Trigonometría 3 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com

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1 I: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS-En trigonometrí se onsidern ángulos de ulquier vlor, por lo que se he neesrio plir el onepto de ángulo, supongmos un ryo AB, on origen en A en l figur siguiente: Si AB empiez girr; en el sentido de l fleh urv, hst l posiión AC hremos generdo un ángulo trigonométrio tl omo se muestr Trigonometrí de Seundri: I Trimestre OBSERVACIONES: Tener en uent un ángulo medido en sistem diferentes son equivlentes () y no igules (=) Así: º En grdos Sexgesimles 0 g En grdos Centesimles rd En rdines En trigonometrí, desriiremos omo se onsidern los ángulos de ulquier vlor, por lo que se he plir el siguiente onepto ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS-Los ángulos generdos en sentido ontrrio l movimiento de ls gujs del reloj se onsidern en trigonometrí positivos y si genermos ángulos en el mismo sentido del movimiento de ls gujs del reloj se onsidern negtivos Angulo Positivo Angulo Negtivo Sistem Sexgesiml Unidd: grdo Sexgesiml (º) Vuelt 60º Además: º 60 ( grdo Sexgesiml equivle 60 minutos sexgesimles) º 60 ( minuto Sexgesiml equivle 60 segundos sexgesimles) º 600 ( grdo Sexgesiml equivle 600 segundos sexgesimles) Sistem de Centesiml Unidd: grdo Centesiml ( g ) Vuelt 00 g Además: g 00 m ( grdo Centesiml equivle 00 minutos entesimles) m 00 s ( minuto Centesiml equivle 00 segundos entesimles) g 0000 s ( grdo Sexgesiml equivle 0000 segundos entesimles) Ejm: Grfir 0º Ejm: Grfir 0º Sistem Rdil Unidd: rdián ( rd) A0B: Setor irulr Condiión L = = SISTEMA DE MEDIDA Un ángulo puede ser medido en diferentes sistems, los más onoidos son sexgesiml, entesiml y rdil Así: Ejm: S Sexgesiml S Centesiml S Rdil º 0 g rd Además: vuelt rd vuelt rd vuelt rd n n ynpom

2 Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Relión Importnte: Si el ángulo es un vuelt omplet se umple: 60º 00 rd Simplifindo: Además si 80º 00 g 80º 00 g rd le simplifimos: 9º 0 g II: Setor Cirulr Es quell porión de írulo limitdo por dos rdios y un ro de irunfereni Del gráfio mostrdo, lulr l longitud de ro siendo 0: entro Soluión: l = r Convirtiendo =0º = 0º en rd l = 8 6 πrd π 0º rd 80º 6 l = m ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S) El áre de un Setor Cirulr se lul medinte el produto del número de rdines del ángulo on el rdio de l irunfereni elevdo l udrdo dividido entre dos Deduión Comprndo (por regl de tres simple) (l), De l figur se otiene: A0B Setor Cirulr Áre de un Setor Cirulr r S Ángulo Centrl rd rd LONGITUD DE ARCO (l) Es quell en uniddes de longitud de un ro de irunfereni, se lul medinte el produto del número de rdines del ángulo entrl y el rdio de l irunfereni Deduión Se l irunfereni on entro en 0 y rdio r omprndo l longitud de ro y el ángulo entrl omo se muestr en l figur siguiente: Teniendo en uent el signifido geométrio de rd se tiene: Donde: l : longitud de ro : número de rdines del ángulo entrl r : rdio de l irunfereni Ejemplo: Longitud de Aro l r De donde se otiene l = r Ángulo Centrl rd rd Resolviendo se otiene: S r tmién: S l r Ejemplo: S l Del gráfio mostrdo, lulr el áre del setor A0B 0: entro Soluión: S = 6 m = 60º rd rd 80º S NUMERO DE VUELTAS (n v ) El número de vuelts que d un rued de rdio r l desplzrse (sin reslr) se lul medinte el oiente de l longitud que desrie el entro de l rued dividido entre r (perímetro de l rued) 6 ynpom

