BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano. Cónicas

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1 BLOQUE 4: GEOMETRÍA Vectores L rect en el plno Cónics 83

2 4. VECTORES Hy mgnitudes que no quedn bien definids medinte un número; necesitmos conocer demás su dirección y su sentido. A ests mgnitudes se les llm mgnitudes vectoriles, y ls representmos medinte vectores. Un vector AB es un segmento orientdo que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B A Módulo del vector B Pr determinr un vector tenemos que conocer su módulo, dirección y sentido. AB es l longitud del segmento AB. El módulo del vector AB se represent por AB. Dirección del vector AB es l dirección de l rect que ps por A y B. Sentido del vector AB es el recorrido de l rect cundo nos trsldmos de A B. (Observ que en cd dirección hy dos sentidos, el que v de A hci B y el que v de B hci A). EQUIPOLENCIA DE VECTORES Ddos dos vectores diremos que son equipolentes si tienen l mism longitud, dirección y sentido. A B C Vectores equipolentes D Todos los vectores equipolentes entre si representn el mismo vector, que llmremos vector libre. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Ddos dos vectores u y v, llmmos combinción linel de u y v l vector donde λ y µ son números reles. + λ u µ v, VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Un conjunto de vectores son linelmente dependientes si lguno de ellos se puede poner como combinción linel de los demás. En cso contrrio, decimos que son linelmente independientes. 84

3 BASE Dos vectores u y v formn un bse en el plno si son linelmente independientes y culquier vector se puede poner como combinción linel de ellos. Se denot B u, v En el plno, dos vectores con distint dirección formn un bse. COORDENADAS DE UN VECTOR Un vector w se puede poner siempre como combinción linel de los vectores de l bse B u, v u+ b v w. Los números (,b) son ls coordends del vector w respecto de l bse B. SISTEMA DE REFERENCIA Un sistem de referenci en el plno está formdo por un punto fijo O y un bse u, v Los vectores de un bse pueden ser perpendiculres, en ese cso hblmos de un bse ortogonl. Si, demás, tienen módulo, l bse es ortonorml. Por lo generl trbjremos con un bse ortonorml: i, j MÓDULO DE UN VECTOR DADO EN COORDENADAS. Se el vector u de coordends (, b). b Aplicndo el teorem de Pitágors, tenemos: u + b VECTORES PARALELOS Dos vectores son prlelos cundo tienen l mism dirección. u u En coordends: u ( u, u) y v ( v, v ) son prlelos si v v COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR LOS EXTREMOS Se el vector de origen A(, ) y de extremo B( b,b ), ls coordends de AB, vienen dds por AB ( b, b ) 85

4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Sen los puntos A(, ) y B( b,b ). Distnci de A B AB ( ) ( ) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO b + b Ls coordends del punto medio de un segmento de extremos A(, ) y B( b,b ) son + b + b M, OPERACIONES CON VECTORES. Adición de vectores: Pr sumr dos vectores u e v se represent uno de ellos u y con origen en el extremo de u, se represent el otro vector v. El vector sum es el que tiene el origen de u y el extremo de v. u + v v u Otr form de sumr dos vectores u y v consiste en representr mbos vectores con el mismo origen. El vector sum se obtiene como l digonl del prlelogrmo que tiene por ldos u y v. Si el vector u tiene de coordends (x,y) y el vector v tiene de coordends (x,y ), entonces: u + v (x,y) + (x,y ) (x+x, y+y ) Producto de un número por un vector: Al multiplicr un vector u por un número k obtenemos un nuevo vector k u que tiene: - módulo igul l del vector u por el vlor bsoluto del número k. - dirección l mism que el vector u - sentido el mismo que u si k es positivo. El contrrio que u, si k es negtivo. Si el vector u tiene de coordends (x,y) entonces: k u k (x,y) (kx, ky) 86

5 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Sen los vectores u y v del plno. Se define el producto esclr como: u v u v cosα siendo α el ángulo que formn. PROPIEDADES - Si u 0 o v 0 entonces u v 0. - Conmuttiv: u v v u. - Asocitiv: u ( v w) ( u v)w - Si u 0 y v 0, u y v son perpendiculres ( ) si y sólo si u v 0. EXPRESIÓN ANALÍTICA Sen los vectores u u, u ) y v v, v ). Definimos su producto esclr como: ( ( u v u v + uv INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El producto esclr de dos vectores no nulos es igul l módulo de uno de ellos por l proyección del otro sobre él. OA cosα OA u cosα u u v v OA u v OA v ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES Despejndo en l definición del producto esclr, obtenemos que: cos(u, v) u v u v u u v + u + u v v + v VECTORES PERPENDICULARES Un vector perpendiculr u u, u ) es n u, u ) ( ( 87

