg. Dstrbucoes de frecueca co guales medas pero co dferetes catdades de varacó Ua característca mportate de la meda como medda de tedeca cetral es que es muy poco robusta, es decr depede mucho de valores partculares de los datos.

16 Para dferetes valores de Promedo que aparezca repetdos, co frecuecas E fucó de las frecuecas relatvas f,,, Para ua muestra agrupada e tervalos de clase, la meda se puede calcular, a partr de las marcas de clase y el úmero de datos e cada tervalo, c c hay que dcar que es solamete apromada. Ua propedad mportate de la meda artmétca es que la suma de las desvacoes de u couto de datos respecto a su meda es cero. ( ) 0 La meda represeta etoces ua espece de cetro de gravedad, o cetro geométrco, del couto de meddas Es decr, la meda equlbra las desvacoes postvas y egatvas respecto a su valor

17 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete f 0 f f

18 E la tabla sguete se lsta los datos meddos por James Short e 763 sobre la paralae del Sol e segudos de arco. La paralae es el águlo subteddo por la Terra vsta desde el Sol. Se mdó observado trástos de Veus desde dferetes poscoes y permtó la prmera medda de la dstaca Terra-Sol, que es la udad básca de la escala de dstacas e el Sstema Solar (la udad astroómca). Datos e segudos de arco a a + c c c

19 . Medas geométrca G E el caso de ua muestra co valores dferetes de la varable se defe como la raíz eésma ( es el tamaño de la muestra) del producto de los valores de la varable G. S los datos aparece agrupados e valores dsttos la defcó será G. Esta meda tee la característca egatva de que s uo de los valores es ulo, la meda sería asmsmo cero, y por lo tato sería poco represetatva del valor cetral. Además s este valores egatvos es posble que o se pueda calcular De poca utldad El logartmo de la meda geométrca es la meda artmétca del logartmo de los datos log G log

20 .3 La meda armóca A Se defe como la versa de la meda artmétca de las versas de los valores de la varable. Es decr, para varables o agrupadas y agrupadas, sería A A Es evdete que s ua de las meddas es 0, la meda armóca o tee setdo..3 Meda cuadrátca Q Se defe ésta como la raíz cuadrada de la meda artmétca de los cuadrados de los valores Q Esta meda tee su utldad co frecueca e la aplcacó a feómeos físcos Q. Relacó co la meda artmétca. A G Q gua de estas medas es muy robusta e geeral Por eemplo, la meda armóca es muy poco sesble a valores muy altos de meda cuadrátca apeas le afecta los valores muy baos de la varable., metras que a la

21 Supogamos ua sere de meddas epermetales co u pédulo smple para obteer el valor de la aceleracó de la gravedad (e m/s) Meda artmétca Meda geométrca G 6 G Meda armóca A A 9.87 Meda cuadrátca Q A G Q. Q 9.875

22 .4 Medaa Ua medda de cetralzacó mportate es la medaa M e. Se defe como ua medda cetral tal que, co los datos ordeados de meor a mayor, el 50% de los datos so ferores a su valor y el 50% de los datos tee valores superores. Es decr, la medaa dvde e dos partes guales la dstrbucó de frecuecas o, gráfcamete, dvde el hstograma e dos partes de áreas guales. Casos Supogamos e prmer lugar que los dferetes valores de la varable o aparece, e geeral, repetdos. mpar La medaa será el valor cetral par La medaa es la meda artmétca de los dos valores cetrales o depede tato del valor etremo. Es ua medda más robusta Eercco: Supogamos ua sere de meddas epermetales co u pédulo smple para obteer el valor de la aceleracó de la gravedad (e m/s) par M e M e M e gual camba

