! 1 3 <1 la serie converge (y confirma a n! 0 ). a n. x 2 >0; f 0 (x)<0 si x>1; R 1 f (x)dx = 1 2 e x2 1 = 1 2e. ) Convergente. n! 0 ) Convergente.

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1 Solucios d los roblmas d Matmáticas (07-08) {a } acotada ifriormt or 0 (los a so ositivos) y dcrcit us + + <, > )9líma a ) a a ) a0 Como a + a < la sri covrg (y cofirma a 0 ) a) (a ) / Divrgt (O orqu {a } 0) c) ( ) ( ) Gométrica ) (+) (+) + > ) Divrgt d) 00 b) +cos +cos Divrgt divrg, 00 covrg ) Divrgt 0 ó / 0 ) Covrgt O tambié: f () >0; f 0 ()<0 si >; R f ()d f) 00 ( ) a + a ( ) ) Covrgt g) +( ) +, +( ) + al +, d igual covrgcia qu ) ( ) ) a o tid a 0 ) Divrgt i) (+) ( + ) 0 ) Divrgt Raíz o dcid: j) (l) / /(log) 0y divrg ) divrg k) ) Covrgt a l) ( ) ( ) ( ) 0 y dcrcit ( ) > + (+), +>0 m) + ) ñ) s +cos a + / s dcir a < ) covrg s al, / +cos / y / + Z d (l) (log) y ) covrg log < ) covrg covrgt ) covrg covrgt ) Covrg (absolutamt) / o) ( + ) Covrgt +) O bi: S a) Si cal0, {a } 0 y divrg Si c>0 covrg (Libiz): c 0 y dcrcit b) Si c > ó c <, a divrg (y lo ac la sri) Si c, +7 c) (+) c (+)(+)(+) r <, cal d) (c ) c gométrica: <, <c<5 ) + < ( ) covrg ) covrg si lo ac c +, c <: divrg Si c, ( ) +7 covrg c c (+ ) / f) Divrg ara c lím ( ccos ) 0 Covrg ara c cos(/) / y si c,a 0 Gométrica: covrg, a a <, a a+>0 [8a] y a a (a+)(a )<0, a(,) La suma d la sri ara sos a s: (a a )/ a a+ E articular, si a, suma a ( a ) /a /a a(a ), si la sri gométrica covrg, a <, a > a(a ) si a, Sólo la raíz cuml qu >, co lo qu la suma s sólo si a 08 al al 0 (+) < si + 9, así qu sgú Libiz ( ) (+) al al a] Es la sri dl arco tagt: S + arcta >> 9 5 O bi: 0 ( ) 7 ya aroima la suma co sa rcisió Sri d Libiz + 0 y dcrcit : S + 5 > 8 > 9 5 ( 0>7 ) " último térmio sumado gativo b] Es falso, us la sri divrg a us s comorta como la divrgt a : / / arcta + 0 I