6 4.3 ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Se A un punto de l rect r y se u su vector dirección. Ddo culquier otro punto X de l rect, se cumple que: AX t u con t R Observndo l figur, se obtiene que: A x X r x + t u, con t R ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA: Un punto del plno qued determindo por dos coordends. Se X (x,y) y A x, ) ( y Sustituyendo en l ecución vectoril: x + t u los vectores por sus coordends crtesins, qued: (x,y) ( x, y) + t( u, u ) e igulndo términos: x x + t u y y + t u con t R ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA: Despejndo el prámetro en ls ecuciones prmétrics: t t x x u y y u x x u y y u ECUACIÓN CONTINUA Si u 0 l rect tendrá l form x x. Si u 0 l rect tendrá l form y y. 88

7 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: Operndo en l ecución continu, tenemos: u x x ) u ( y y ) u x u y u x ( + u y Llmmos A u, B -u, C u y u x y tenemos: ECUACIÓN GENERAL Observ que el vector dirección es u (-B, A) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Ddos dos puntos del plno hy un únic rect que ps por ellos. Vmos determinrl: Sen A ( x, y ) y B ( x, y ) dos puntos del plno. Cuál será l dirección de l rect que ps por A y por B? Lo más sencillo es tomr el vector AB como vector dirección: 0 AB x x, y ) ( y Así, ls distints ecuciones de l rect son: Ecución vectoril: Ax+By+C 0 x x, y ) + t AB ( x x + t( x x ) Ecuciones prmétrics: y y + t( y y) x x y y Ecución continu: x x y y t R ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE: Consideremos l rect r que ps por el punto A x, ) y llev l dirección del vector u ( u, u ); l ecución continu de l rect es: x x y y u u ( y Est ecución sólo es posible usrl cundo u 0 u. En este cso obtenemos l expresión: u y y ( x x ) u u Al número se le llm pendiente de l rect, y se represent por m. Sustituyendo en l u ecución nterior, tenemos: y - y m(x - x ) ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE 89

8 Cuál es el significdo geométrico de l pendiente? Acbmos de ver que l rect que ps por A y llev l dirección de ( ) u pendiente m. u u u,u tiene como u Ahor bien, m tx α, siendo α el ángulo que form l prte positiv del eje de bsciss u con el vector director de l rect. Como l rect r es siempre prlel su vector director, se deduce que: L pendiente de un rect es igul l tngente del ángulo que form l prte positiv del eje de bsciss con l rect. Y R α X L pendiente de un rect tmbién se puede clculr si nos dn l ecución generl: Ax+By+C0. Teniendo en cuent que el vector director viene ddo por u (-B, A) y que u m obtenemos que m A. u B ECUACIÓN EXPLÍCITA: Si en l ecución generl de l rect Ax+By+C 0 despejmos y obtenemos l ecución de l rect en form explícit: A C y x + B B que normlmente se escribe: y mx + n donde m represent l pendiente y n l ordend en el origen. 90

9 4.4 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO Si trzmos dos rects culquier en el plno, puede ocurrir que: Sen secntes, es decir, se cortn. Sen prlels. Sen coincidentes. s r A l vist de ls figurs del mrgen, está clro que: Dos rects son secntes si sólo tienen un punto en común. Dos rects son prlels si no tienen ningún punto en común. Dos rects son coincidentes si tienen todos los puntos comunes. r s Pr verigur si ls rects son secntes, prlels o coincidentes hllremos su intersección resolviendo el sistem que formn sus ecuciones, de mner que: Si tiene un solución, ls rects se cortn. Si no tiene solución, ls rects son prlels. Si tiene infinits soluciones, ls rects son coincidentes. r s Podemos sber l posición reltiv de ls dos rects sin necesidd de resolver el sistem que formn? Sen ls rects r y s de ecuciones: Ax+By+C 0 y A x+b y+c 0. Ls pendientes y ls ordends en el origen de mbs rects son: m A B m' A' B n C B n' C' B'.- Ls rects r y s son coincidentes si sus pendientes y sus ordends en el origen son igules, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' C C' C B n n' B B' C' B' A r y s coincidentes A' B B' C C' 9

10 .- Ls rects r y s son prlels si sus pendientes son igules, y sus ordends en el origen son distints, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' C C' C B n n' B B' C' B' r y s prlels A A' B C B' C' 3.- Ls rects r y s son secntes si sus pendientes son distints, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' r y s secntes A A B ' B' ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS. Definimos el ángulo que formn dos rects como el menor de los dos ángulos que formn. Pr clculrlo hllmos el coseno del ángulo que formn sus vectores directores, tomndo el vlor bsoluto. RECTAS PERPENDICULARES. Dd l rect rax+by+c0 su vector director viene ddo por (-B,A). Utilizndo l propiedd 4 del producto esclr, tenemos que los vectores perpendiculres (-B, A) son de l form (A, B). Así pues, son perpendiculres r tods ls rects que tienen (A, B) como vector director. Si dos rects son perpendiculres sus pendientes cumplen: m' m DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA L distnci de un punto P ( x 0, y 0 ) l rect Ax + By + C 0 se expres: d( P, r) Ax 0 + By A 0 + B + C DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Si ls rects son secntes o coincidentes, l distnci es 0. Si ls rects son prlels, se tom un punto de un de ells y se clcul su distnci l otr rect. 9

