SOLUCIONARIO. UNIDAD 6: Números complejos. . Puede verse en el dibujo. soluciones. Por tanto, no hay puntos de corte. x y ACTIVIDADES-PÁG.

Transcripción

1 MatemátcasI UNIDAD : Números complejos ACTIVIDADES-PÁG.. Las solcones de las ecacones dadas son: a) x x + = 0 x y x b) x + x = 0 x x y x 0. El vector resltante de grar 90º el vector v, es el vector,. Pede verse en el dbjo.. Los pntos de nterseccón de la hpérbola con las rectas venen dados por los sstemas qe sgen: x y 9 x 0 No tene solcones. Por tanto, no hay pntos de corte. x y 9 y 0 x x ; y 0. Los pntos de corte son P (-, 0) y Q (, 0). ; y 0 x y 9 y x No tene solcones. Por tanto, no hay pntos de corte. 9

2 MatemátcasI Todo lo anteror pde verse en el dbjo.. El rado del hexágono mde, s apotema mde y el área será:. ACTIVIDADES-PÁG.. S cada pnto representa na lámpara, la solcón qedaría del sgente modo:. S hay n calles, el número máxmo de crces es C n, n n. Lego s hay farolas habrá crces y se cmplrá: n n n n 0 n El peblo tenía calles como mínmo. 9

3 MatemátcasI. Ésta es na de las dsposcones en qe qedó la cava. Cómo máxmo pdo robar: 0 = botellas. La dsposcón de botellas admte mchas formas dferentes, ACTIVIDADES-PÁG.. Los resltados en cada no de los apartados son: a) = (- + ) = -0 0 = 09 b) 9 (-) (- + ) = = c) nverso de = = d) Para hallar resolvemos la ecacón = - + y obtenemos las tres solcones de esta ecacón como vemos en la magen. En la magen tenemos la resolcón, con Wrs, de esta actvdad. 9

4 MatemátcasI. Con Wrs resolvemos la ecacón y como vemos en la magen obtenemos las cnco solcones de la msma. Ss afjos son los vértces de n pentágono reglar cyo dbjo tenemos en la msma magen y cya área se calcla con el comando área(polígono) y en este caso vale 9,0 ndades cadradas. ACTIVIDADES-PÁG. 9. Los resltados de las operacones son: a) - = -,0 b) = c) el nverso de ( ) = - 0, El complejo en forma polar es y el complejo en forma bnómca es ACTIVIDADES-PÁG. 0. Las solcones de las operacones son: a) (- + ) + ( - ) = - c) (- + ) ( - ) = - + e) (- + ) = + 9

5 MatemátcasI b) ( + ) + ( ) = + d) ( - ) (- + ) = 9 f) + (- + ) = +. Las solcones de las operacones son: a) ( + ) (- + ) = - + c) ( + ) (- - ) = e) ( ) ( + ) = 0 b) d) f). La tabla completa: Complejo Opesto Conjgado Inverso Las solcones de las operacones son: a) = - c) ( v) = b) w = - ( v) d) w 0. El valor de las expresones es: a) = 0 ( ) d) ( ) 9 b) e) 0... = 0 ( ) ( ) 9 c) = f) 0 ( ) 9

6 MatemátcasI. Las respestas a las cestones son: a) Operamos ( + b) = ( - b ) + b. Como tene qe ser real se cmplrá: b = 0, entonces b = 0. b) Operamos ( + ) (- + b) = (- b) + (b - 0). Como el afjo tene qe estar en la bsectr del prmero y tercer cadrante se cmplrá: - b = b 0 b = - c) Operamos y obtenemos: (a + ) ( b) = a b ab a b ab 0 a a, b, b Hay dos solcones, los complejos y. a ( a) (a ) a a d) Operamos. Como tene qe ser n número a (a ) (a ) 9a 9a magnaro pro se cmplrá: a 0, entonces a = 0. 9a. La tabla qeda del sgente modo: Afjo Forma bnómca Forma polar (, ) + º Forma trgonométrca ( º sen º ) (, - ) º ( º sen º ), 0º ( 0º + sen 0º), º ( º + sen º) 9

