Integrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a)

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1 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Integrndo Derivds Denición. Un función F es un ntiderivd de un función f sobre un conjunto A si tnto F, f estn denidos sobre A y x A, F (x = f(x Teorem. Teorem fundmentl del cálculo (Versión. Supongse que f es integrble sobre [, b]. Si F es un ntiderivd de f sobre (, b es decir continu sobre [, b], entonces f = F (b F ( Demostrción. Se P = {x, x,..., x n } un prtición de [, b]. Entonces si plicmos el teorem del vlor medio en cd subintervlo [x i, x i ] entonces existe x (x i, x i tl que por lo tnto F (x = F (x i F (x i i F (x i F (x i = f(x i, pr lgun x (x i, x i F (b F ( = Por sums de Riemnn tenemos que n [F (x i F (x i ] = i= n f(x i = R(f, P i= S(f, P R(f, P S(f, P tenemos entonces que como f es integrble S(f, P F (b F ( S(f, P f = F (b F ( Otr form de decir lo nterior es que si integrmos l derivd de un función, el resultdo será l función originl evlud en los limites de integrción, es decir: f = f(b f( Fcultd de Ciencis UNAM

2 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Ejemplo Usndo el teorem fundmentl del cálculo hllr + x 2 Solución Tenemos que hllr un F (x tl que F (x =. Ddo que + x2 (rctn x }{{} = = sec 2 (rctn x = + x 2 f (f (x Si f(x=tn x entonces f (x=rctn x (f = l últim iguldd l justicmos si: sec 2 (rctn x = + [tn(rctn x] 2 = + x 2 Proponemos entonces de mner que F (x = + x 2 Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo F (x = rctn x sec 2 (rctn x = + x 2 = F (b F ( = rctn b rctn + x2 Ejemplo Usndo el teorem fundmentl del cálculo hllr sec x Solución Tenemos que hllr un F (x tl que F (x = sec x. Pr ellos hcemos lo siguiente: ( sec x + tn x sec x = sec x = sec2 x + sec x tn x sec x + tn x sec x + tn x Ddo que ( (ln(sec x + tn x = (sec 2 x +sec x tn x = sec2 x + sec x tn x = sec x sec x + tn x sec x + tn x Proponemos entonces de mner que F (x = sec x Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo F (x = ln(sec x + tn x sec x = F (b F ( = ln(sec b + tn b ln(sec + tn Fcultd de Ciencis UNAM 2

3 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Derivndo Integrles Se f : [, b] R integrble, con bse en l función f, podemos construir un nuev función trvés de l siguiente regl de correspondenci F (x = donde α es un constnte j en [,b] y x culquier vlor de [,b]. Pr cd x [, b], α f α f determin uno y sólo un vlor, de est form F : [, b] R es efectivmente un función est función se le llm Integrl como límite superior. Se f(x=c con C > entonces Si tommos x l derech de α obtenemos un rectángulo cuy bse mide x α y de ltur mide C y por tnto el áre es (x-c=xc-x. Si x está l izquierd de α obtenemos exctmente l mism expresión solo que (x α es negtivo. De est mner F(x es un rect y como α f = tenemos un función F creciente. En l siguiente α gur se muestrn lgunos csos del comportmiento de F, dependiendo si f es creciente, decreciente, discontinu, positiv o negtiv f con un discontinuidd removible Fcultd de Ciencis UNAM 3

4 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior f con un discontinuidd esencil Es de esperrse que si f es continu en x entonces F se derivble en x. Vemos l relción entre f y F Fcultd de Ciencis UNAM 4

5 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Si x est sucientemente cercno x, l diferenci F (x F (x (x x f(x es decir F (x F (x x x f(x En l grác de F Fcultd de Ciencis UNAM 5

6 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Si x y x estn sucientemente cercnos F (x F (x x x F (x Es de esperr que Por lo tnto F (x F (x lím = f(x x α x x F (x = f(x Teorem 2. (Teorem Fundmentl del Cálculo (Versión 2 Se f : [, b] R, integrble en [,b] y continu en x, entonces l función f : [, b] R denid por es derivble en x y F (x = f(x Ide de l demostrción F (x = f(t Demostrción. Tenemos que y sen F (x F (x = x f(t m h = inf{f(t t [x, x] = [x, x + h]} M h = sup{f(t t [x, x] = [x, x + h]} Fcultd de Ciencis UNAM 6

7 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior entonces y y clculmos el límite mh(f(x x x f(t Mh(f(x x mh(f f(t Mh(f x x x Como f es continu en x entonces x lím mh(f lím f(t lím Mh(f x x x x x x x x x lím mh(f = f(x = lím Mh(f x x x x Por lo tnto donde concluimos que F (x F (x lím = f(x x x x x F (x = f(x Corolrio. Se f : [.b] R continu en [,b]. Entonces F : [, b] R denid por F (x = f(t es derivble en [,b] y F (x = f(x x [, b] En otrs plbrs el teorem fundmentl del cálculo dice: ( d x f = f(x Fcultd de Ciencis UNAM 7

8 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Ejemplo Usndo el teorem fundmentl del cálculo (Versión 2 Hllr d ( x 3t2 + 5 Solución Tenemos que 3t2 + 5 = 3t2 + 5 por lo que d ( x 3t2 + 5 = d ( x 3t2 + 5 = d plicndo el teorem fundmentl del cálculo d ( 3t2 + 5 = 3x ( 3t2 + 5 por lo tnto d ( x 3t2 + 5 = 3x Ejemplo Usndo el teorem fundmentl del cálculo (Versión 2 Hllr Solución Tenemos que por lo que ( d 3x 3x ( d 3x t + 4 = d ( 3x t + 4 Por otro ldo considermos ls funciones f(x = 3x t + 4 = t + 4 t + 4 = d ( 3x t + 4 y g(x = 3x t + 4 que l derivrls y plicndo el teorem fundmentl del cálculo (Versión 2 se tiene f (x = x + 4 y g (x = 3 con ests funciones se tiene f g(x = f(g(x = f(3x = 3x t + 4 Fcultd de Ciencis UNAM 8

9 Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior de mner que d ( 3x = d t + 4 (f g(x = f (g(x g (x = (3x = x + Por lo tnto ( d = 3x t + 4 x + Fcultd de Ciencis UNAM 9

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