11 4.5 HAZ DE RECTAS SECANTES: Se llm hz de rects de vértice P(x 0,y 0 ), l conjunto de tods ls rects del plno que psn por el punto P. Su ecución es: y-y 0 m(x-x 0 ), siendo m un número rel Pr cd vlor de m se obtiene un rect que ps por P(x 0,y 0 ). P Y si el punto viene determindo medinte dos rects que se cortn? Sen ls rects de ecuciones: r: Ax+By+C0, s: A x+b y+c 0 que suponemos se cortn en el punto P(x 0,y 0 ). L ecución: α ( Ax + By + C) + β ( A' x + B' y + C) 0 represent el hz de rects de vértice P, y que l vrir α y β se obtienen rects que psn por el punto P(x0,y0), pues sus coordends verificn l ecución: α ( Ax + By + C) + β ( A x + B' y + C' ) α 0 + β ' 0 0 Si dividimos por uno de los prámetros que se no nulo, se tiene: α Ax + By + C + ( A' x + B' y + C' ) 0 β y llmndo k α β, result: siendo k un número rel. ( A' x + B' y + ') 0 Ax + By + C + k C 4.6 HAZ DE RECTAS PARALELAS: Se llm hz de rects prlels l rect r: Ax+By+C0 l conjunto de tods ls rects del plno que son prlels r. Su ecución es: Ax+By+k0, siendo k un número rel. 93

12 MEDIANAS Y BARICENTRO 4.7 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Se llm medin l rect que une un vértice con l mitd del ldo opuesto. En un triángulo ABC, ls tres medins se cruzn en un punto G llmdo Bricentro que es el centro de grvedd del triángulo. Cd medin divide l triángulo en dos triángulos de igul áre. Además el Bricentro dist doble del vértice que del punto medio del ldo. MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO L meditriz de un segmento es l rect perpendiculr en su punto medio. Ls meditrices de un triángulo son ls meditrices de sus ldos. El punto O donde se cortn ls tres meditrices se llm Circuncentro y equidist, es decir, está l mism distnci de los tres vértices A, B y C, es por eso que pertenece ls tres meditrices. L circunferenci que ps por los tres vértices se llm Circunferenci Circunscrit. ALTURAS Y ORTOCENTRO Se llm ltur en un triángulo l perpendiculr trzd desde un vértice l ldo opuesto. En un triángulo ABC, ls tres lturs se cruzn en un punto llmdo Ortocentro. 94

13 BISECTRICES E INCENTRO Se llm bisectriz l rect que divide un ángulo en dos prtes igules. Ls bisectrices de un triángulo son ls bisectrices de sus ángulos. El punto I donde se cortn ls tres bisectrices interiores se llm Incentro, equidist de los tres ldos y por eso podemos construir un circunferenci de centro I tngente los ldos del triángulo. Dich circunferenci se llm Circunferenci Inscrit y es l circunferenci más "grnde" que se puede definir completmente contenid dentro del triángulo. 95

14 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.-Rzon que pres de vectores formn un bse: ) u (, 3) y v (5,4) b) u (0, 3) y v (4,).- Ddos los puntos A(0,3), B(,), C(-,) y D(-3,4). Clcul los vectores: ) AB CD b) AC+ DC c) BD CA 3.-Si, respecto de un bse, los vectores u y v son u (, 3) y v (5, 4), hll ls coordends de los siguientes vectores: 4.-Ddos u (,-) y v (0,3), reliz ls siguientes operciones de vectores: 5.-Clcul el punto medio del segmento de extremos A(,) y B(-3,-). 6.-Encuentr el simétrico del punto A(,) respecto de C(3,0). 7.-Clcul el módulo de los vectores ( 3,4), b ( 5, ) e c ( 3, ) 8.-Ddos los puntos A(,) y B(,). Clculr: ) Ls coordends de los vectores b) Sus módulos., b, c, + b, b c, ddos: AB y BA 9.- Clcul el producto esclr, módulos y ángulo de los siguientes vectores: d) u( 3,) v(, ) ) u(3,4) v( 4,3) 3 e) x(, ) y( +, b) x(,3) y(3, ) c) u(,6) v(3,5) f ) u(, ) v(, ) ) 0.-Clculr pr que el producto esclr de x (,) por y (, 3) se l unidd..-hllr m, sbiendo que u (m,5) y u 3.- Sen los vectores u( 3, ) y v(,). Clcul el vlor de pr que el vector v teng l mism dirección que el vector u + v 3.- Hll l proyección del vector u (, 5) sobre el vector v (5,) 96