3 En est figur el número de vuelts que d l rued de rdio (r) l desplzrse desde A hst B se lul: n v l r Trigonometrí de Seundri: I Trimestre III: Rzones Trigonométris de Ángulos Agudos TRIÁNGULO RECTÁNGULO- Se llm triángulo retángulo l triángulo donde uno de sus ángulos es reto (90º), demás reuerde que el ldo opuesto l ángulo reto se llm hipotenus y los dos ldos restntes tetos En l figur mostrd: (l : longitud desrit por el entro de l rued) (perímetro de l rued) Ejemplo: Cuánts vuelts d l rued de m de diámetro? Soluión: r = m l C = 80 00m n V = 80 00m m n V = 000 vuelts + = 90º Teorem de Pitágors + = L hipotenus siempre es myor que los tetos : hipotenus : tetos : son ángulos gudos Además en el triángulo retángulo se umple: Los ángulos gudos sumn 90º > RAZÓN TRIGONOMÉTRICA- L rzón trigonométri de un ángulo gudo en un triángulo retángulo se define omo el oiente que se otiene l dividir ls medids de ls longitudes de dos de los ldos del triángulo retángulo on respeto del ángulo gudo Oserv : Si el triángulo nterior nos referimos ls longitudes de los ldos del triángulo on los nomres hipotenus () teto opuesto () teto dyente () Podemos definir ls rzones trigonométris de del modo siguiente: senθ os θ tgθ tgθ se θ s θ teto opu esto l ngulo θ hi potenus teto dy ente l teto dy ente l ángulo θ hi potenus teto opu esto l ángulo θ ángulo θ tetody ente l á ngulo θ teto opu esto l ángulo θ hi potenus teto dy ene l ángulo θ hi potenus teto opu esto l ángulo θ ynpom

4 Ejemplo: Clule los vlores de ls seis rzones trigonométris del menor ángulo gudo en un triángulo retángulo, uyos tetos miden 8 y uniddes Resoluión Aplindo el teorem de Pitágors, tenemos: (8) + () = x 89 = x x = tg Trigonometrí de Seundri: I Trimestre tg se s Luego sen os tg 8 8 tg 8 se s 8 Rzones Trigonométris de los Ángulos Agudos: 0º, 60º, º, º Y º Ls rzones trigonométris de estos ángulos se otienen prtir de los siguientes triángulos retángulos LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Lo nterior lo podemos desriir ontinuión, en l siguiente figur Del Triángulo Retángulo ACB tenemos que: sen BC AB Por otr pre, del triángulo retángulo AC B tenemos que: B' C ' sen AB' De los triángulos nteriores se otiene: RT sen os Ángulo 0º º º º 60º Luego: BC AB B' C' AB' Así enontrmos el mismo vlor pr sen sin importr ul se el triángulo retángulo que utiliemos pr lulrlo, un ide similr podrí servir pr ls otrs rzones trigonométris RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Siendo un ángulo gudo se umple: s sen s sen se os se os ynpom

5 Ejemplo: Si tg tg tg tg sen s os se tg tg s sen RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos gudos se llmn omplementrios si su sim es un ángulo reto Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Ejeriio: si: sen(0º + ) = os(0º + ); º < < º, hlle Resoluión Por lo nterior se tiene: (0º + ) + (0º + ) = 90º = 0º = 0º RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA A, EN SU LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA A En l figur se muestr: y : Son ángulos omplementrios ( + = 90º) Hemos nomrdo el ángulo opuesto l teto omo y l ángulo opuesto l teto omo en onseueni: sen os ; os sen tg tg ; tg tg se s Deido ests reliones ls rzones: seno y oseno tngente y otngente sente y osente ; s se PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO Todo triángulo pitgório tiene sus ldos expresdos por números enteros positivos Dihos ldos tiene l siguiente form: Siendo: m y n números enteros positivos Además m > n Se llmn o rzones trigonométris un de l otr Ejemplos: sen0º = os0º se0º = s0º tg80º = tg0º tgº = tg8º os6º = sen8º sº = se66º ynpom