23 E el caso de que tegamos ua varable dscreta co valores repetdos sobre la cual hemos elaborado ua tabla de frecuecas se calcula e prmer lugar el úmero de observacoes dvddo etre. Podemos dstgur etoces dos casos. El prmero de ellos es cuado dcho valor cocde co la frecueca absoluta acumulada de u valor de la varable. E este caso la medaa se ha de stuar etre este valor de la varable y el sguete ya que de esta forma dvdrá la dstrbucó de frecuecas e. M e + S o cocdese co gú valor de la columa de frecuecas acumuladas (como suele ocurrr) la medaa sería el prmer valor de co frecueca absoluta acumulada mayor que, ya que el valor cetral de la dstrbucó correspodería a ua de las meddas eglobadas e ese. + Eemplo: } M e Eemplo: La medaa será el prmer valor de co frecueca absoluta acumulada M e > 0

24 E geeral, lo meor es cosderar meda artmétca y medaa como meddas complemetaras Muestra de ua varable cotua cuyos valores está agrupados e tervalos de clase. E este caso puede ocurrr dos stuacoes E prmer lugar, s cocde co la frecueca absoluta acumulada de u tervalo ( a, a ) (co marca + de clase ), la medaa será secllamete el etremo superor de ese tervalo. c a + Supogamos que el valor se ecuetra etre las frecuecas y, correspodetes a los tervalos ( a, a ) y ( a, a + ) respectvamete, la medaa se stuará e algú lugar del tervalo superor ( a, a + ). M a + a M e a ( a a ) a + ( a a ) e a La mayor vetaa de la meda es que se utlza toda la formacó de la dstrbucó de frecuecas (todos los valores partculares de la varable), e cotraste co la medaa, que solo utlza el orde e que se dstrbuye los valores. La medaa, es ua medda robusta, sedo muy sesble a valores que se desvíe mucho.

25 Eemplo 3 a ( a +) ( ) < 0.5 < ( 6) 7 M e Itervalo M < < e a + ( a + a ) M a + ( a a ) M e e + M e a + ( a a ) M e ( ) M e 8.38

26 .5 Moda Se defe la moda M o de ua muestra como aquel valor de la varable que tee ua frecueca máma. E otras palabras, es el valor que más se repte. Hay que dcar que puede suceder que la moda o sea úca, es decr que aparezca varos mámos e la dstrbucó de frecuecas. E ese caso dremos que teemos ua dstrbucó bmodal, trmodal, etc. Evdetemete, e el caso de ua varable dscreta que o toma valores repetdos, la moda o tee setdo. Cuado sí este valores repetdos su cálculo es drecto ya que puede leerse drectamete de la tabla de dstrbucó de frecuecas Caso de varables cotuas agrupadas e tervalos de clase Este u tervalo e el que la frecueca sea máma, llamado tervalo modal. Es posble asocar la moda a u valor determado de la varable detro de dcho tervalo modal. supogamos que ( a, a + ) el tervalo co frecueca máma + y so las frecuecas de los tervalos ateror y posteror al modal Defmos δ M o δ δ a + + δ + δ + ( a a ) Caso partcular δ 0 M a o δ M + 0 o + a La moda estará más próma a tervalo ateror, y al revés. a cuato meor sea la dfereca de frecuecas co el

27 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete f F El valor que más se repte es hos, que ocurre e sete famlas de la muestra ( 7 ). La moda es por tato M 0 0 La medaa será el prmer valor de co frecueca absoluta acumulada M e > 0 Eercco. Tabla de frecuecas del paralae del sol meddos por James Short e 763 a a + c Itervalo co frecueca máma ; 7; 9; + δ 9 7 δ + 9 ( a, a + ) 8.05, δ + ( a a ) δ + δ M o a + M o ( ) M o 8.6

28 .6 Meddas de poscó o cetrales. Percetles, Cuartles, y Decles.5.5 Percetles El percetl p es u valor tal que por lo meos p por ceto de las observacoes so meores o guales que este valor y por lo meos (00 - p) por ceto de las observacoes so mayores o guales que este valor. Cálculo del percetl p Paso. Ordear los datos de meor a mayor (colocar los datos e orde ascedete). Paso. Calcular el ídce p 00 dode p es el percetl deseado y es el úmero de observacoes. Paso 3. (a) S o es u umero etero, debe redodearlo. El prmer etero mayor que deota la poscó del percetl p. (b) S es u umero etero, el percetl p es el promedo de los valores e las poscoes e +. Eercco. Determe el percetl 85 e los sueldos mesuales Profesor Sueldo Paso Paso Paso. La poscó del percetl 85 es el prmer etero mayor que 0., es la poscó. 3730