15 4.-Ddos u( 3,4) y v(, 3), clcul ls componentes de un vector x, sbiendo que u x 0 y v x 5.-Encuentr un vector u que es perpendiculr v (3,5) y cuyo módulo se u Clcul m pr que v (7,-) y w(m,6): ) Sen perpendiculres. b) Sen prlelos. c) Tengn el mismo módulo. 7.-Clcul el ángulo que formn los vectores: ) (,5) b) c (, 3) y y b (3,) d (, 3) c) e ( 6,4) d) g (, 5) 8.-Clcul m pr que los vectores ( 8, 6) y b ( m,3) y y f ( 9,6) h (4,6) formen un ángulo de 60º. 9.-Clcul λ y µ pr que los vectores u (5, ), v (-, 4) y w (3, ) verifiquen λ u + µ v w 0.- Represent ls rects dds por ls ecuciones: ) y f ) y 3x + b) y 3 g) y 5x + c) x 4 x 3 t h) d)x + 3y 7 0 y 5 + t e)5x 7 0 x t i) y + t x y + 3 j) x + 3 y 7 k).-hllr l ecución de l rect r que ps por el punto A(3,5) y llev l dirección del vector u (,-4) en form prmétric y generl..-dd l rect de ecución vectoril x ( 3,) + t( 9, ), hll ls otrs forms distints de l ecución de l rect. x 3 + t 3.-Dd l rect de ecuciones prmétrics:, hllr ls otrs forms distints y 5t de l ecución. 4.-Lo mismo pr l rect de ecución en form continu x + 5 y, y l rect de 4 ecución en form generl 5x-7y Clcul l pendiente de l rect que ps por los puntos A(3,) y B(5,-). Cuál es su ordend en el origen? Qué represent? 6.-Determin si los puntos A(3,), B(5,) y C(,0) están linedos. 97

16 7.-Determin el ángulo que formn los siguientes pres de rects: ) r : ( x, y) (3,) + t(,5) s : ( x, y) (0,) + t( 3,) x y y b ) r : s : x 4 4 c) r : 3x y 0 s : 3x + 4y Hll l distnci del punto A(,-4) l rect ( x, y) (, 5) + t(,3) x + y 9.-Hll l distnci entre ls rects r : y s : x y Hll l rect que ps por el punto (,) y es perpendiculr l bisectriz del segundo cudrnte. 3.-Hll ls coordends de los puntos P y Q que dividen l segmento A(4,), B(-,4) en tres prtes igules. π 3.-Ls rects r : 3x + y 0 y s : x + ky 0, formn un ángulo de rd. Hll k Se el cudrilátero de vértices A(,), B(4,3), C(3,7) y D(-,). Clcul ls ecuciones de los ldos. Clcul demás ls ecuciones de sus digonles. 34.-Clcul l ecución de l rect que ps por el punto A(-, 3 ) y tiene igul pendiente que l rect -x+y Clcul l ecución de l rect que ps por el punto A(,) y form un ángulo de 90 0 l prte positiv del eje de bsciss. con 36.- Cuánto tiene que vler el prámetro h pr que el punto (h,3) pertenezc l rect de ecución x+3y-70? 37.- Hllr l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ls rects 3x+4y-00, 4x-3y-50 y por el punto P(,-3). 38.-Dds ls rects 3x+my-70; 4x+y-40; 7x+y-80, determin m pr que ls tres sen ryos de un mismo hz. 39.-Hllr l ecución de l rect que pertenece l hz determindo por ls rects 3x+y+0; x-y+80, y ps por el punto P(-5,7). 40.-Ls rects mx+y3; 5x+ny7 se cortn en el punto (-,3). Clcul m y n. 4.-Determin l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ls rects de ecuciones 4x+6y-50; x-y-30, y es prlel l rect de ecución 4x-5y Hllr el vlor de k pr que ls rects x-3y+70 y kx+y-0 sen prlels. 98

17 43.- Determin l posición reltiv de ls siguientes rects: x y 7 0 x + y x + y 0 ) x + y b) 3x y 5 c) 3x y 0 3x + 3y x + 3y 8 3x + y Clcul l rect que ps por el punto A(5,-3) y por el punto medio del segmento que tiene como extremos los puntos P(,3) y Q(-4,5) Clcul l rect que, psndo por el origen de coordends, es perpendiculr l rect 3x-y+30. Cuál es l condición pr que dos rects sen perpendiculres? 46.-Encuentr el ángulo que formn l rect que ps por los puntos P(-,4) y Q(3,8) y l rect x 3 y Encuentr el vlor de m pr que y mx - forme un ángulo de 45º con x + 3 y Clcul l distnci del origen de coordends l rect que ps por (-3,6) y es prlel x y Obtén l ecución de l meditriz del segmento si sus extremos son (,5) y (-3,-7). 50.-Hll l ecución de ls bisectrices de ls rects r y s de ecuciones r: 4x 3y + 0 s:5x +y 4 0 Comprueb que son perpendiculres. 5.- Ddos los puntos O(0, 0), A(, 0) y B(5, 4), hllr: L ecución de l rect AB. El coseno del ángulo (AOB). 5.- Los puntos A(-, 5), B(-, ) y C(5, 4) son vértices de un rectángulo. Clcul: ) Ls coordends del curto vértice. b) El centro del rectángulo. c) L longitud de l digonl En un sistem de coordends ortogonles, el eje OX y ls tres rects: y; x+y-0; x+y-60 limitn un cudrilátero. Hllr su áre, ls ecuciones de sus digonles y ls coordends del punto de intersección de ests Dd l rect x+y-30, hllr l rect perpendiculr ést que ps por el punto (,) L rect que une un vértice de un triángulo con el punto medio del ldo opuesto se llm medin. Hllr ls ecuciones de ls medins del triángulo de vértices A(-, 4), B(7, 4) y C(, 0) y comprueb que ls tres medins se cortn en un punto (bricentro). 99