7 MatemátcasI ACTIVIDADES-PÁG.. Las representacones gráfcas peden verse a contnacón: 9. Las solcones son: a) º 0º = º ( º sen º ) b) º : º = 0º ( 0º sen 0º ) c) 9º : º = 0º ( 0º sen 0º ) = ( 90º sen 90º) 0 d) 0 º e) º 9 90 º = ( 90º sen 90º) 0 º 90

8 MatemátcasI f) [( 0º + sen 0º) ] [ ( 0º + sen 0º)] = (0º sen 0º ) 9 9 g) [ ( 0º + sen 0º)] = ( 0º sen 0º ) h) ( 0º ( 0º sen 0º ) sen 0º ) = ( 00º sen 00º ) 0. Expresando los complejos a forma polar y operando, obtenemos: 0 a) º º º º 0º 90º 0 0 b) 0º 0 0º 00º 0º º = º c) : 00º d) 0º 0º 0º 0º 9 e) 0º 0º 90º 90º 09 f) 0º 0º 00º 0 º. En el cálclo de las raíces obtenemos: a) 90º 90º 0º 0º 0º ; con k 0; y k k. Las raíces son: 0º; 0º y 0º. 0º 9 9 b) 90 º 0º 0º k 0º 0º k ; con k = 0 y. Las raíces son 0º y 0º. c) 0º 0º 0º k 0º 0º k ; con k = 0; y. Las raíces son 0º; 0º y 00º 99

9 MatemátcasI d) 90º 90º 0º º º ; con k 0; ; ; y k k. Las raíces son: º; 90º; º; º y 0º e) º 0º k ; con k 0; y º 0º 0º k Las raíces son: ; y. 0º º º f) ; con k 0; y 0º 0º 0º k 90º 0º k Las raíces son: 90º; 0º y 0º g) º 0º k ; con k 0; ; y º º 90º k. Las raíces son: º ; 0º ; 9º y º. h) ; conk 0;; y k. 0º 0º 0º Las raíces son:,º;,º;,º; y 0,º ) ; con k 0; ; ; ; y. 90º 90º 0º k º 0º k Las raíces son: º; º; º; 9º; º y º j) 0º 0º 0º k 0º k ; con k 0; y. Las raíces son: 0º; 0º y 0º.. El cálclo de las raíces se descrbe a contnacón y la representacón gráfca pede verse en los dbjos. a) ; con k 0; ; ; ; y. 0º 0º 0º k 0º k Las solcones son: 0º; 0º; 0º; 0º; 0º y 00º Gráfcamente obtenemos los vértces de n hexágono reglar centrado en el orgen de coordenadas. 00

10 MatemátcasI b) ; con k 0; y 0º 0º 0º k 0º 0º k. Las solcones son: 0º; 0º y 00º. Gráfcamente obtenemos los vértces de n tránglo eqlátero centrado en el orgen de coordenadas. c) 90º 90º 0º,º 90º ; con k 0; ; y k k. Las solcones son:,º;,º; 0,º y 9,º Gráfcamente obtenemos los vértces de n cadrado centrado en el orgen de coordenadas. d) 0º 0º 0º,º 90º ; con k 0; ; ; y k k. Las solcones son: º; 0º; 0º; º y º Gráfcamente obtenemos los vértces de n pentágono reglar centrado en el orgen de coordenadas. 0

11 MatemátcasI e) 0º 0º 0º 90º 0º ; con k 0; y k k Las solcones son: 90º; 0º y 0º.. Gráfcamente obtenemos los vértces de n tránglo eqlátero centrado en el orgen de coordenadas.. Ssttyendo en la ecacón orgnal cada na de las raíces, operamos y obtenemos: a) ( + ) ( + ) + = (- + ) ( + ) + = (- + ) + ( ) = 0 ( - ) ( - ) + = (- - ) ( - ) + = (- + ) + (- + ) = 0 b) ( + ) ( + ) + 9 ( + ) + = (- + 9) (- + ) + ( + ) + = = ( ) + (9 + ) = 0 ( - ) ( +-) + 9 ( - ) + = (- - 9) (- - ) + ( - ) + = = ( ) + (- 9 + ) = 0. Toda ecacón de segndo grado se pede constrr del sgente modo a partr de ss solcones: S + P = 0 sendo S la sma de ss solcones y P el prodcto. S ( ) 0 a) 0 P ( ) S ( ) ( ) b) 0 P ( ) ( ) S ( ) ( ) c) 0 P ( ) ( ) 0