29 Geeralzacó de la defcó de Medaa Se defe como Cuartles a los tres valores que dvde la muestra e cuatro partes guales..6. Prmer cuartl Q o percetl 5 4 Será la medda tal que, el 5% de los datos sea ferores a su valor y el 75% de los datos sea superores.6. Segudo cuartl Q o percetl 50 Cocde co la medaa.6.3 Tercer cuartl Q 3 o percetl 75 4 Marcará el valor tal que las tres cuartas partes de las observacoes sea ferores a él y ua cuarta parte sea superor La forma de calcular los Cuartles es gual a la vsta para la medaa pero susttuyedo por, 4 y 3 para Q y Q respectvamete Fg. Localzacó de los Cuartles

30 .6 Decles Se defe como aquellos valores de la varable que dvde la muestra, ordeada, e 0 partes guales. Estos valores, deotados por D, co,,, 9, tee etoces u valor tal que el decl - ésmo dea por debao de él al 0 por ceto de los datos de la muestra. Alguos valores de Cuartles, decles y cetles cocde, cumplédose por eemplo, P D Q 50 5 M e

31 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete M e Q3 + 4 Prmer cuartl Segudo cuartl Tercer cuartl Q Q M e 3 5 Q 4 E el caso de las meddas agrupadas e tervalos de clase se trabaa gual que para determar la medaa Eercco. Tabla de frecuecas del paralae del sol meddos por James Short e 763 a a < < Q Se stúa e el prmer tervalo Q 3 Se stúa e el prmer tervalo a a Q a ( a + a ) Q ( 0.7) Q a 8.05 a Segudo cuartl? 3 a ( a a ) Q ( 0.7) Q

32 Meddas de dspersó Meddas de dspersó Idca la varabldad de los datos e toro a su valor promedo, es decr s se ecuetra muy o poco esparcdos e toro a su cetro.. Recorrdo També llamado rago, se defe como la dfereca etre el valor mámo y mímo que toma la varable estadístca. Co el f de elmar la ecesva flueca de los valores etremos e el recorrdo, se defe Recorrdo tercuartílco: Dfereca etre el tercer y prmer cuartl R I Q 3 Q 4 Este recorrdo os dará etoces el rago que ocupa el 50% cetral de los datos 4 E ocasoes se utlza el recorrdo semtercuartílco, o mtad del recorrdo tercuartílco

33 . Desvacó meda També llamada co mas precsó desvacó meda respecto a la meda artmétca Se defe como la meda artmétca de las dferecas absolutas etre los valores de la varable y la meda artmétca de la muestra. Se el tamaño de la muestra y los dsttos valores de la varable co frecuecas absolutas, la epresó de la desvacó meda será D e el caso de que la varable o tome valores repetdos, esté agrupada e tervalos, la epresó ateror se smplfca a D S o se tomara valores absolutos, uas desvacoes se aularía co otras, alcazado falmete la desvacó meda u valor de 0, debdo a la propedad de la meda artmétca. ( ) 0 Desvacó meda respecto a la medaa M D e M e. La medda de varabldad más comú empleada e estadístca es la varaza, que es ua fucó de las desvacoes (o dstacas) de las medcoes muestrales desde la meda.