18 56.- Ddo el triángulo de vértices A(7,-7), B(,-5) y C(3,), clcul: ) L longitud de sus tres medins. b) L longitud de l ltur que ps por A. c) Su ortocentro. d) El bricentro. e) L ecución de l meditriz del ldo BC. 57.-Clcul l distnci entre ls rects r: x y y s: 6x 4y L rect r: x y form con los ejes de coordends un triángulo del que se pide su áre. 59.-Hll el punto simétrico de A(3,) respecto de l rect r:x +y Ddo el triángulo de vértices A(6,-5), B(,-4) y C(4,), clcul: ) El bricentro. b) L meditriz del ldo BC. c) L ltur que ps por C. d) L longitud de l medin que ps por B. 6.-Clcul el ortocentro y el áre del triángulo cuyos vértices son el origen de coordends y los puntos A(-,7) y B(4,3). 6.-El prlelogrmo ABCD tiene de vértices A(-,), B(0,-) y C(3,). Hll ls coordends de D y su áre. 63.-Un punto P dist lo mismo de A(6,0) y de B(-4,8). Su distnci l eje de bsciss es el doble que l eje de ordends. Determin ls coordends de P. 64.-Hll ls coordends del circuncentro del triángulo cuyos vértices son A(,), B(-,) y C(-,-). 65.-Los puntos B(-,3) y C(3,-3) determinn el ldo desigul de un triángulo isósceles ABC tl que A está en l rect x + y 5 0. Determin el vértice A, ls lturs del triángulo y su ortocentro. 66.-Determin l ecución de un rect r con ests crcterístics: r es perpendiculr l rect que ps por A(8,0) y B(0,5), r tiene un punto en común con ls rects 4x 3y + 0 y x +y El triángulo ABC es isósceles. El ldo desigul tiene por extremos A(3,) y B(-,3). El vértice C está en el eje de ordends. Hll ls ecuciones de los ldos del triángulo y su áre. 68.-Clcul el áre limitd por l rect 3x +y 6 0, el eje de bsciss, el de ordends y l ordend correspondiente x Los ejes de coordends y ls rects 3x +4y 0 e 5x + 6y 30 0 formn un cudrilátero del que se pide su perímetro y su áre. 70.-Determin sobre l rect 3x 5y un punto que diste lo mismo de A(3,4) y de B(7,8). 00

19 x + y 7.-Dd l rect r: r : 4 simétrico de A respecto de r. y el punto A(,7). Clcul ls coordends del 7.-L rect r: x 3y + 0 determin con los ejes coordendos un segmento AB. Hll l ecución de l meditriz de AB. 73.-L rect r cort los ejes coordendos en los puntos (-4,0) y (0,3). Hll l distnci del punto P(6,5) r. 74.-Sen l rect r: 3x y 0 y los puntos A(8,) y B(4,-). Clcul l ecución de l rect determind por el punto B y el punto A, simétrico de A, respecto de r. AUTOEVALUACIÓN. Ddos los puntos A(,-), B(0,); ls rects r: x y ; s: -x+y-0. Clcul: ) Posición reltiv de ls rects r y s. b) Distnci entre A y B. c) Distnci entre A y r. d) Rect prlel r psndo por A. e) Rect perpendiculr s psndo por B. f) Punto simétrico B respecto l rect r.. ) Clculr el vlor de n pr que ls rects r y s sen prlels; siendo r: 3x - y - 0 y x y 4 s: / 3 n b) Pr el vlor de n hlldo en el prtdo ), determinr l distnci que sepr r y s. 3. Se considern los puntos A(,) y B(6,-5). Se pide: ) Clculr l longitud del segmento AB. b) Determinr l meditriz de este segmento. c) Hllr el punto simétrico de A respecto del punto P(-,). 4. Dds ls rects: r: x y, s: 3x + y. Se pide: ) Hllr l ecución de l rect concurrente con ells que ps por el punto P(-8,-3). b) Clcul el ángulo que formn ls rects r y s. 0

20 AUTOEVALUACIÓN. Ddos los puntos A(-3,), B(,0); ls rects r(x,y) (,-) λ (,4) ; s: x t. Clcul: y 3 ) Posición reltiv de ls rects r y s. b) Distnci entre A y B. c) Distnci entre A y r. d) Rect prlel r psndo por A. e) Rect perpendiculr s psndo por B. f) Punto simétrico B respecto l rect r.. Clculr el vlor de y de b pr que l rect r: teng l dirección del vector,. x b y + pse por el punto, 3 y 3. Se consider l fmili de rects: mx + (m -)y + (m +) 0 siendo m un prámetro rel. Se pide: ) Determinr el punto común tods ls rects de l fmili. b) Hllr l rect de est fmili que ps por el punto P(,). c) Encontrr l rect de est fmili que es prlel l rect x y )Clculr el vlor de m pr que el bricentro del triángulo de vértices A(7,4), B(m +, -6) y C(-5, m+) esté situdo en el eje de bsciss y hllr sus coordends. b) Obtener l ecución de l medin del triángulo nterior que ps por el vértice A. c) Hllr l medid del segmento determindo por el vértice A y el punto de intersección de l medin nterior y el ldo BC del triángulo. 0

