Nociones básicas. Febrero, 2005

Transcripción

1 Febrero, 2005

2 Índice general

3 Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

4 Conjuntos de números IN Z Q IR C Densidad de Q en IR: dados a,b IR, a < b, existe q Q t.q. a < q < b Sea un subconjunto A IR, A φ. Definición Decimos que s IR es cota superior de A si: Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable x s, x A En este caso, decimos que A está acotado superiormente De manera análoga, se dice que i IR es cota inferior del conjunto A si i x, x A, y decimos que A está acotado inferiormente Si un subconjunto de IR está acotado superior e inferiormente, lo llamamos acotado Las cotas superior e inferior no son necesariamente únicas

5 Conjuntos de números Definición Decimos que s IR es supremo de A (supa) si s es cota superior de A y cualquier otra cota superior, s, de A verifica: s s. Decimos que i IR es ínfimo de A (ínfa) si i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i, de A verifica: i i El supremo e ínfimo de A se representan por sup(a) e ínf(a), respectivamente. Si, además, pertenecen al propio conjunto A, se les llama máximo y mínimo: sup(a) A = sup(a) = máx(a) ínf(a) A = ínf(a) = mín(a) Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacío y acotado superiormente. Entonces existe sup(a) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

6 Definición El cuerpo de los números complejos es el conjunto dotado de las operaciones: C = ({(a,b) / a,b IR},+, ) (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad + bc) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Representaciones de un número complejo z: (a,b) = a + ib = z θ i = 1 es la denominada unidad imaginaria z = a 2 + b 2 es el módulo, o distancia al origen θ [0,2π) se denomina argumento

7 Se define e iθ = cosθ + isinθ lo cual permite escribir: Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable z = z e iθ = z (cosθ,sinθ) Dado z = a + ib, z = a ib es el conjugado de z Propiedades: z1 θ1 z 2 θ2 = z 1 z 2 θ1 +θ 2 z1 θ1 / z 2 θ2 = ( z 1 / z 2 ) θ1 θ 2 Sea a IR; entonces a = a + 0i C. Podemos considerar IR C Todo polinomio p(x) = an x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i C tiene n raíces en C

8 Sea x IR. Definición Llamamos valor absoluto de x a la cantidad: x = máx{x, x} Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Es fácil comprobar que: x = { x, si x 0 x, si x < 0 El valor absoluto de un número nos proporciona la distancia de dicho número al origen

9 Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Propiedad Sean x,y IR. x 0 x = 0 x = 0 x + y x + y xy = x y Si C > 0, x C C x x x C

10 Función de variable Sea A IR. Definición La correspondencia f : A IR es una función si a cada x A le corresponde una única imagen f (x) IR Llamamos: dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)} = {x/f (x) IR} imagen: Im (f ) = {y IR/y = f (x) para algún x IR} Definición Sea B A. f es creciente en B si Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable x 1,x 2 B /x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) Análogamente se define función estrictamente creciente, decreciente y estrictamente decreciente

11 Función de variable Sean A,B IR y sea f : A B. Definición Decimos que f es inyectiva si: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Definición Decimos que f es sobreyectiva si: Im (f ) = B Definición Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez

12 Función de variable Definición Decimos que una función f es par si f (x) = f ( x), y decimos que es impar si f (x) = f ( x) Son funciones elementales las siguientes: polinómicas: p(x) = an x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i IR p racionales:, donde p y q son polinomios q trigonométricas: sin, cos, tan,... trigonométricas inversas: arcsin, arccos,... exponenciales: a x, a > 0 logarítmicas: loga x, a > 0 potenciales: x a, a > 0 Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

13 Límite de una función en un punto Sea f : (a,b) IR. Definición Decimos que l IR es límite de f en x 0 (a,b) si: ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε Se representa por lím x x0 f (x) = l. Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

14 La definición de límite se extiende a los casos x 0 = ± y l = ±. Por ejemplo: lím f (x) = M > 0 δ > 0 x x 0 / 0 < x x 0 < δ = f (x) > M / lím f (x) = M > 0 C < 0 x < C = f (x) > M x Propiedad El límite de una aplicación en un punto, si existe, es único. Propiedad Supongamos que lím x x0 f (x) = l 1 y lím x x0 g(x) = l 2. Entonces, lím (f (x) + g(x)) = l 1 + l 2 x x 0 lím (f (x)g(x)) = l 1 l 2 x x 0 ( ) f (x) lím = l 1 si l x x 0 g(x) l Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

15 Decimos que la función f tiene: una asíntota horizontal en y = l si: lím x ± f (x) = l una asíntota vertical en x = x 0 si: lím x x0 f (x) = ± f (x) una asíntota oblicua si: lím = m y lím (f (x) mx) = n; x ± x x ± la ecuación de la asíntota es: y = mx + n si: Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

