Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

Transcripción

1 Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Carlos Alberola López Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación Despacho 2D014

2 Concepto de VA bidimensional Juego de dardos: Cada lanzamiento es un eperimento aleatorio. Los errores (respecto del centro) en sentido horizontal serían realizaciones de las VA. Los errores (respecto del centro) en sentido vertical serían realizaciones de las VA Y. Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando más frecuentemente (probablemente) alcance maor puntuación. Necesitamos pues herramientas bidimensionales.

3 Concepto de VA bidimensional Una modulación digital: Se envían símbolos durante un tiempo T de la forma: con Un modelo real presenta ruido!!! Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad de error: sectores angulares similares a la diana. Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.

4 Concepto de VA bidimensional Y (,Y) Pc: Como norma general no es conocida a partir del conocimiento eclusivo de P 1 P 2

5 Caracterización de VA bidimensional A) Función de distribución conjunta { Y } { }

6 Caracterización de VA bidimensional A) Función de distribución conjunta { Y } { } S 2 { }

7 Caracterización de VA bidimensional A) Función de distribución conjunta S 1 { } Y { }

8 Caracterización de VA bidimensional A) Función de distribución conjunta S 1 { } Y { } S S { Y } 2 I 1 { } I { Y } { }

9 Función de distribución conjunta Se define como la probabilidad de la región anterior: Nótese que:

10 Función de distribución conjunta Es una función de probabilidad acumulada: F B { 1 } I { 1 } { } I { } Y A 0 Y 0 Y pues: (, ) F ( ) 0 0 Y 1, 1 B A U C A B

11 Función de distribución: usos ( D) F ( ) F ( ) P, Y 2, Y 1 D 1 2 B A 1 2 B P 1 2 A U D P( B) P( A U D) P( A) + P( D) ( D) P( B) P( A)

12 2 1 Función de distribución: usos E P ( E) FY( 2, 2 ) FY( 1, 2 ) ( F (, ) F ( )) Y 2 1 Y 1, B 2 1 A 1 D 2 B P 1 2 ( B) P( A U D E) P( A) + P( D) + P( E) A U D U E P U ( E) P( B) P( A) P( D)

13 Caracterización de VA bidimensional B) Función de densidad de probabilidad La función de distribución es poco versátil, pues sólo permite hallar probabilidades de regiones con geometría mu sencilla. Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una región con geometría arbitraria? i P ( ) R i

14 Caracterización de VA bidimensional B) Función de densidad de probabilidad La función de densidad se define de la forma No negativa Y la relación inversa es Volumen encerrado1 De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria D del plano es

15 Caracterización de VA bidimensional B) Función de densidad de probabilidad Por qué recibe este nombre? Dado que se define se puede escribir de forma alternativa

16 Caracterización de VA bidimensional + Δ B) Función de densidad de probabilidad Por qué recibe este nombre? Dado que se define se puede escribir de forma alternativa + Δ

17 Ejercicio: ( ) ( ) F P > 1 ( ) ( ) F P, 1, Y Y > >? NO!! { } { } S > > Y Y U U, ( ) { } { } ( ) P S P > > Y Y U U, ( ) ( ) P P + > > Y Y U, 1 ( ) ( ) P P > > Y Y U 1, ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P + Y Y Y I U ( ) ( ) ( ) ( ) F F F, 1 Y Y +

18 Funciones marginales Las funciones de distribución o densidad de cada variable por separado, en este conteto se denominan funciones marginales. A partir de las funciones de densidad o distribución conjunta siempre se pueden obtener las marginales Recíproco, en general, no es cierto Y (,Y)

19 Funciones de distribución marginales F ( ) ( ) Para obtener ha que definir el suceso P a partir del caso 2D. Para ello escribimos ( ) P( { } ) P Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no suponga restricción alguna. Por ello S 2 De la misma forma

20 Funciones de densidad marginales En este caso: Lo cual se puede escribir de forma compacta como con φ d d φ ( α ) dα ( α ) f ( α, ) d Y

21 Funciones de densidad marginales Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla: En nuestro caso tenemos: f ( ) φ( α ) dα, φ( α ) f Y( α, ) por lo que: d d ( ) φ( ) f ( ) f, d Y d

22 Funciones de densidad marginales Por tanto:

23 Casos particulares: A) Dos variables discretas Supongamos que nos preguntan: A C B P ( ) ( A) + P( B) P( C) P + p p21 p22 con ij ({ } I { }) p P Y i j