21 4.8 CÓNICAS LUGAR GEOMÉTRICO Se llm lugr geométrico del plno l conjunto de puntos de este que cumplen un condición determind. Ejemplo: L meditriz de un segmento de extremos A y B es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de A y de B. Si P es un punto de l meditriz, deberá cumplir: d(p,a) d(p,b). L bisectriz del ángulo que formn dos rects es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de mbs rects. Si P es un punto de l bisectriz que determinn ls rects r y s, h de cumplirse: d(p,r) d(p,s) SUPERFICIE CÓNICA Se llm superficie cónic de revolución l superficiee engendrd por un rect móvil que gir lrededor de otr fij, l que cort. L rect móvil se llm genertriz; l fij, eje; y el punto de intersección de mbs, vértice. CÓNICA Se llm cónic l curv que result de l intersección de un superficie cónic y un plno. 03

22 CIRCUNFERENCIA Un circunferenci es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci un punto fijo, llmdo centro, es constnte e igul l rdio. Si P(x,y) es un punto culquier de l circunferenci, C(,b) es el centro y r el rdio: Operndo: x + y + Ax + By +C 0 donde A - B -b C (x ) + (y b) r (x ) + (y b) r + b r Potenci de un punto respecto de un circunferenci Considermos un circunferenci culquier y un punto P del plno. Desde el punto P se trzn dos secntes l circunferenci, obteniéndose los puntos A, A', B y B'. El vlor común PA PB PA PB recibe el nombre de potenci del punto P respecto de l circunferenci dd. Los triángulo PAB y PA B son semejntes porque tienen un ángulo en común, P, y B y B igules, pues brcn el mismo rco. Por tnto: PA PB PA PB PA PB PA PB Cálculo de l potenci Como l potenci del punto respecto de un circunferenci no depende de l rect secnte que se tome, trzremos un rect secnte que pse por el centro de l circunferenci. 04

23 Llmndo d l distnci y r l rdio de l circunferenci, se tiene que: Entonces l potenci es: Pot ( P C ) PA PB d r Teniendo en cuent que d ( )( ) d + r d ( x ) 0 r ( y b) + Pot C ( P) d r x0 0 ( ) + ( y b) Podemos concluir que, pr obtener l potenci de un punto respecto de un circunferenci, bst con sustituir, en el primer miembro de l ecución de l circunferenci, ls coordends del punto. L potenci, dependiendo de l posición del punto P respecto de l circunferenci, tom los vlores: Positivo, si P es un punto exterior l circunferenci (d > r). Cero, si P es un punto de l circunferenci (d r). Negtivo, si P es un punto interior l circunferenci (d > r). 0 ) r Eje rdicl de dos circunferencis El ejee rdicl de dos circunferencis es el lugr geométrico de los puntos del plno que tienen igul potenci respecto de mbs circunferencis. Considermos dos circunferencis de ecuciones: x x + y + Ax + By + C 0 + y + A x + B y + C 0 Sus potencis son: x + y + Ax + B By + C y x + y + A A x + B y + C L ecución del lugr geométrico es: x + y + Ax + B Reduciendo términos semejntes, result: ) ( By + C x ) ( + y + A x + ( A A x + B B y + C C ) 0 que es l ecución de un rect. + B y + C Centro rdicl de dos circunferencis Es el punto del plno que tiene l mism potenci respecto de dichs circunferencis. Se clcul hllndo l intersección de los ejes rdicles de ls circunferencis, dos dos. 05

24 Posición reltiv de dos circunferencis L posición reltiv entre dos circunferencis vienee determind por l distnci entre sus centros (d) y el vlor de sus rdios R y R. Según el número de puntos que tengn en común existen los siguientes csos: -Ningún punto en común Exteriores: L distnci entree los centros es myor que l sum de los rdios. Interiores: L distnci entre los centros es menor que l diferenci de los rdios. Concéntrics: Los centros coinciden. -Un punto en común Tngentes exteriores: L distnci entre los centros es igul l sum de los rdios. Tngentes interiores: L distnci entre los centros es igul l diferenci de los rdios. -Dos puntos en común Secntes: L distnci entre sus centros es myor que l diferenci de los rdios pero menor que su sum. Posición reltiv de rect y circunferenci Pr determinr l posición reltiv de mbs podemos resolver el sistem de ecuciones y, según el número de puntos de corte, sbremos l posición, o bien comprr l distnci del centro de l circunferenci l rect con el rdio: 06

25 Rect tngente un circunferenci L rect tngente es un rect que tiene un único punto de intersección con l circunferenci. L rect tngente un circunferenci de centro O que ps por un punto T de l mism es l rect perpendiculr l rdio OT que ps por el punto T. ELIPSE Un elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. F y F son los focos, l distnci entre ellos se llm distnci focl y se represent por c. Eje focl: es l rect que ps por los focos. Eje secundrio: es l meditriz del segmento que determinn los focos. Los vértices de l elipse son l intersección de est con el eje focl, A y A, y con el eje secundrio, B y B. Eje myor: es el segmento entre los vértices A y A, se represent por. Eje menor: es el segmento entre los vértices B y B y se represent por b. El centro de l elipse es O, es el punto de intersección de los ejes. 07

