Examen con soluciones

Transcripción

1 Cálculo Numérico I. Grdo en Mtemátics. Exmen con soluciones. Decidir rzondmente si ls siguientes firmciones son verdders o flss, buscndo un contrejemplo en el cso de ser flss (.5 puntos): () Si f(x) cmbi de signo en el intervlo [, b] entonces el método de bisección en ese intervlo converge necesrimente un ríz de l ecución f(x) = 0. Flso. No se dice que l función se continu, luego podrí cmbir de signo sin que exist un α [, b] tl que f(α) = 0. Por ejemplo, l función f(x) = /(x ) cmbi de signo en [0.5, ] y el método de bisección converge, que no es un solución de f(x) = 0. (b) Se f(x) infinitmente derivble en R y tl que f(α) = 0, f (α) 0. Entonces, existe un entorno de α tl que el método de Newton converge pr todo vlor inicil x 0 en ese entorno y demás lo hce necesrimente con orden de convergenci. Flso. Si l ríz fuer tl que f (α) = 0 entonces l convergenci serí linel (de orden ). El método de Newton es x n+ = g(x n ) con g(x) = x f(x)/f (x) y tenemos que g (x) = f(x)f (x)/f (x) y si f (α) = 0 no podemos decir que g (α) = 0. Así, si por ejemplo f(x) = (x α) h(x) con h(α) 0 y h(x) suficientemente derivble, es fácil comprobr (ver hoj de problems) que lim x α g (x) = lo que demuestr l convergenci de orden (ver teorem del punto fijo). (c) Sen (x i, y i ), i =,..., n con x i x j si i j. Entonces existen infinitos polinomios P (x) de grdo n tles que P (x i ) = y i. Cierto. Sbemos que existe un único polinomio Q(x) de grdo menor o igul que n cumpliendo Q(x i ) = y i (el polinomio de interpolción de Lgrnge), pero polinomios de myor grdo (por ejemplo de grdo n) hy infinitos. En concreto, ddo el polinomio de interpolción de Lgrnge Q(x), el polinomio P (x) de grdo n P (x) = Q(x) + γ(x x )(x x )... (x x n ) verific P (x i ) = y i pr culquier γ. (d) Sen los polinomios Q n (x) = (x x )...(x x n ) donde x i = cos((k /) π n ), k =,... n. Entonces mx x [,] Q n (x) tiende cero cundo n tiende +. Cierto. Estmos considerndo los nodos de Chebyshev, luego el polinomio mónico Q n (x) es el polinomio de Chebyshev normlizdo Q n (x) = T n (x) = n T n (x), y como sbemos que mx x [,] T n (x) = el resultdo es evidente. (e) Tod regl de cudrtur f(x)dx m verific que bp p p = n i= n i= w i f(x i ) de grdo de exctitud w i x p i, pr p =,...m. Cierto. Por definición de grdo de exctitud, si el grdo de exctitud es m quiere decir que l cudrtur es exct pr todos los polinomios de grdo menor o igul que m, y en prticulr es exct pr integrr x p, p =,...m, luego n x p dx = w i (x i ) p i=