16 Sea f : (a,b) IR, x 0 (a,b). Definición Decimos que la aplicación f es continua en x 0 si y sólo si: ε > 0, δ > 0 tal que x 0 x < δ = f (x 0 ) f (x) < ε o bien, teniendo en cuenta la definición de límite, si lím x x0 f (x) = f (x 0 ). Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

17 En caso de no cumplir la condición anterior, decimos que f es discontinua en x 0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos: evitable: lím x x0 f (x) f (x 0 ), esencial: no existe el límite de f en x 0, porque: lím f (x) lím f (x) x x0 x x 0 + alguno de los límites laterales (o ambos) no existe Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

18 Propiedad Si f,g : (a,b) IR son funciones continuas en x 0 (a,b), (f ± g) y (f g) son continuas en x0 si g(x0 ) 0, entonces f g es continua en x 0 Propiedad La composición de funciones continuas es una función continua. Además, si f y g son funciones tales que lím x x0 f (x) = l y g es continua en l, entonces lím x x 0 g(f (x)) = g(l) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Definición Diremos que f : [a,b] IR es continua en [a,b] si y sólo si es continua en todos los puntos de (a,b), continua en a por la derecha y en b por la izquierda.

19 Teorema de Bolzano Teorema (de Bolzano) Sea f : [a, b] IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0. Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

20 Teorema de Weierstrass Teorema (de Weierstrass) Si f : [a,b] IR es continua, entonces f alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo [a,b], es decir, existen x 1,x 2 [a,b] tales que: f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [a,b] Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

21 Derivada Sea f : (a,b) IR. Definición Se dice que f es derivable en el punto x 0 (a,b) si existe el siguiente límite: f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lím = lím, x x 0 x x 0 h 0 h en cuyo caso, dicho límite se representa por f (x 0 ). Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

22 Como estamos hablando de límites, podemos diferenciar límite por la izquierda y por la derecha: f (x 0 ) y f +(x 0 ), respectivamente. = f es derivable en x 0 si y sólo si f (x 0 ) = f +(x 0 ). Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Definición Si f es derivable en x 0, la recta tangente a f en x 0 es la recta de ecuación y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Propiedad Si f es derivable en x 0, entonces f es continua en x 0. El recíproco no siempre es cierto.

23 Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en x 0 y g es derivable en f (x 0 ). Entonces (g f ) es derivable en x 0 y (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Derivada de la función inversa Sea f una función derivable en x 0 y tal que f (x 0 ) 0. Entonces f 1, si existe, es derivable en f (x 0 ) y ( f 1) (f (x0 )) = 1 f (x 0 ), lo que equivale a ( f 1) 1 (y0 ) = f (f 1 (y 0 )).

24 Derivadas sucesivas Definición Sea f : (a,b) IR una función derivable en todos los puntos de (a,b). Definimos la función derivada como: f : (a,b) IR x f (x) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Dado x 0 (a,b) se define: f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lím, k 0 h si este límite existe y es finito. En este caso, se dice que f es derivable dos veces en x 0. En general, una vez que se tiene f (n) : (a,b) IR, se define: ( f (n+1) (x 0 ) = f (n)) (x0 )

25 Definición Diremos que f es de clase n en (a,b), y se representa por: f C n (a,b) si existe la derivada n ésima de f en (a,b) y es continua. Diremos que f C (a,b) si f C n (a,b), n IN. Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Diremos que f C n [a,b], si existe (c,d) [a,b] tal que f C n (c,d).

26 Definición Sea f : (a,b) IR. Diremos que la función f tiene un mínimo local o relativo en x 0 (a,b) si existe r > 0 tal que: f (x 0 ) f (x), x (x 0 r,x 0 + r) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

27 Definición Sea f : (a,b) IR. Diremos que la función f tiene un máximo local o relativo en x 0 (a,b) si existe r > 0 tal que: f (x 0 ) f (x), x (x 0 r,x 0 + r) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

28 Propiedad Sea f : (a,b) IR derivable en x 0 (a,b). Si f tiene en x 0 un extremo relativo, entonces f (x 0 ) = 0. Criterio de la primera derivada Sea f : [a,b] IR una función continua, x 0 (a,b) y existe r > 0 tal que f es derivable en (x 0 r,x 0 ) (x 0,x 0 + r). Si f (x) < 0, x (x 0 r,x 0 ), y f (x) > 0, x (x 0,x 0 + r), entonces f presenta en x 0 un mínimo relativo Si f (x) > 0, x (x 0 r,x 0 ), y f (x) < 0, x (x 0,x 0 + r), entonces f presenta en x 0 un máximo relativo Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