26 Ecución: Pr determinr l ecución de l elipse vmos considerr que está centrd en el origen de coordends. F (c,0) F (-c,0) Se P (x,y) un punto de l elipse. Por definición, debe cumplir: PF + PF constnte Pr determinr el vlor de l constnte tomremos el punto A: AF + AF Por lo tnto podemos escribir: PF + PF ( ( x c + y 0 + x + c + y 0 ( x c) + ( y 0 ( x + c 4xc x + c + y 0 Desrrollndo, dividiendo entre 4 y volviendo elevr l cudrdo: x c ( c x Comoo b + c b x + ) ( xc x + c ) y + b ) ( ) ) ( ) Por tnto l ecución reducid de l elipsee es: ( c ) x b + y Dividiendo por b + y ) ( ( ) + xc + y Ecución de un elipse centrd en el origen con el semieje myor verticl: ) ) + ( y 0) x y b + x b y + 08

27 Ecución de un elipse de eje myor horizontl no centrd en el origen, sino en un punto P(x 0,y 0 ) ( x x 0 ) ( + y y b ) 0 Ecución de un elipse de ejee myor verticl no centrd en el origen, sino en un punto P(x 0, y 0 ) ( x x b 0 ) ( + y y ) 0 Excentricidd c Es el cociente entre l semidistnci focl y el semiejee myor e < 09

28 HIPÉRBOLA L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. F y F son los focos, l distnci entre ellos se llm distnci focl y se represent por c. Eje focl: es l rect que ps por los focos. Eje secundrio: es l meditriz del segmento que une los focos. es l longitud del eje rel y b es l longitud del eje imginrio. Los vértices de l hipérbol son los puntos de intersección de est con el eje focl, A y A. El centro de l hipérbol es el punto de intersección de los ejes. Ecución: Considermos un hipérbol centrd en el origen de coordends: F (c,0) F (-c,0) Se P(x,y) un punto de l hipérbol. Por definición, debe cumplir: PF PF constnte ( x c) + ( y 0) ( x + c) + ( y 0) ± ( ( x c) + ( y 0) ) ± ( x + c) + ( y 0 ) ( ) ( ) 4xc 4 4 x c y 0 ± + + 0

29 Desrrollndo, dividiendo entre 4 y volviendo elevr l cudrdo: x c ( c x Comoo b c b x xc x + c ) y b ( c ) x b y Dividiendo por b + y + xc + y Por tnto l ecución reducid de l elipsee es: Ecución de un hipérbol centrd en el origen con eje focl verticl x y b y x b Ecución de un hipérbol de eje focl horizontl centrd en el punto P(x 0, y 0 ) ( x x 0 ) ( y y b ) 0

30 Ecución de un hipérbol de eje focl verticl centrd en el punto P(x 0, y 0 ) ( y y 0 ) ( x x b ) 0 Excentricidd Es el cociente entre l semidistnci focl y el semiejee rel Asíntots de l hipérbol c e >. b Son ls rects y ± x. Hipérbol equiláter Un hipérbol cuyo eje rel es igul l eje imginrio, es decir, b, se llm hipérbol equiláter. x Su ecución es: y Sus síntots son y ± x x y Comoo c c c e c Un hipérbol equiláter tmbién se puede expresr de l form k y k. x Est ecución se conoce con el nombre de ecución de l hipérbol equiláter referid sus síntots.

31 PARÁBOLA Un prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un llmd directriz, y de un punto, llmdo foco. rect, L distnci entree el foco y l directriz se denomin prámetro de l prábol y se denot por p. El ejee de l prábol es l perpendiculr l directriz que ps por el foco. El punto de intersección de l prábol con su eje es el vértice. Ecución Tommos como eje de bsciss el eje de l prábol, y como eje de ordends, l prlel l directriz que ps por el vértice. El foco es F Se P (x,y) un punto de l prábol, deberá cumplir d(p,d) d(p,,f) p p x + x + y p,0 y l ecución de l directriz es p p x + x + y y px p x. Ecución de un prábol con vértice en (0,0) y directriz verticl: y px 3

32 Ecución de un prábol con vértice en (0,0) y directriz horizontl: x py Ecución de un prábol con vértice en V(x 0, y 0 ) y directriz verticl: ( y y ) p ( x x ) 0 0 Ecución de un prábol con vértice en V(x 0, y 0 ) y directriz horizontl: ( x x ) p ( y y ) 0 0 4

