08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 1

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1 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 1 Problema 1. Una urna contiene 9 tarjetas bicolores. Entre ellas hay una blanca y negra, otra blanca y roja, otra blanca y azul, otra negra y roja, otra negra y azul, otra roja y azul y tres azules y verdes. Se extrae una tarjeta al azar y se consideran los sucesos: B, obtener una tarjeta con el color blanco, N obtener una tarjeta con el color negro y R obtener una tarjeta con el color rojo. Analizar las relaciones de independencia entre estos sucesos.

2 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 2 Problema 2. Dos urnas contienen 1 bola blanca y 2 negras y 2 bolas blancas y 1 negra respectivamente. Se extrae una bola al azar de cada urna y se introducen en una tercera urna vacía; después se extrae una bola al azar de esta última urna. Sea B 1 el suceso de obtener bola blanca de la primera urna; N 2 el suceso de obtener bola negra de la segunda urna y B el suceso de obtener bola blanca en la última extracción. Analizar si son independientes: a) B 1 y B. b) N 2 y B. c) B 1 N 2 y B.

3 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 3 Problema 3. Se lanza un dado y se introducen en una urna A tantas bolas blancas como indique el resultado, completando con bolas negras hasta un total de 6. Otra urna B se llena por el mismo procedimiento. Después se toma una bola de cada urna. a) Calcular la probabilidad de obtener alguna bola negra. b) Si ambas bolas son blancas, determinar la probabilidad de que se obtuviese un 5 en el segundo lanzamiento del dado. c) Si se extrae alguna bola negra, determinar la probabilidad de que en el primer lanzamiento del dado haya aparecido un 3.

4 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 4 Problema 4. N tarjetas numeradas de 1 a N se barajan aleatoriamente, para examinar el orden en que han quedado. Determinar las probabilidades de que a) la tarjeta 2 sea posterior a la 1. b) la tarjeta 2 sea la siguiente a la 1. c) las tarjetas 1 y 2 no sean consecutivas. d) las tarjetas 1 y 2 estén separadas por exactamente r tarjetas. Hallar el número medio de tarjetas que separan a ambas. Y la distribución límite, cuando N tiende a infinito, de la proporción de tarjetas comprendidas entre la 1 y la 2. e) ningún par de números consecutivos aparezcan seguidos y en orden creciente.

5 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 5 Problema 5. La urna A contiene 2 bolas rojas y una blanca, la urna B 101 rojas y 100 blancas. Se escoge una urna al azar y se pretende adivinar de que urna se trata, observando únicamente el color de dos bolas extraídas de la urna elegida. Determinar si es mejor estrategia devolver la primera bola a la urna después de observada o, al contrario, efectuar las extracciones sin reemplazamiento.

6 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 6 Problema 6. n estudiantes están matriculados en un curso compuesto por k asignaturas que se aprueban independientemente. La probabilidad de que el estudiante i apruebe en Junio la asignatura j es p i,j. Determinar: a) La probabilidad de que algún estudiante no apruebe el curso. b) La probabilidad de que algún estudiante apruebe el curso. c) La probabilidad de que haya que realizar examen de Septiembre de todas las asignaturas. d) La probabilidad de que haya que realizar examen de Septiembre de más de una asignatura.

7 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 7 Problema 7. Un cajón contiene calcetines sueltos blancos y negros. Si se extraen dos al azar, la probabilidad de que ambos sean blancos es 1/2. Determinar el número mínimo de calcetines que contiene el cajón. Determinar el número mínimo de calcetines que contiene el cajón si el número de calcetines negros es par. Si el número de calcetines es grande, determinar aproximadamente la proporción de blancos. Y el número medio de calcetines que habrá que extraer para tener un par del mismo color.

8 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 8 Problema 8. n + 1 urnas contienen respectivamente 0,1,2,...,n bolas blancas y el resto negras hasta completar n bolas por urna. Se elige una urna al azar y se extraen k < n bolas sin reemplazamiento. a) Determinar a distribución del número de bolas blancas obtenidas. b) Si se han obtenido r bolas blancas, determinar la probabilidad de que una bola m s, extraída de la misma urna, sea blanca.

9 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 9 Problema 9. n+1 urnas contienen respectivamente 0,1,2,...,n bolas blancas y el resto negras hasta completar n bolas por urna. Se elige una urna al azar y se extraen k bolas con reemplazamiento. a) Determinar la distribución del número de bolas blancas obtenidas y su límite cuando n. b) Si se han obtenido r bolas blancas, determinar la probabilidad de una bola m s, extraída de la misma urna sea blanca. Hallar su límite cuando n.

10 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 10 Problema 10. Una urna contiene 6 bolas blancas y 8 negras. Se extraen 4 bolas sin reemplazamiento y no se obtienen todas del mismo color a) Cuál es la probabilidad de que el número de bolas blancas obtenidas sea distinto del de negras? b) Cuál es el número esperado de bolas blancas obtenidas?

11 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 11 Problema 11. Una urna contiene n tarjetas numeradas de 1 a n. Se extraen tarjetas con reemplazamiento hasta obtener una tarjeta que ya ha sido extraída con anterioridad. a) Determinar la distribución del número de extracciones realizadas. b) Determinar la moda y el valor aproximado, para n grande, del cuantil de orden p. c) Determinar la distribución asintótica del número de extracciones realizadas; utilizarla para deducir una aproximación de su media cuando n es grande.

12 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 12 Problema 12. Tres jugadores A, B y C lanzan, por turno, dos dados y gana el primero que obtenga una puntuación igual a 9. a) Qué probabilidad tiene de ganar cada uno? b) Si en cada tirada el jugador que lanza ha de poner una peseta en la mesa y el ganador se lo lleva todo, cuál es el beneficio esperado de cada jugador?

13 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 13 Problema 13. El número de flores que produce un frutal tiene distribución de Poisson de parámetro λ. Cada flor tiene una probabilidad p de ser fecundada y dar lugar a un fruto. a) Determinar la distribución del número de frutos que se cosechan del frutal. b) Para un árbol del que se hayan cosechado r frutos, determinar la probabilidad de que haya tenido n flores; así como el número medio de flores que tuvo.

14 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 14 Problema 14. La probabilidad de que una familia tenga exactamente n hijos es p n = αp n para n = 1,2,3,... Supuesto que cada hijo tiene la misma probabilidad de ser mujer o varón: a) Determinar la distribución del número de hijos varones y su media. b) Determinar el número medio de hijas de una familia con k hijos varones. c) Si una familia tiene algún hijo varón, determinar la probabilidad de que tenga dos o más hijas.

15 08231 Cálculo de probabilidades y Estadística. Primera prueba 15 Problema 15. Una urna contiene 3 bolas numeradas: 0,1,2. Se extraen n + 1 bolas con reemplazamiento y se considera la variable aleatoria: N, número de extracciones en las que se obtiene un resultado superior al de la extracción n+1. a) Determinar la distribución de N, su media y su varianza. b) Determinar la distribución del resultado de la extracción n + 1, condicionada por N = k, siendo 0 < k < n. c) Determinar la distribución del resultado de la primera extracción, condicionada por N = k, siendo 0 < k < n.