34 .3 Varaza y desvacó típca Se defe etoces la varaza de ua muestra co datos repetdos como s s s ( ) ( ) Evdetemete la varaza o tee las msmas udades que los datos de la muestra. Para cosegur las msmas udades se defe la desvacó típca (alguas veces llamada desvacó estádar) como la raíz cuadrada de la varaza s ( ) Au cuado está estrechamete relacoada co la varaza, la desvacó estádar se puede usar para dar ua mage más o meos precsa de la varacó de datos para u solo couto de medcoes. ( ) c c Muchas dstrbucoes de datos de la vda real tee forma de motículo. Los datos que posee dstrbucoes e forma de motículo tee característcas defdas de varacó, como se epresa e el eucado sguete. s

35 s es cas el promedo del cuadrado de las desvacoes de los valores observados desde su meda. Sgfcado La varaza es de valor al comparar la varacó relatva de dos coutos de medcoes, pero proporcoa formacó acerca de la varacó e u solo couto úcamete cuado se terpreta e térmos de la desvacó estádar. Regla empírca Para ua dstrbucó de medcoes que sea apromadamete ormal (forma de campaa),se deduce que el tervalo co putos etremos µ σ ± cotee apromadamete 68% de las medcoes. µ ± σ µ ± 3σ cotee apromadamete 95% de las medcoes. cotee cas todas las medcoes. Fg. Curva ormal La regla se aplca a dstrbucoes que o so eactamete ormales pero sí e forma de motículo El coocmeto de la meda y la desvacó estádar os da ua mage más o meos buea de la dstrbucó de las frecuecas.

36 E el caso de que los datos o se repta, estas defcoes se smplfca a s ( ) s ( ). La desvacó típca, será sempre postva y sólo tedrá u valor ulo cuado todas las observacoes cocda co el valor de la meda. La desvacó típca o es ua medda robusta de la dspersó. El hecho de que se calcule evaluado los cuadrados de las desvacoes hace que sea muy sesble a observacoes etremas, bastate más que la desvacó meda (dado que aparece u cuadrado). La desvacó típca o es ua buea medda de dspersó cuado se tee algú dato muy aleado de la meda. Propedades La desvacó típca, sempre es postva y sólo tedrá u valor ulo cuado todas las observacoes cocda co el valor de la meda

37 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete ( s ) s 0 ( ) ( ) 5 ( ) s s

38 . 4 Coefcetes de varacó U problema que platea las meddas de dspersó vstas aterormete es que vee epresadas e las udades e que se ha meddo la varable. Para solucoar esto, se defe uas meddas de dspersó relatvas, depedetes de la udades usadas. Estas dspersoes relatvas va a permtr además comparar la dspersó etre dferetes muestras (co udades dferetes)..4. Coefcete de varacó de Pearso Defdo como el cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca Cuato mayor sea CV CV s, mayor dspersó tedrá los datos. ormalmete se epresa e porcetae E geeral, el coefcete de varacó es u estadístco útl para comparar la varabldad de varables que tee desvacoes estádar dsttas y medas dsttas..4. Coefcete de varacó meda Es smlar al coefcete de varacó de Pearso, pero empleado ua desvacó meda e vez de la meda artmétca. Se tee etoces dos coefcetes de varacó meda depededo de que se calcule respecto a la desvacó meda respecto a la meda artmétca o respecto a la medaa D DMe CVM CVM M. e M e

39 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete s.6 CV s CV 0.56 CV 5% Sueldo cal de profesores Profesor Sueldo ( ) s s 3540 ( ) s s s s CV CV 3540 CV % 0.046

40 3 Mometos La meda artmétca y la varaza, so e realdad casos partculares de ua defcó más geeral,,,,,, r c S teemos ua muestra de la varable estadístca,, la cual toma los valores co frecuecas absolutas, se defe el mometo de orde respecto al parámetro como M r ( c) ( c) r

41 3. Mometos respecto al orge ( ) Se defe el mometo de orde r a r c respecto al orge como Los mometos respecto al orge sumstra etoces meddas de tedeca cetral 0 r Los prmeros mometos respecto al orge so a 0 a Q a La meda artmétca es el mometo de prmer orde respecto al orge.

42 Mometos respecto a la meda c Susttuyedo por la meda artmétca. Se defe los mometo de orde respecto a la meda r m r ( ) r, dode los prmeros mometos so etoces m. ( ) ( ) m 0. m 0 s El mometo de orde se aula por la propedad de la meda artmétca epresada aterormete. Puede observarse que el mometo de orde respecto a la meda es, apromadamete, la varaza.