33 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Determin el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci l origen es el triple que l distnci l rect r: 6x y Hll el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de cudrdos de distncis los puntos A(-4, 0) y B(4, 0) es 40. Identific l figur resultnte. 3. En los siguientes csos, verigu si l ecución propuest corresponde un circunferenci y en cso firmtivo, hll su centro y su rdio: )x + 3y + 6x y 48 0 b x y x y ) c x y y ) d x y x y ) Hll l ecución de l circunferenci:. De diámetro AB siendo A(-,5) y B(3,-7). b. Que ps por el punto P(0,-4) y cuyo centro es C(-,). c. Que ps por P(3,), Q(-,) y cuyo rdio es 3. d. Que ps por los puntos (,-),(0,5) y (-,). e. Concéntric con x + y 3x + 4y 5 0 y con rdio 3. f. Que ps por P(3,), Q(-, ) y cuyo centro está en l rect x y + 0. g. Cuyo centro es el punto C(,-5) y es tngente l rect 3x 4y Averigu l posición de los puntos (3,), (4,) y (-3,-) respecto de l circunferenci x + y 4x y Cuál es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy potenci respecto de l circunferenci x + y 4x y + 0, es igul 5? Qué represent l ecución que se obtiene? 7. Clcul el eje rdicl de ls circunferencis x y x y + 0 x y y 8. Estudi l posición reltiv de ls circunferencis: ) x + y + x + 4y + 0 y x + y + x y + 0 b x y x y x y x y ) y c x y x y x y x y ) + 0 y Estudi l posición reltiv de: ) x + y + x + 4y + 0 y x y 0 b x + y x + y y x + y ) c x y x y y x y ) Hll ls tngentes l circunferenci x + y x 0 por el punto (0,). 5

34 . Hll ls tngentes l circunferenci x + y + 3x y 3 0 por el punto (0,-).. Clcul ls tngentes l circunferenci x + y 0 prlels l rect x y. 3. Averigu los semiejes, vértices, focos y excentricidd de ls siguientes elipses: x y ) b)5x + 9y 5 c x ) + 4y 9 4. Averigu l ecución de l elipse, sbiendo que:. Su distnci focl es 6 y su excentricidd 4 5. b. Su semieje myor es 9 y ps por P(6,4). c. e y ps por P(,3). d. El eje menor mide 0 y ps por P(8,3). e. Ps por P, 3 y 3 Q,. 5. Hll l ecución de l elipse de F(,) y F (-,) y eje myor de longitud Hll el vlor de k de modo que l rect x y + k 0 se tngente l elipse. 7. Averigu l posición reltiv de l rect x + y - 0 y l elipse x + y 0 x + y 4 8. Averigu los semiejes, vértices, focos y excentricidd de ls siguientes hipérbols: x y ) 44 5 b) x 4y 9 c y x ) Averigu l ecución de l hipérbol en los siguientes csos:. Su distnci focl es 30 y su eje rel mide 4. b. Su eje rel mide y ps por P(-0,4). c. Uno de sus focos es F(7,0) y su excentricidd es 7 6. d. Ps por P(5,) y por Q ( 9,3 ). e. Ps por P ( 8,5) y su excentricidd es 7 8 f. Ps por P 5, y un de sus síntots es l rect y x. 6

35 y 0. Hll el ángulo que formn ls síntots de l hipérbol x. 3. Escribe l ecución de l hipérbol equiláter x y 8 referid sus síntots.. Hll el vértice, el foco, el eje y l directriz de ls siguientes prábols: ) y 8x b y y x ) c x x y ) d x x y ) Escribe l ecución de l prábol en los siguientes csos:. Su directriz es x 4 y su foco es F(,-). b. Su directriz es el eje de ordends y su vértice el punto V(4,3). c. Su foco es el punto F(,3) y su vértice V(,-5). d. Su directriz es l rect 3x + 4y 0 y su foco el punto F(,3). 4. Averigu l posición reltiv de l rect 4x + y - 0 y l prábol 5. Hll los puntos que pertenecen l prábol P(7,4) y Q(-3,-). x y y y y x y equidistn de los puntos AUTOEVALUACIÓN 3. Escribe l ecución de l circunferenci con centro en el punto (, -3) y que es tngente l rect 3x - 4y Estudi l posición reltiv de l circunferenci ( 5x + 5y 00x + 50y 04 0) x y x y y l rect r: x + y (Son secntes) 3. Hll el lugr geométrico de los puntos P del plno cuy distnci A(, 0) se el doble de l distnci B(-, 0). Identific l figur resultnte. (( x + ) + y 4 Es un circunferenci ) 4. Hll l ecución de l hipérbol de focos F(5, 0), F( 5, 0) y cuy constnte es 6 (6). 5. Hll l ecución de l prábol de foco F (, 0) y directriz r: x. 6. Pr qué vlor de b l rect y x + b es tngente l circunferenci x ( 6x 9y 44) + y? ( y 4x) ( b ± ) 7

36 7. Hll l ecución de l elipse cuyo eje myor, que está sobre el eje X, es igul 0 y ps por el punto (3, 3). x 6y Hll l ecución de l elipse que ps por el punto (3, ) y tiene sus focos en (4, 0) y ( 4,0). x y Hll l ecución de l hipérbol que tiene como síntots y ± 3x y ps por el punto (,) 0. Hll l ecución de l prábol que tiene como directriz y 3 y vértice V(0,0). 9x y ( x y) 8

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