24 Casos particulares: B) Una variable continua una discreta R 1 R 2 P Supongamos que nos preguntan: (, Y ) P( U ) R 1 R 2 ( R ) P( ) P + 1 R 2 R R 1 2 { } I { } Y 1 { } I { } Y 2

25 ( ) ( ) { } { } ( ) { } { } ( ) P P R P R P + + Y Y I I ( ) ( ) ( ) ( ) , R P R P R R P P + U Y ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P + Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) + Y d f P d f P τ τ τ τ Y Entonces: Por lo que: Es necesario pues conocer: ( ) i P ( ) i f Y

26 Casos particulares: ( ) C) Componentes relacionadas mediante Y g Se puede obtener la función conjunta a través de cada una de las marginales: (,g( ) ) > g( ) ( ) F ( ) FY(, ) P F Y < (, ) g( ) ( ) ( 1 ) 1 g F ( g ( )) P

27 Casos particulares: Supongamos que las componentes están relacionadas mediante una recta nos piden la probabilidad de la región sombreada: D R A P ( R) > < g( ) g( ) F Y F ( ) Y g 2 ( A) + Y F ( C) D Y F ( B) Y A, B, C ( D) B C 1 F ( B) F ( C) F ( g (0)) Y Y F (0) P ( R) FY ( A) FY( D) ( 1 F g ( 5) ) (1) F ( 5/ 2) F (1) F

28 Funciones condicionadas Se plantea cómo incluir más información en las funciones de caracterización total de las variables aleatorias una vez que se sabe que un determinado suceso se ha verificado. A tales funciones se les denomina funciones condicionadas, se representan: donde M es un suceso de probabilidad no nula.

29 Funciones condicionadas

30 Funciones condicionadas, marginales conjuntas Eiste una relación importante entre estas tres funciones, tanto a nivel de función de distribución como a nivel de función de densidad. Para la función de distribución, supongamos que el condicionante es M { Y } calculemos la función. Así pues F ( M ) Por ello: Y de forma similar

31 Funciones condicionadas, marginales conjuntas Para la función de densidad, consideremos que el condicionante es una franja de valores de la VA Y, a saber, M { < Y } 1 2 Renombramos ahora para poder acudir a cálculo diferencial: Δ

32 Teníamos que Y con el cambio de variables: Calculando el límite:

33 Repetimos la epresión: Y ahora derivando con respecto a : Por lo que podemos escribir:

34 Comentarios adicionales Cómo es una función de densidad condicionada a la otra variable? Y Esta epresión permite construir muestras de una VA bidimensional mediante ordenador: ~ ~ N ( ) (,1) N 0,1 100 muestras randn(100,1) +randn(100,1)

35 Teorema de la Probabilidad Total Nótese que podemos integrar estas epresiones obtenemos las funciones marginales:

36 Teorema de Baes Teorema de la Probabilidad Total

37 Independencia de dos VAs Se dice que dos VAs son independientes si se verifica que los eperimentos aleatorios de los que proceden son independientes. Esto trae consigo que: con En particular si escogemos podemos afirmar que dos VAs son independientes si: O bien

38 Independencia de dos VAs Vimos que de forma general podemos escribir Según hemos visto las variables son independientes si se verifica que Por tanto si son independientes el condicionante no condiciona Para el caso de las VAs discretas, la independencia se traduce en:

39 Independencia de dos VAs La comprobación de la no independencia es mu sencilla e intuitiva. En particular Recorridos de VAs dependientes entre sí!!!!! f Y ( 0, 0 ) 0 pero f ( 0 ) f ( ) Y 0 0 0

40 Transformación de VA 2D. Caso Zg(,Y) Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de la de e Y. Procedimiento: a partir de la definición de función de distribución: siendo el procedimiento consiste en: 1. Identificar la región D z 2. Realizar la integral

41 Transformación de VA 2D. Ejemplo Consideremos que. Obtengamos la función de distribución de la VA Z. Partimos de: Entonces: z ( D ) f ( ) z P, Y Para obtener la función de densidad derivamos f Z () z df dz Z ( z) dp( D ) dz dd z

42 Transformación de VA 2D. Ejemplo Por tanto: ( D ) dp z z d f () Z z fy, dz dz ( ) dd Hagamos el cambio de variable Entonces t d z f () Z z fy(, t ) ddt dz d z f ( ) Y, t d dt dz d z ϕ () t dt dz () z ϕ() z f ( z ) f, d Z Y

43 Transformación de VA 2D. Ejemplo Nótese que si las VAs fuesen independientes, el resultado anteriormente obtenido: () z ϕ() z f ( z ) f, d Z Y se escribiría Es decir f Z f Z () z ϕ() z f () f ( z ) d ( z) f ( z) f ( z) Y Y Este resultado recibe el nombre de Teorema de la Convolución (la función de densidad de la suma de 2 VAs independientes es igual a la convolución de las funciones de densidad) Consultar tres ejemplos más en el libro.