2 si < 8 a) El límit utual d f s f () + / si discotiua si ± 0 si > Como las f so cotiuas [0,], la covrgcia o ud sr uiform b) g () utualmt 8R Lo ac uiformmt [0,] us: + al + < si grad, ara todo [0,] c) () covrg utualmt todo R a ()0 9 a) 0 al0 0 Covrg uiformmt (,0] Pro o [0,), us las s sal todas d la bada ( ) b) cos / f f f 0 g g g 0 arcta() 5 al / 5 8 y ( 5 ) gométrica covrgt Wirstrass ) covrg uiformmt R c) b al,8 R y covrgt ) covrgcia uiform (y utual) R (Wirstrass) covrg 0 ) covrg 8 R E [ 7,7] lo ac uiformmt (Wirstrass) us 7 [O orqu u torma asgura qu las d otcias lo ac los crrados cotidos l itrvalo d covrgcia] d) (5) ( +) + 0 ( 5 + ) gométrica; covrg si 5 <, (, ) [ (,) [ (,) + E [5,], al + < ; como covrg la sri s uiformmt covrgt (Wirstrass) 0 i) f (0)0, f () > 0 si > 0 ) Vmí 0 f()( 0 ) ) Vmá f ( ) ii) f () al ) f [0,) 0 uiformmt, y como covrg, f lo ac uiformmt a) R 7 ; si 7, divrg ( + ); si q b) covrg < ) Y si, ( ) c) covrg (Libiz) Si, divrg > divrg, us 0 tambié divrg, us a o ti límit: ars, imars Si, + + divrg: a / y + + divrg 8 ) covrg < divrg > La d, ( ) + +, covrg or Libiz, us a + 0 y dcrc claramt + d) / a 0 R Sólo covrg si ) b + b +, + b Si f) b + b (+) () (+) (+) / (+ ) / ) covrg si <, << divrg si >, quda ( ) +, qu covrg or Libiz + 0 y claramt dcrc alal + + g) b + b ) (+)(+) 0 ) covrg 8R covrg si </ divrg si >/ b i [ / ] [+/ ] / Si ± quda + qu covrg, us /( +) / y covrg, ) Covrg si a + 9 <, s dcir, si < 9 Y divrg si > 9 Si / divrg, us a / i) Lo más corto, raíz: b (/ ) 0 ) covrg 8 b Cocit más largo: + b (+) (+) + 0, us (+)/ / ++ (+) / + / j) b + b 9+ 9 log(+) (+) log(+) + 9 ) covrg si </ divrg si >/ log(+) log(+) /(+) /(+) + + Si ± quda log(+) qu covrg, us /( log(+)) / 0y covrg, II

3 + arcta(+) arcta / / ó )covrg si <, << (arcta) / (/) 0 y divrg si > ) ara 0 divrg y ara covrg Si, ( ) arcta divrg, us a f 0 () ) covrg si < divrg si > ( R radio d covrgcia) Para quda la divrgt La d, ( ), covrg or Libiz sri gométrica qu covrg actamt si << (sguro qu lo acía) Su suma ara sos valors: f 0 () rimr térmio razó (+) lím + + lím / )covrg si < y divrg si > Si ± divrg (a 0) La sri s la drivada térmio a térmio d (), < Su suma s d d, si < ( ) a + a (+)(+) (+)(+), a + / + 5 Por tato, covrg si < y divrg si > Para y quda y ( ) +, ambas divrgts ( a 0 ) Covrg si (,) Como s+ + > (térmios todos ositivos), o 5/ / >, la sri divrg ara s valor a) 8 c) ( ) 8( ) + 9( ) + 0 d) 7 a) R () al (+) : cos b) ( ) (+) 0 0 +[ + +] b) R () al (+) : c) R ( ) al + d) R ( ) al + 7 : log(+ ) ( ) + (+) s + + : log(+ + ) ) R () al Muco más corto utilizado qu log log + log 09 8 ( + ) /5 +( 5 ) ( /5)( /5) , si <, < f ( ) , co rror mor qu (sri altrada dcrcit): 00 < a) cos [ + cos ] ( ) (), 8 b) [ ] , si < + c) log(+) d) ( ) + ( )( ) + +, si < ) sc s, 8 f) cos a a + a a + a 0 ; a 0 0,a ; a a + a 0 0,a 5 ) cos g) [+] / , < [ / ] , < d d [arcs][ / ] y arcs0 0 ) arcs , < ) cos(s) s + s ( + ) a] f () cos(/) Por sr f 00 (0) l coficit d dl dsarrollo, f 00 (0) Y como l d + s 0, f (07) (0)0 b] 0/0,L0 H s 0 0 [El dsrrollo atrior o os sirv d ada ara st cálculo ] III