43 4 Asmetría y Curtoss La descrpcó estadístca de ua muestra de datos o cocluye co el cálculo de su tedeca cetral y su dspersó. Para dar ua descrpcó completa es ecesaro estudar també el grado de smetría de los datos respecto a su medda cetral y la cocetracó de los datos alrededor de dcho valor. Se dce que ua dstrbucó de meddas es smétrca cuado valores de la varable equdstates, a uo y otro lado, del valor cetral tee la msma frecueca. Es decr, e este caso tedremos smetría e el hstograma (o e el dagrama de barras) alrededor de ua vertcal trazada por el puto cetral Ua dstrbucó perfectamete smétrca. Meda artmétca, medaa y moda cocde M e M o

44 E el caso de o teer smetría, dremos que teemos asmetría a la derecha (o postva) o a la zquerda (o egatva) depededo de que el hstograma muestre ua cola de meddas haca valores altos o baos de la varable respectvamete. També se puede decr que la dstrbucó está sesgada a la derecha (sesgo postvo) o a la zquerda (sesgo egatvo) ua dstrbucó asmétrca Asmetría postva M e M o La meda, medaa y moda o cocde Asmetría egatva M e M o asmetría haca la derecha asmetría haca la zquerda

45 4. Coefcetes de Asmetría Co el f de cuatfcar el grado de asmetría de ua dstrbucó se puede defr los coefcetes de asmetría. Auque o so los úcos, este dos coefcetes prcpales: 4.. Coefcete de asmetría de Fsher Se defe como el cocete etre el mometo de orde 3 respecto a la meda y el cubo de la desvacó típca m3 g ( ) 3 s m 3 Dstrbucó smétrca Las desvacoes respecto a la meda se aulará (puesto que e sumará úmeros postvos y egatvos) g 0 3. m 3 el epoete es mpar se Dstrbucó Asmétrca g Tedrá valores postvos para ua asmetría postva (a la derecha) g Tedrá valores egatvos cuado la asmetría sea egatva (zquerda) La dvsó por el cubo de la desvacó típca se hace para que el coefcete sea admesoal y, por lo tato, comparable etre dferetes muestras.

46 4.. Coefcete de asmetría de Pearso Este coefcete, també admesoal, se defe como A P M s o. Dstrbucó smétrca A P 0 meda y moda cocde Dstrbucó Asmétrca A P A P > 0 < 0 La dstrbucó sesgada esté haca la derecha La dstrbucó sesgada esté haca la zquerda

47 Eercco. Supogamos que el umero de hos de ua muestra de 0 famlas es la sguete s Coefcete de asmetría de Fsher ( ) m3,.373 m m3.068 g g 3 s Coefcete de asmetría de Pearso 3 3 ( ). 373 s 3.56 Postva 3 ( ) Total A A P P M o. s.5..6 A P 0.5 Postva

48 4. Curtoss Además de la smetría, otra característca mportate de la forma e que se dstrbuye los datos de la muestra es cómo es el agrupameto e toro al valor cetral. Los datos se puede dstrbur de forma que tegamos u gra aputameto (o pco e el hstograma) alrededor del valor cetral, e cuyo caso dremos que teemos ua dstrbucó leptocúrtca. o e el etremo cotraro, el hstograma puede ser muy aplaado, lo que correspode a ua dstrbucó platcúrtca el caso termedo, dremos que la dstrbucó es mesocúrtca y el agrupameto correspoderá al de ua dstrbucó llamada ormal, o e forma de campaa de Gauss Esta característca del agrupameto de los datos se deoma Curtoss

49 4.. Coefcete de Curtoss Se defe como el cocete etre el mometo de cuarto orde respecto a la meda y la cuarta poteca de la desvacó típca g m s 4 4. m 4 ( ) Este coefcete admesoal alcaza valores mayores cuato mas putaguda es la dstrbucó 4. Dstrbucoes co dferete grado de aputameto: leptocúrtca ( g > 3 ), mesocúrtca ( g 3 ) y platcúrtca ( g < 3 ).

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