12 MatemátcasI º S ( ) ( ) d) 0 º P ( ) ( ). Las solcones de las ecacones son: 0 a) + + = 0 b) + 0 = 0 ) ( ) 0 ; y ( 0 c) + = 0 con k 0; ; y. 0º 0º 0º k º 90º k Dando valores a k, obtenemos: 0 = º; = º; = º y = º. d) = 0 ( ) ( ) 0 ; 0º ; Resolvendo las ecacones de segndo grado, obtenemos: 0 = 0º; = 0º; = 0º; = 0º y = 00º. e) = 0 0º 0º 0º 0º con k 0; ; ; ; y k k. 0º Dando valores a k, obtenemos: 0 = 0º; = 0º; = 0º; = 0º y = 00º. f) + = 0 0º 0º 0º º 90º con k 0; ; y k k. Dando valores a k, obtenemos: 0 = º; = º; = º y = º.. Las solcones de las ecacones son: a) + + = 0 0º 0º 0

13 MatemátcasI b) - + = 0 0º 0º c) + + = º 0º d) + = 0 0 Para cada na de las solcones anterores: 0º 0º k 0 0º ; 0º y 0 º 0º 0º k 0 0º ; 0º y 0 º e) + = 0 0º 0º 0º k 0º 0º k 0 0º ; 0º y 00º f) = 0 ; y 90º 90º 0º k 0º 0º k 0 0º 0º 0º. Las demostracones qedan: ( α + sen α) = ( α sen α) + ( sen α α) = α + sen α sen sen sen ( α + sen α) = ( α + sen α α sen α) + ( sen α α sen α α) = sen sen sen sen sen sen. Las solcones de las cestones son: a) ( a b) ( c d ) a b magnaro pro c d a a c b d bd c 0 a a b c d o a b c d 0

14 MatemátcasI Los números complejos son: y + o ben + y. b) Sea el número complejo bscado. Se cmple: De aqí obtenemos qe = - ; =. c) Sea = a + b 0. Se cmple:. De aqí obtenemos: ab ab a b a ab b Resolvendo el sstema anteror obtenemos los números complejos: =; = ; = ACTIVIDADES-PÁG. 9. Qeda: Las otras raíces son: 0º 90º 0º k 90º ; 0º : 0 º 0 0. a) Las potencas scesvas son: ( ) º ( ) 90 º ( ) ( ) º ( ) 0º ( ) ( ) º ( ) 0 º ( ) ( ) ( ) º 0º Los afjos se encentran en na espral qe se aleja del orgen de coordenadas. 0

15 MatemátcasI 0 b) Las prmeras potencas del complejo son: 0º 0º 0º 0º 00º 0º 0º 0º Los afjos se encentran en na espral qe se acerca del orgen de coordenadas.

16 MatemátcasI c) Las prmeras potencas del complejo w son: w 0º 0º w w 90º w 0 º w 0º w 0 º w 0º 0º w Los afjos se encentran sobre na crcnferenca de centro el orgen de coordenadas y rado.. Los vértces del prmer pentágono reglar son: º ; 90º ; º ; º ; 0º Las coordenadas cartesanas de los vértces son:,90; 0, ; 0, ;,90; 0, ;,;, ;,;,. Los vértces del segndo pentágono reglar son: º ; 0º ; 0º ; º ; º Las coordenadas cartesanas de los vértces son:,;, ; 0,;,90 ;, 0 ; 0,;,90 ;,;,. 0