4 arcta, <0 arcta f () +arcta, >0 a] lím 0 / lím f () lím + arctat 0 + t b] arcta + y admás la sri dic qu f 0 (0 )0 0 f () Ambos límits coicid co f (0) ) cotiua f () f (0) Si >0, arcta 0 + f 0 (0 + ) f 0 (0 )0 ) o drivabl Cotiua 0 : ++ Co la dfiició: /( ) + 0 ( ) /+ + 0 g0 (0) Co la sri d Taylor d g() (cocit o comosició) ) g0 (0) Más largo s calcular (usado Taylor o ôital) l límit cuado 0 d la drivada g 0 () ( ) ( ) a) cos s ( ) / b) ta [+ arcta +o( )] +o( ) 0 ; ta /(+ ) + cos c) log(+s ) + d) (cos) / log(cos)/, us log(cos) s + + f) log ( )log log ( ) log / log+ / / /+/ g) +log (+log) +/ (+log) + / i) +s +cos + s + cos (or o s llga a ada) k) log(+ ), us log(+ / ) a) s+arctaa + +a a + cos ) /( ) +/( ) / 9 cos ( ) / ( ) / s ( ) / log(+s ) s log ) cos s ó log ( )+ ( ) + ) ( ) + ( ) + j) lím ta lím tat t0 + t (+a) ( +a ) + ) si a>, f si a<, f si a, f b) + +(+ )+ (+ ) , log(+)+ ( a)+ + +, si a Si a<, ± Si a>, 0 0 ± 0 ± 5 a) + arcta ) f () 0 0 ac, s 0 0 o admit dsarrollo d Taylor 0 lím f () lím + s lím st t0 + t arcta o s arc a su dsarrollo d Taylor b) , f () c) 8 [jmlo d auts] + + Más largo: lím f () 0/0 ( ) 0/0 lím cos lím lím f () ( 0+lím ) /(+ ) s [ ( ) ] 0 +cos [ ] 9 si lím 0 [+cos 9 si ] (/)+ ( lím f () lím ( ) /) +(s 0 [us la ocial tid a 0 y l so stá acotado] /) d) + ) arcta 0 0 y ( +cos) s cotiua 0 Por tato lím f ()(0 + cos0) 0 Si,, cos o ti límit (ro stá acotado) y arcta(/ ) 0 Por tato: lím f () lím arcta + cos arcta arctat lím t + 0 t0 + t lím +o(t ) t0 + t IV

5 E 0 dsarrollamos s ( arcta o s ud), y ifiito, lo cotrario: a i ) /+ arcta 0 / a ii)ya iii ): s arcta, us lím ± ± arcta arctat lím t0 ± t b i ) s + ( 8 ), (+ ) / + (/)( /) + ( ) (si < ), arcta (si <) ) f () +( b ii )yb iii ) + c i ) arcta(s)s / arcta s s 0 0 ±/ ± s + c ii ) o stá dfiida c iii ) arcta(s) log(+ ) 0, lím ) +( o( ) ) log(+ ) lím d i ) (+ + ) d ( + ) ii) lím k() 0 d iii) k() 9 ) + +o( ) +o( ) /(+ ) ) lím () s 0 0, us 5 7 f () 0 si b<0 y f () +b + + b b + b 0 b± ) b 8 a) Como (+) / + +, a + + O bi + ++ i b) b arcta arcta, us arcta y f () log + /(+ ) 0 0 f 0 log + (0)lím 0 lím /(+ ) 0 0 f 0 () log +, 0 f 00 + (0)lím log Muco más corto: f () 5 +, si < ) f 0 (0)0, f 00 (0) f ()<0, < f () f ± 0 (úico trmo calculabl actamt) lím f () lím /(+ ) ± ± 0 ) f () 0 ) f ( f ()) 0 f cotiua 0 0 f () f () [ + /+o( )] 0 f 0 (0) lím lím f ()[ôital] lím f 0 () + f ()0( ) f >0 8 y f cotiua 8 ) imag (0,) + < 0 8 ) f dcrcit todo R, us g()+ <0 8 g(0)0, g 0 () ositivo si <0 y gativo si >0 ) g gativa si <0 y si >0 O a artir dl dibujo d + y (so tagts 0 y s + al sr [ ) f () ( ) + + (+) + ) f () ( ) (0) (+) ( ) (+) E articular, f (00) (0) 0 y f 0 (0) V

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