6 Trigonometrí de Seundri: I Trimestre SI ELEGIMOS VALORES DE M Y N (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ CASO PARTICULAR: CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS, ENTONCES SE CUMPLIRÁ: m k Y n k ; SIENDO: K = # IMPAR LUEGO: EJEMPLO: CUANDO: M = Y N = EJEMPLO: CUANDO: M = 8 Y N = EJEMPLO: CUANDO: K = EJEMPLO: CUANDO: K = CUANDO LOS VALORES DE M Y N (NO SON PRIMOS ENTRE SÍ) O CUYA SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN EJEMPLO: CUANDO: M = Y N = EJEMPLO: CUANDO: M = Y N = RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES Rzones Trigonométris del Ángulo de º Sen los tetos del triángulo retángulo ABC: AB = BC = L Por el teorem de Pitágors: AC = AB + BC AC = L + L = L AC = AC = L L = L Luego, lulmos ls rzones trigonométris del ángulo de º sen º = os º = L L L L s º = se º = ynpom

7 L L tg º = tg º = Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Rzones Trigonométris del Ángulo de º y º Rzones Trigonométris del Ángulo de 0º y 60º Pr hllr ls rzones trigonométris de 0º y 60º, onstruimos un triángulo equilátero, vemos: En el triángulo retángulo BHC; lulmos BH, por el teorem de Pitágors BC = BH + HC L = BH + L L L L = BH + L = BH L = BH L L = BH L BH Luego lulmos ls rzones trigonométris de 0º y 60º en el BHC sen º = sen º = os º = os º = tg º = tg º = tg º = tg º = se º = se º = s º = s º = Rzones Trigonométris del Ángulo de 6º y º sen 6º = sen º = os 6º = os º = tg 6º = tg º = ynpom

8 tg 6º = tg º = se 6º = se º = Trigonometrí de Seundri: I Trimestre s 6º = Rzones Trigonométris de y º s º = Pr hllr ls rzones trigonométris de los ángulos de º y º tommos omo refereni el triángulo retángulo notle de 0º y 60º, luego prolongmos (omo se muestr en l figur), hst otener un isóseles EBC, siendo: EB = BC = En el triángulo retángulo EAC: Clulmos el vlor de x por medio del teorem de Pitágors: EC = EA + AC x x x 8 x 8 Aplimos rdiles doles x 6 Luego, lulmos ls rzones trigonométris de º y º Rzones Trigonométris de º0 y 6º0 Pr hllr ls rzones trigonométris de los ángulos de º0 y 6º 0 tommos omo refereni el triángulo retángulo notle de º, luego proedemos de igul mner que el so nterior En el triángulo retángulo EBA: Clulmos el vlor de x por medio del teorem de Pitágors EA = EB + BA x = + () ynpom

9 x = = + = x Luego, lulmos ls rzones trigonométris Trigonometrí de Seundri: I Trimestre A BC 8 tg DC sen º0 = os º0 = tg º0 = tg º0 = = = sen 6º0 = os 6º0 = = tg 6º0 = = tg 6º0 = = se º0 = se 6º0 = s º0 = s 6º0 = Hiendo uso del triángulo notle 6º y º Clulr tg 8 En el triángulo retángulo BCP BC tg 8º PC 9 HACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS: tg 8º Ejemplos: En un triángulo retángulo ABC (reto en C ), donde = 8 y = Clulr: A tg Resoluión En el tringulo retángulo BCA: Clulmos AB por medio del teorem de Pitágors: AB = BC + AC AB = 8 + = 6 + AB = 89 AB = 89 AB = Luego en el triángulo retángulo DCB: Clulmos: A tg CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA er Cso: Denomindor Monomio Pr rionlizr el denomindor de un frión, siendo diho denomindor un monomio, se multiplin los dos términos de l frión por el rdil del mismo índie que el del denomindor, y que multiplidor por el rdil que se dese eliminr y de omo produto un ntidd rionl ynpom

10 Trigonometrí de Seundri: I Trimestre ynpom 0 Ejemplos: 9 9 Est fórmul sólo se umple, undo el denomindor es ríz udrd do Cso: Denomindor Binomio Pr rionlizr el denomindor de un frión, siendo diho denomindor un inomio de l form: se multiplin los dos términos de l frión por l expresión onjugd del denomindor y luego se simplifin los resultdos Ejemplos: m n m n m n ; q p q p q p IV: Resoluión de Triángulos Retángulos En este pítulo veremos que podemos resolver ulquier triángulo retángulo si se nos d: I Ls longitudes de dos ldos II L longitud de un ldo y l medid de un ángulo gudo Conoiendo ls longitudes de los ldos: Ejemplo: Resolver un triángulo retángulo, siendo que sus tetos miden y respetivmente Resoluión Pr lulr x, plimos el teorem de Pitágors: () + () = x x = x = Pr determinr l medid del ángulo, lulemos un rzón trigonométri on los tetos de longitudes y Por deir: tg = = 6º0 (proximdmente) omo: + = 90º = 6º0 Con l ul el triángulo retángulo qued resuelto A Conoiendo l longitud de l hipotenus y un ángulo gudo inógnits x, y