29 Criterio de la segunda derivada Sea f : (a,b) IR con derivada segunda continua en (a,b). Sea x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0. Entonces: si f (x 0 ) < 0, f presenta en x 0 un máximo relativo, si f (x 0 ) > 0, f presenta en x 0 un mínimo relativo. Propiedad Sean f C n (a,b) y x 0 (a,b) tales que f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 y f (n) (x 0 ) 0. Entonces Si n es par y f (n) (x 0 ) < 0, f presenta en x 0 un máximo relativo Si n es par y f (n) (x 0 ) > 0, f presenta en x 0 un mínimo relativo Si n es impar f no tiene extremos relativos en x0 Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

30 Teorema (de Rolle) Sea f : [a,b] IR una función continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0 Consecuencias: Si f tiene n raíces es, f tendrá, al menos n 1 raíces es Si f tiene n raíces es, f tendrá, a lo sumo n + 1 raíces es Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

31 Teorema de Lagrange Funciones es de variable Teorema (del valor medio de Lagrange) Sea f : [a,b] IR una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Existe x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = f (b) f (a) b a Derivación de funciones es de variable

32 Regla de L Hôpital Regla de L Hôpital Sean f, g : (a, b) IR funciones derivables en (x 0 r,x 0 ) (x 0,x 0 + r), con x 0 (a,b) y r > 0. Si f (x) lím f (x) = lím g(x) = 0 y lím x x 0 x x0 x x0 g (x) Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable entonces, f (x) lím x x0 g(x) y lím x x0 f (x) g(x) = lím x x 0 f (x) g (x)

33 Regla de L Hôpital El recíproco no es cierto: f (x) lím x x0 g(x) lím x x0 f (x) g (x) El enunciado del teorema también es válido si: lím f (x) = ± y lím g(x) = ± x x 0 x x0 o cuando calculamos los límites en ± Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable f (x) Si en la expresión lím x x0 g se vuelve a producir una (x) indeterminación del tipo 0 0 ó se puede volver a aplicar l Hôpital (si se verifican las hipótesis) Las indeterminaciones 0,, 0 0, 0 y 1 se pueden reducir a indeterminaciones de tipo l Hôpital

34 Sea f : [a, b] IR una función continua. Definición Decimos que f es convexa en [a,b] si f (x) f (b) f (a) (x a) + f (a), x [a,b] b a Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Definición Decimos que f es cóncava en [a,b] si ( f ) es convexa en [a,b] Definición f tiene un punto de inflexión en x 0 si cambia de cóncava a convexa (o viceversa) en x 0

35 Sea f : [a, b] IR una función continua. Propiedad Sea f : [a,b] IR continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces f es convexa en [a,b] si y sólo si f es creciente en (a,b). Esto equivale a que f 0, si f tiene derivada segunda. Respectivamente, f es cóncava en [a,b] si y sólo si f es decreciente en (a,b) (es decir, si existe derivada segunda, si y sólo si f 0). Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable

36 Derivación implícita Una ecuación F(x,y) = 0 define implícitamente una función f en un intervalo (a,b) si: Funciones es de variable F(x,f (x)) = 0 Por ejemplo, la ecuación: x (a,b) Derivación de funciones es de variable define la función f (x) = x 2 + y 2 = 4 4 x 2 x ( 2,+2)

37 Derivación implícita Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Propiedad Si f es derivable, entonces F también lo es. Como consecuencia, podemos calcular f a partir de F.

38 Derivación implícita Dada la ecuación x 2 + 2y 2 3xy = 0, deseamos calcular y (1,1). Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos: Para x = 1, y = 1, de donde y (1,1) = 1. 2x + 4yy 3y 3xy = y 3 3y = 1 + y = 0, Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Dada la ecuación x 1 + 4y 2 = 1, deseamos calcular y (1,0,5). 4 Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos: de donde y (1,0,5) = 1/ yy = 0 = y = 1 32y

39 Derivación logarítmica Es un caso particular del tema anterior. Funciones es de variable Supongamos que queremos calcular la derivada de la función f (x) = x x. Sea y = x x. Tomando logaritmos: lny = x lnx Derivación de funciones es de variable y derivando: y y = lnx + x x = 1 + lnx de donde: y = y(1 + lnx) = x x (1 + lnx).

40 Derivación Sea una función y = y(x), o una curva, dada por sus ecuaciones s: { x = x(t) t (a,b) y = y(t) Si las expresiones de x e y son derivables con respecto a t, tendremos: y = dy dx = dy/dt dx/dt Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Ejemplos: { x = 4(t sint) y = 4(1 cost) { x = 4sin 2 t + 1 y = 0,5 cost

41 Sea f : [a,b] IR una función que admite derivada n sima. Para x 0 [a,b], definimos el polinomio de Taylor de grado n relativo a la función f y al punto x 0 como: P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! Funciones es de variable Derivación de funciones es de variable Entonces, para todo x (a,b) existe ξ (a,x 0 ) ó ξ (x 0,b) tal que: f (x) = P(x) + f (n+1) (ξ ) (n + 1)! (x x 0) n+1 = P(x) + R n+1 Si x 0 = 0, el polinomio se denomina de McLaurin.

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