2 y l integrl es, por supuesto, (b p p )/p.. Resolver los siguientes problems (.5 puntos) () Se l función f(x) = x log(x) x +. Se pide i) Demostrr que l ecución f(x) = 0 tiene un únic solución rel. ii) Encontrr un intervlo en el que el método de Newton converge pr culquier vlor inicil x 0 en ese intervlo. iii) Prtiendo de x 0 = 0. (que es un vlor próximo l ríz y que grntiz convergenci) clculr l ríz medinte el método de Newton con cutro dígitos correctos. i) Primero observmos que f es continu en R + y que f(0 + ) = mientrs que f(+ ) =, luego l menos tiene un ríz rel. Derivndo f (x) = +log(x) 4x y tenemos que f (0 + ) = y f (+ ) = ; demás, como f (x) = /x 4, l primer derivd f (x) tiene un único extremo reltivo, donde demás lcnz su máximo vlor, que es f (/4) = log(/4) < 0. Por lo tnto f (x) < 0 pr todo x > 0, es decir, que es un función estrictmente decreciente, luego sólo puede tener un cero. ii) De lo nterior vemos que f (x) < 0 si x > /4; demás f (x) < 0. Por otr prte tenemos que f(/4) > 0, y por lo tnto el cero está en x > /4. Es inmedito comprobr gráficmente (como vimos en teorí), que, siendo l función decreciente y convex en x > /4, el método de Newton proporcion convergenci pr culquier x 0 en un intervlo [, b] con /4 < α < b siendo α l ríz de f (f(α) = 0). Con estos rgumentos l convergenci está segurd pr culquier x 0 en [/4, + ) (y no es difícil demostrr que, de hecho, converge pr culquier x 0 > 0). iii) Se trt simplemente de iterr x n+ = g(x n ), g(x) = x f(x)/f (x), hst obtener dos vlores cuyos cutro primeros dígitos significtivos coincidn. Tenemos x 0 = 0., e iterndo x = , x = , x = (b) Dd f(x) = + x se pide: i) Obtener medinte el esquem de diferencis dividids el polinomio de menor grdo P (x) tl que f( ) = P ( ), f(0) = P (0), f() = P (). Obtener demás un cot pr mx x [,] f(x) P (x). ii) Se hor el polinomio de menor grdo Q(x) que verific ls condiciones de interpolción de P (x) y, demás, ls condiciones dicionles Q ( ) = f ( ) y Q () = f (). Obtener este polinomio y cotr mx x [,] f(x) Q(x) i) Clculmos ls diferencis dividids, bsándonos en l propiedd f[x i, x i+,... x i+n ] = f[x i+, x i+,... x i+n ] f[x i, x i+,... x i+n ] x i+n x i Lo hcemos utilizndo l tbl hbitul: x i f[] f[, ] f[,, ] x 0 = x = 0 x =

3 El polinomio de interpolción lo podemos escribir P (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x ](x x 0 ) + f[x 0, x, x ](x x 0 )(x x ) y ls diferencis divids son los primeros elementos de cd column, de izquierd derech, es decir que P (x) = (x + ) + (x + )x. En cunto l error, por l fórmul del resto tenemos: f(x) = P (x) + f () (c) (x x 0 )(x x )(x x )! pr cierto c (x 0, x ) = (, ). Entonces, como f () (x) = /( + x) 4 tenemos que R(x) = f(x) P (x) = 4 (x + )x(x ) mx ( + c) x [,] x(x ). Nos flt encontrr los extremos de p(x) = x(x ). Hcemos p (x) = x = 0, luego los extremos reltivos están en x = ±/, donde p(±/ ) =. Por lo tnto mx R(x) x [,] ii) Tenemos hor que considerr un interpolción de Hermite en l que el nodo x 0 = prece dos veces, l igul que el nodo x =. L tbl de diferencis dividids se puede completr prtir de l nterior umentndo por rrib (repitiendo x 0 ) y por bjo (repitiendo x ). Cundo se repiten nodos, hemos de utilizr l propiedd f[[x i ] n+ ] = f (n) (x 0 ). n! Los vlores clculdos con est propiedd son f[x 0, x 0 ] = f (x 0 ) = y f[x, x ] = f (x ) = /9. L tbl qued: x i f[] f[, ] f[,, ] f[,,, ] f[,,,, ] x 0 = f (x 0 ) = x 0 = x = 0 8 x = 8 x = Entonces el polinomio es f (x ) = 9 8 P (x) = f[x 0 ]+f[x 0 x 0 ](x x 0 )+f[x 0 x 0 x ](x x 0 ) +f[x 0 x 0 x x ](x x 0 ) (x x )(x x ) donde ls diferencis dividids son, de nuevo, ls primers de cd column y de izquierd derech, es decir: P (x) = (x + ) + (x + ) (x + ) x + 8 (x + ) x(x )