11 Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Conlusión: Cálulo de x: x = os x = os Cálulo de y: y = sen y = sen En el triángulo retángulo l medid del otro ángulo gudo es: 90º Ejemplos: C Conoiendo un ángulo gudo y l longitud del teto dyente diho ángulo Análogmente los triángulos retángulos nteriores B Conoiendo un ángulo gudo y l longitud del teto opuesto diho ángulo inógnits x, y CONCLUSIÓN: Cálulo de x: x = tg x = tg Cálulo de y: y = s y = s En el triángulo retángulo l medid del otro ángulo gudo es: 90º Apliiones Un topógrfo puede medir el nho de un río emplzndo su tránsito en un punto C en un orde del río y visulizndo un punto A situdo en el otro orde Después de girr un ángulo de 90º en C, se desplz 00 m hi el punto B, quí mide el ángulo y enuentr que es de 0º Cuál es el nho del río? ynpom

12 Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Del gráfio: Resoluión Busmos l longitud del ldo, onoemos y, por lo que usmos l relión tg = S sen Reemplzndo: tg 0º 00 = 00tg0º el nho del río es (00 tg0º) m Un omet se qued tsd en l rm más lt de un árol, si l uerd de l omet mide m y form un ángulo de º on el suelo, estime l ltur del árol enontrndo l distni que hy entre l omet y el suelo (senº = 0,) Resoluión Grfindo, tenemos por ondiión l prolem Demostrión: Por geometrí S, se lul sí h S (h: ltur reltiv del ldo En el triángulo retángulo somredo se tiene por resoluión de triángulo que: h = sen Se h l ltur l ul se enuentr l omet, prtir de l figur vemos que: h = senº h = sen º h = (0,) =,88 h =,88 m Luego: Ejemplo: S sen ; ( = ) S sen ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S) El áre de ulquier región tringulr está ddo por el semi produto de dos de sus ldos multiplido por el seno del ángulo que formn dihos ldos Así tenemos: Clulr el áre de l región tringulr ABC, siendo que AB = m; A = 6 m y el ángulo omprendido entre dihos ldos es igul º Resoluión Grfindo tenemos ynpom

13 Nos piden: S S (m) (6m) De l figur: S (m) (6m) sen º S = 9 m Trigonometrí de Seundri: I Trimestre Líne Visul: Llmd tmién líne de mir, es quell líne ret imginri que une el ojo del oservdor on el ojeto oservrse ÁNGULOS VERTICALES Son quellos ángulos ontenidos en un plno vertil formdos por l líne de mir (o visul) y l líne horizontl Que prten de l vist del oservdor Los ángulos vertiles pueden ser: Ángulos de Elevión Es el ángulo formdo por l líne horizontl y l líne de mir undo el ojeto se enuentr por enim de l líne horizontl ) EN TRIGONOMETRÍA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS OPERACIONES sen sen (ABSURDO) ; sen α sen β sen α β Asurdo ) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ: : Ángulo de oservión Ángulos de Depresión Es quel ángulo formdo por l líne horizontl y l líne de mir undo el ojeto se enuentr por dejo de l líne horizontl I) SEC SEC + SEC = SEC : Ángulo de depresión II) os sen sen sen sen = COS + ) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SEN N X = (SENX) N ; LA PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE: (SENX) N = SEN N X N Y ESTO ES INCORRECTO AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD V: Ángulos Vertiles Líne Vertil: Vertil de un lugr es l líne que oinide on l direión que mr l plomd Líne Horizontl: Se denomin sí tod quell líne perpendiulr l vertil Plno Vertil: es el que ontiene tod l líne vertil : ÁNGULO DE OBSERVACIÓN ynpom