44 Transformación de VA 2D. Dos funciones de dos VAs Consideremos ahora que partimos de: El objetivo es obtener la función de densidad de las VAs de destino como función de la función de densidad de las VAs de origen. Llegaremos a una epresión que será el Teorema Fundamental etendido a dos dimensiones.

45 Transformación de VA 2D. Dos funciones Para ello, escribimos de dos VAs

46 Transformación de VA 2D. Dos funciones Generalizando de dos VAs Y dado que:

47 Transformación de VA 2D. Dos funciones de dos VAs Entonces resulta la epresión del teorema: con:

48 Solución: la epresión del teorema fundamental es:

49 Sólo ha una raíz del plano origen que se transforma en una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es un punto aislado en el plano). Por ello, escribimos: Sustituendo términos: f (, ) f ( ) f ( ) Y Y

50 Hemos obtenido pues: f ZW 1, ( z w) 1 Y dado que W f ZW ( z w), 1 w 0 z w 1 1 Ahora ha que indicar en qué zona del plano (z,w) es cierta la conclusión obtenida. 1 z 0 w 1 0 w 1

51 Transformación de VA. Método de la Variable Auiliar Consideremos ahora que partimos de: (1) es decir, de una transformación de 2 Vas. Supongamos que deseamos conocer su función de densidad. Podemos emplear el teorema fundamental haciendo lo siguiente: (2) (3) ZW ( z w) f () z f ( z, w) f, Este procedimiento es el método de la VA auiliar Z dw ZW

52

53 Tenemos pues: De forma que: Indep.

54 Caracterización parcial de VA-2D De forma similar al caso 1D, si se tiene se desea entonces se puede escribir: E { h( Z) } ( Y) Z g, En particular, si h( Z ) Z

55 Caracterización parcial de VA-2D Si ahora Z a + by + c

56 Caracterización parcial de VA-2D Variables discretas: Esperanzas condicionadas: úsese función de densidad condicionada

57 Se dividen en Momentos de una VA-2D No centrales: Centrales: Si las VAs son discretas:

58 Momentos de una VA-2D Con nombre propio Correlación: Covarianza: Eiste relación entre ellos: Coef. de correlación:

59 Momentos de una VA-2D Variables ortogonales: Variables incorreladas: R Y C Y 0 0 Independencia implica incorrelación: El recíproco no es cierto!!!!! (en general)

60 Momentos de una VA-2D Variables incorreladas: C Y 0 Varianza de la suma es igual a suma de las varianzas: Variables ortogonales: R Y 0 Si las variables son ortogonales el mismo razonamiento aplica para el valor cuadrático medio de la suma.

61 Unas nociones sobre estimación Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y) una vez que se ha observado lo que vale la otra (): Y g ( ) ˆ (estimador de Y)

62 Unas nociones sobre estimación Criterio de construcción de estimadores:minimizar el valor cuadrático medio del error ε Y Yˆ { 2 } { } ( ) 2 min E ε min E Y Yˆ Veremos tres casos: Estimar mediante constante: Ŷ g ( ) a Estimar mediante función lineal Ŷ ( ) a b g + Estimador sin restricciones Yˆ g ( )

63 Unas nociones sobre estimación Estimar mediante constante Ŷ g ( ) a min a E { ε 2 } a E{ Y} Ŷ Estimar mediante función lineal ( ) a b g + min E a, b { ε 2 } a b C Y 2 σ E { Y} a E{ } ( ) Estimador sin restricciones Yˆ g min g( ) E{ Y } f ( ) d g E{ ε 2 } ( ) Y

64 Unas nociones sobre estimación Es interesante ver que el coeficiente de correlación mide el grado de relación lineal entre las variables: VCM del error para estimador constante: E { 2} 2 ε σ Y VCM del error para estimador lineal ρ Y 0 E { 2} 2 ( 2 ε σ ρ ) 1 Y Si ambos coinciden, Por qué? Porque: a b C Y 2 σ E Y { Y} a E{ }

65