4 El error se puede escribir R(x) = f(x) P (x) = f (5) (c) (x x 0 ) (x x )(x x ) = 5! ( + c) x(x ) Pr cotr el vlor bsoluto de p(x) = x(x ) en [, ] derivmos p (x) = (x ) + 4x (x ) = (x )(5x ). Tenemos extremos reltivos en x = ± y x = ±/ 5 y como p(±) = 0 y p(±/ 5) = 5 5 : (c) Dd l integrl se pide mx R(x) x [,] 5 5 I(f) = e x dx i) Obtener un espcido entre nodos, h, que grntice que l regl de Simpson compuest permite proximr l integrl con un error bsoluto menor que ii) Aproximr numéricmente l integrl medinte l regl de Simpson compuest pr ese vlor de h. Tenemos que utilizr que f(x)dx = h (f 0 + f n ) + h m i= f i + 4h m f i i= (b )h4 f (4) (τ) 80 pr cierto τ [, b]; h = (b )/n, n = m; x j = + jh, j = 0,..., n; f j = f(x j ). Lo primero es cotr el error pr determinr h. Tenemos que exigir que )h4 (b f (4) (τ) Trs un cálculo sencillo llegmos que f(x) = e x tiene ls siguientes derivds curt y quint: f (4) (x) = 4e x (4x 4 x +) y f (5) (x) = 8xe x (4x 4 0x + 5). Los extremos reltivos de f (4) (x) están entonces en x = 0 y en ls soluciones de 4x 4 0x +5 = 0, que resultn estr fuer del intervlo de integrción [ 0.5, 0.5]. Por lo tnto los máximos vlores de f (4) (x) en este intervlo pueden estr en x = 0 o en los extremos del intervlo. Es fácil ver que este máximo vlor está en x = 0, donde f (4) (0) =. Por lo tnto )h4 (b f (4) (τ) 80 h4 80 = h4 5. Tommos entonces h 4 /5 < , es decir, h < 0.94 o, lo que es lo mismo n > (b )/h =.98. Entonces, considermos n = 4 (luego h = 0.5) que demás es pr (como debe ser pr el método de Simpson pues n = m). Tenemos que plicr hor l regl de Simpson pr los nodos x j = + jh, j = 0,..., 4, h = 0.5, es decir x 0 = 0.5, x = 0.5, x = 0, x = 0.5, x 4 = 0.5. Tenemos, pr f(x) = e x, e x dx 0.5 (f( 0.5) + f(0.5)) f(0) (f( 0.5) + f(0.5)) =

5 . Resolver los dos siguientes ejercicios prácticos (cutro puntos) () Escribir un progrm, secnt.m que, dd un función f (que escribirímos en un fichero), plique el método de l secnte pr clculr un ríz de f con un precisión reltiv ɛ. Ls primers lines del progrm deberán ser: function it=secnt(x0,x,eps) % Entrds: (x0,x,eps) % x0,x: vlores iniciles % eps: tolernci bsolut % Slids: % it: vector de longitud n con ls sucesivs prox l riz Solución: pr este ejercicio no se d solución explícit pues no hy un únic form de progrmr el lgoritmo. (b) Completr ls línes 4, 9 y 0 function c=difdiv(x,y) n=length(x); i=0; 4 c= ; 5 while i<n j=n+; 7 i=i+; 8 while j>i+ 9 j= ; 0 c( )=(c( )-c( ))/(x( )-x( )); end end Solución: este es el lgoritmo de diferencis dividids (ver correspondiente práctic). Líne 4: c=y; Líne 9: j=j-; Líne 0: c(j)=(c(j)-c(j-))/(x(j)-x(j-i)). (c) Dd f(x)dx, se pide escribir un progrm que clcule sucesivs estimciones de l integrl medinte l regl trpezoidl compuest T n (f) = h n (f 0 + f n ) + h f i, pr vlores n = k, k = 0,,..., N (tomndo, por ejemplo, N = ) y que, simultánemente, evlúe l regl de Simpson utilizndo l relción i= S n (f) = 4T n(f) T n (f), siendo S m l regl de Simpson compuest con m + nodos. El lgoritmo deberá prr si l diferenci en vlor bsoluto entre dos estimciones sucesivs de l regl de Simpson es menor que l tolernci de error ɛ. Solución: pr este ejercicio no se d solución explícit pues no hy un únic form de progrmr el lgoritmo.