1.2 Funciones de potencial vector magnético y eléctrico escalar

Transcripción

1 . uncions d potncial vctor agnético y léctrico scalar En l análisis d problas d radiación s coún spcificar las funts y dspués ncontrarlas los capos radiados por las funts. En la práctica n l procdiinto para introducir funcions auxiliars, conocidas coo vctors potncials, los cuals nos ayudan n la solución d problas d radiación. Las funcions potncials ás couns son l vctor potncial léctrico y l vctor potncial agnético. Otro par son los potncials d rtz II y II h. igura. Diagraa a bloqus, para l cálculo d los capos radiados La intnsidad d capo léctrico y agnético E y, rprsntan las cantidads físicas dibls; ntr uchos ingniros los potncials so strictant hrraintas atáticas. La introducción d los potncials uchas vcs siplifica la solución, aunqu s pud rqurir funcions adicionals. Mintras qu sa posibl calcular los capos E y, dirctant d las dnsidads d las funcions d corrint J y M, coo s ustra n la fig. N 3.. Esto srá ucho ás sipl, priro calcular las funcions potncials auxiliars y dspués dtrinar E y. La opración ás difícil n dos pasos, s la intgración para dtrinar y (II y IIh ). Una vz qu los vctors potncials s conocn, sipr s pudn dtrinar E y por dio d cualquir función bin conocida, no iporta qu tan coplja sa sipr s pud dfinir. La intgración rquir dtrinar las funcions potncials sa strictant sa sobr las frontras J y M. Esto dará coo rsultado n qu y ( o II y IIh ). San funcions d las coordnadas d los puntos d obsrvación, la difrnciación para dtrinar E y dbrá sr hchas n térinos d las coordnadas d los puntos d obsrvación.

2 VECTOR POTENCIL, PR UN UENTE DE CORRIENTE ELECTRIC J. El vctor potncial s uy útil n la solución d capos lctroagnéticos, gnrados por una corrint léctrica y arónica J. El flujo agnético sipr s solnoidal, s dcir, B0. Por tanto s pud rprsntar por l rotacional d otro vctor, dbido a qu obdc la siguint idntidad vctorial: x0 (.) En dond s un vctor arbitrario. Dfinios: O B x (.) x (.a) En dond l subíndic indica qu l capo s dbido al potncial. Sustituyndo (.3a) n la Ecuación d Maxwll, tnos: xe jx j (.3) xe j xj (.4) Siplificando: E j 0 x (.5) Eplando la siguint idntidad vctorial: x( ) 0 (.6) E igualando térinos:

3 E j (.7) O E j (.7a) Rprsnta un potncial léctrico scalar, l cual s función d la posición. Toando l rotacional d abos lados d (.) y plando la siguint idntidad vctorial: xx ( ) (.8) B x B x( ) x( x) (.8ª) Para dios hoogénos isotrópicos (8ª), s rduc a: x ( ) (.9) Y toando la Ecuación d Maxwll igualando térinos, tnos: x Jj E (.0) J j E( ) (.) Sustituyndo.7a n., tnos: J j ( j) ( ) J j j ( j) ( ) J j ( ) J ( ) j

4 Siplificando: k J ( j ) (.) En dond: k S dfin l rotacional d n (.). En st onto s pud dfinir la divrgncia d, la cual s indpndint d su rotacional, a fin d siplificar la (.): j j (.3) La cual s l conoc coo la condición d Lorntz. Sustituyndo (.3) n (.), tnos qu: k J j j k J Ecuación Inhoogna d lont (.4) En rsun.7 a, s rduc a: E jj j E j ( ) j j j (.5) Una vs qu s conoc, s pud ncontrar d (. a) y E d (.5). E s pud ncontrar fácilnt d la Ecuación d Maxwll con J = 0, s dcir n l spacio libr, gnralnt los lntos radiadors prácticos stán situados n dios hoogénos isotrópicos y librs d todo obstáculo, lo cual no xist ninguna dnsidad d corrint d conducción J. s ostrara postriornt coo ncontrar n térinos d la dnsidad d corrint J. srá la solución d la cuación inhoogna d lholtz.

5 VECTOR POTENCIL, PR UN UENTE DE CORRIENTE MGNETIC M. unqu las funts d corrint agnética parcn sr físicant irralizabl, corrints agnéticas aparcn cuando usaos l volun o l tora d suprficis, quivalnts. El capo agnético gnrado por una corrint agnética arónica n una rgión hoogéna, con J = 0 pro M ǂ 0, dbrá satisfacr D 0. Por tanto E s pud xprsar coo l rotacional dl vctor potncial, coo E x (.6) Sustituyndo (.6) n la Ecuación d Maxwll. x j E (.7) x j xjx x( j ) 0 (.8) Eplando la siguint idntidad vctorial: x( ) 0 Igualando térinos y ralizando opracions: j j (.9) n dond rprsnta un potncial agnético scalar arbitrario, l cual s una función d posición. Toando l rotacional d (.6) E x x x xx ( ) (.0) xe

6 igualando a la Ecuación d axwll, para funts d corrint agnéticas: xe Mj (.) M M j j ( ) ( ) j ( ) M (.) Sustituyndo (.9) n (.): j( j) ( ) M j j( j) ( ) M M ( ) j M ( ) ( j ) (.3) Dfinindo: j j (.4) Sustituyndo (.4) y (.3), tnos: M ( ) ( ) (.5) k M Con k Sustituyndo a n (.9): j

7 j j j ( ) Una vs qu s conoc, s pud ncontrar E atrvs d (.6) d (.) 0 (.6) con M = 0 Postriornt s ustra coo ncontrar, u navs qu s conoc M. Sria una solución para la cuación d lholtz.