17 MatemátcasI. Los vértces del cadrado son: 90 º ; 0º ; 0º ; 0º. Las coordenadas de los vértces son;. 0, ;, 0 ; 0, ;, 0. La solcón qeda: Se obtene el número complejo grado 90º, es decr, s el número complejo tene como afjo (a, b) obtenemos, al mltplcar por, el número complejo de afjo (- b, a). Al dvdr por el número complejo, se obtene el msmo número complejo grado 0º. a b b a. S afjo es (b, a).. Los vértces del cadrado son: (, ); (-, ); (-, - ) y (, - ).. Qedaría del sgente modo: Sea el complejo = a + b. a b a a b b b S módlo es a b b S arg mento tg ( es el a a opesto del arg mento de ) Gráfcamente el nverso de se obtene por na homoteca de raón. Los vértces de la fgra se obtenen de la sgente expresón: k y ánglo (- arg ). 0º 0º 0º K 0º 0º K 0º ; 0º ; 00º Calclamos el lado L medante el teorema del eno: L = `+ 0º L =,9. El perímetro mde L = 0,. El área es A L L L =0,. 0

18 MatemátcasI. La solcón qeda: + = 0 0º 0º K 0º º 90º K Los vértces son: ; º ; º ; º º. Sean los complejo (a + b ) y (a b ). El tránglo qe se forma es el de la fgra. Para qe sea eqlátero se debe cmplr qe a b b. b a Para qe s área sea se debe cmplr. Resolvendo el sstema obtenemos: a b b ab a b a ab b Los complejos son: y o y. 9. a) Calclamos el lado L del pentágono medante el teorema del eno: L = `+ º L =,. El perímetro mde L =,. Calclamos la apotema: ap º ap º,. El área es A,, 9, b) Calclamos el lado L del hexágono medante el teorema del eno: L = `+ 0º L =. El perímetro mde L =. Calclamos la apotema: 09

19 MatemátcasI 0., 0º 0º ap ap El área es 0,, A c) Calclamos el lado L del octógono medante el teorema del eno: L = `+ º L =,. El perímetro mde L =,. Calclamos la apotema:.,,º,º ap ap El área es,,, A ACTIVIDADES-PÁG. a) Las solcones de la ecacón = son:,,,, 0, 0 0 y k con k Las sete solcones son: 0 0 0,,,,,,. b) Hallamos las raíces del polnomo, es decr, las solcones de la ecacón 0. Las solcones son: sen sen sen Observamos qe concden con las solcones y de la ecacón =. Los otros factores cadrát con coefcentes reales son:

20 MatemátcasI ( ) ( ) = ( + ) + = ( ) ( ) = ( + ) + = c) La factoracón bscada es: P () = = ( ) Las sete raíces del polnomo P () = están stadas sobre la crcnferenca con centro en el orgen de coordenadas y rado ndad, y son los vértces de n heptágono reglar. Todo lo anteror pede verse en el dbjo. d) Las factoracones de los polnomos P n () = n con n mpar son: P () = = ( ) ( + + ) P () = = ( ) P () = = ( ) P n () = n = ( ) n ( n ) n Las factoracones de los polnomos P n () = n con n par son: P () = = ( ) ( + ) P () = = ( ) ( + ) ( + ) P () = = ( ) ( + ) P () = = ( ) ( + ) ( + )

21 MatemátcasI P n () = n = ( ) ( + ) n ) ( n n e) Las factoracones de los polnomos Q n () = n + con n mpar son: Q () = + = ( + ) ( - + ) Q () = + = ( + ) Q () = + = ( + ) Q n () = n + = ( + ) n n ) ( n n Las factoracones de los polnomos Q n () = n + con n par son: Q () = + Q () = + = Q () = + = Q () = + = Q n () = n + = n n ) ( n n

22 MatemátcasI f) Las raíces de los polnomos P n () = n y Q n = n + están stadas sobre la crcnferenca con centro en el orgen de coordenadas y rado ndad, y son los vértces de polígonos reglares. En los dbjos peden verse las raíces de los polnomos P = y Q = +, respectvamente.