EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

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Ignacio Gil Quiroga
hace 5 años
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1 EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA 1º) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? Perímetro del vertedero: P = +y Coste cerca: C(,y)=4 P = 4()+4(y) = 8+8y Condición: y = 400 y = 400 sol: =0cm; y=0cm. º) Supongamos que el solar del problema anterior tiene 00 m y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. Qué dimensiones darán el costo más bajo? Ahora el coste será: C(,y) = 4() + 4y + 5y = 8 + 9y condición: y=00 y= 00 C()= sol: =15cm; y=40/ cm º) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de 1

2 alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar su seguridad? Alarmas tipo A: Alarmas tipo B: y Condición: +y=9 y=9- Seguridad: f(,y) = y 9- f = = f ()= f ()=0-6+81=0-1 +7=0 1=9 = f (9) >0 =9 es un mínimo f () <0 = es un máimo sol: Hay que instalar alarmas de tipo A y 6 alarmas de tipo B. 5º) El tipo de interés anual, I(t) en %, ofrecido por una entidad financiera, depende del tiempo t, en años, que se esté dispuesto a mantener la inversión, viene dado por la epresión: I(t)= a) Calcular razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés. b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justifica la respuesta. Sol: a) Se trata de determinar un valor de t para el que la función I(t) presente un máimo. Para ello, derivamos la función y la igualamos a cero: I t= 90t -9-t 90t t +9 estudiamos si t= es un máimo = -90(t -9) I t=0 t= y t=- como t no puede ser - t +9 I t=180 t t -7 t +9 ; I =- 5 <0 t= es un máimo Por lo que el tiempo t óptimo a mantener la inversión es de años. En estas condiciones, el tipo de interés será: I() = = 15% b) La función es continua en todo su dominio y a partir de t = es decreciente. Además, no presenta más máimos o mínimos que los calculados. Pero como lim It = 0 la función tiene una asíntota horizontal en y=0. Lo que significa que la función I(t) va disminuyendo hacia cero pero nunca llega a tomar valores negativos.

3 6º) Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C() en pesetas, están relacionados con el número de juguetes fabricados,, a través de la siguiente epresión: C() = El precio de venta de cada juguete es de 8000 pesetas. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) Cuántos juguetes debe fabricar para maimizar beneficios? A cuánto ascenderán estos beneficios? Sol: a) La función de ingresos vendrá dada por los ingresos totales de las ventas. I() = 8000 b) La función de beneficios (B()) vendrá dada por los ingresos totales de las ventas menos los costes de fabricación. B() = 8000 C(); 8000 ( ) = Se trata de encontrar un máimo en la función de beneficios y de determinar su valor: B () = ; B () = 0 = 00; B () = 0 < 0 Máimo B(00) = = º) Eiste algún punto de la gráfica de f()= Ln 1+sen con tangente horizontal? 1- sen si la tangente es horizontal, la pendiente es cero, es decir, la derivada es cero. f() = 1 1+sen Ln = 1 ln1+sen - Ln1-sen f ()= 1 1-sen 1+sen sen f ()= =0 + 1+sen 1-sen 1+sen =0 1-sen 1-sen 1-sen 1+sen + =0 1-sen =0 1 1 = 0, imposible pues 0. 1-sen No hay ningún punto de la gráfica de la función que tenga tangente horizontal. 8º) Se considera la función f()= a) Calcula la ecuación de la recta tangente en su punto de infleión. b) Hay algún punto de esta curva en el que la recta tangente sea perpendicular a la recta: r - 4y + 5 =0? a) Pto de infleión: f ()=0

4 f ()= -6; f () =6-6, f ()=0 6-6=0 =1 f ()=6 0; =1 es pto de infleión f(1)=1-+1=-1 El punto es P(1,-1) m=f (1)= -6=- la ecuación de la recta será: y+1=-(-1) +y-=0 b) r y= +5 4 m r= 1 4 nuestra recta tendrá de pendiente: m=-4 f ()=-4-6 =-4-6+4=0; que no tiene solución real. Por lo tanto, no hay ningún punto de esta curva en que la tangente sea perpendicular a r. 9) Analiza si las siguientes afirmaciones son o no verdaderas, sabiendo que las funciones f y g tienen segunda derivada continua en todo R a) Si f (a)= g (a), entonces f y g tienen tangentes paralelas en a. b) Si f (a)=0, entonces f tiene tangente horizontal en a. c) Si f (a) g (a)<0, entonces es posible que f o g tengan un punto de infleión en a. d) Si f (a)<0 y f (b)>0, entonces entre a y b hay un punto de infleión. e) Si f (a)=0, entonces f tiene un punto de infleión en a. a) Falsa, pues f(a) no tiene por qué ser g (a). Basta que f y g presenten puntos de infleión en =a con tangentes de diferente inclinación en ese punto. b) Falsa, pues f (a) no tiene por qué ser cero. c) Falsa. Es imposible que f o g presenten punto de infleión en a, pues f (a) 0 y g (a) 0. d) Verdadera. Al ser f () continua en R, por el teorema de Bolzano, es seguro que habrá algún c (a, b) donde f (c)=0, y f () cambia de signo, por lo que el punto de abscisa c será punto de infleión. e) Falsa. Por ejemplo, f()= 4, en a=0 no cambia el signo de la segunda derivada y f (0)=0. º) Halla un punto de la curva y= % de 45º con la horizontal. en el que la recta tangente forme un ángulo Nos piden hallar un punto de la función f()= en el que f() =1. f ()= -1 1 = 1 =1 =1; y=/ El punto es: P(1, ) 4

5 11º) Sea P() un polinomio de grado 4 tal que: i) P() es una función par. ii) Dos de sus raíces son 1 = 1 y = 5 iii) P(0) = 5 a) Halla sus puntos de infleión. b) Dibuja su gráfica. a) Al ser una función par se cumple que f()=f(-), por lo que no puede haber términos con eponente impar. Es decir: f()=a 4 +b +c iii) f(0)=5 c=5 ii) f(1)=0 y f( 5)=0 a+b+5=0 ' 5a+5b+5=0 resolviendo: a=1; b=-6; c=5 1º) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad y las asíntotas de la función f()= Monotonía: f ()= -1-(+1) -1 = - -1 ; f () 0 y f () <0 f() no tiene etremos, es siempre decreciente. Curvatura: f ()= + (-1) -1 f () >0 4(-1)>0-1 >0 >1 (1, ) f() cóncava f () <0 4(-1)<0-1 <0 <1 (-,1) f() convea Asíntotas: AV: ) lim =- lim =+ ; AV en =1 +1 AH: lim =1 AH en y=1-1 cociente de polinomios de igual grado Como tiene asíntota horizontal, no tiene oblicua. 5

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