Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica Procesos de de obtención de de fórmulas y análisis del error

Transcripción

1 Progrmció y Métodos Numéricos: Itegrció Numéric Procesos de de oteció de de fórmuls y álisis del error Prof. Crlos Code LázroL Prof. Arturo Hidlgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Mrzo, 27 2

2 Progrm Geerliddes Fórmuls de itegrció uméric Fórmuls de itegrció de tipo iterpoltorio Relció etre el orde de exctitud y los putos del soporte e ls fórmuls de itegrció uméric de tipo iterpoltorio. Aálisis del error e ls fórmuls de tipo iterpoltorio Oteció de fórmuls de itegrció uméric Fórmuls gussis. 22

3 Primers expresioes del error Siedo p (x) el poliomio iterpoldor de Lgrge de l fució f(x) sore el soporte {x, x,, x }, se verific f(x) = p (x) + ε f (x) = i= dode (vése el tem de iterpolció): f(x ) L (x) +ε i i f (x) ξ / ε (x) = f ξ (x x ) (+ x f ( x) i ( + )! i= o, equivletemete: ε f(x) = f x,x,...,x,x (x x i) ( )! + i= 23

4 Primers expresioes del error Por tto: Siedo: f(x) dx = p (x) dx + ε(x) dx Fórmul I.N. R ((,)) = f ξ (x x ) dx (+ ( ) + Error R f ((,)) f x i ( )! i= o, equivletemete: R ((,)) = f x,x,...,x,x (x x ) dx + f i ( )! i= 24

5 Otrs expresioes del error Se: f(x) dx c f(x i i) u fórmul de itegrció uméric costruid i= sore u soporte de (+) putos {x,..., x } y co u orde de exctitud m >, (α, β) u itervlo de l rect rel que icluy todos los putos del soporte sí como los extremos del itervlo de itegrció (, ), f(x) u fució de clse C (α, β), h el vlor ddo por h = (-) {θ, θ,, θ } u cojuto de (+) úmeros eteros tles que x i = + q i h (i =,, ) SE VERIFICA QUE el error de itegrció uméric de l fórmul plicd l evlució de f(x) dx está ddo por: k h h k (k R f((,)) = c i i f () k= m+ k! θ k + i= 25

6 Cots del error Se: f(x) dx c f(x i i) u fórmul de itegrció uméric de tipo i= iterpoltorio costruid sore u soporte de (+) putos {x,..., x } y co u orde de exctitud m >, h el vlor ddo por h = (-) p k (x) culquier poliomio de grdo k m SE VERIFICA QUE el error de itegrció uméric de l fórmul plicd l evlució de está cotdo por: f(x) dx R((,)) f h+ c i Supf(x) p(x) k i= x (,) 26

7 f ( x ) d x f ( x ) d x c i f ( x i ) i = Cots del error Se: f(x) dx c f(x u fórmul de itegrció uméric de tipo i i) i= iterpoltorio costruid sore u soporte de (+) putos {x,..., x } y co u orde de exctitud m >, h el vlor ddo por h = (-) f(x) u fució de clse C k ((,)) co k m. SE VERIFICA QUE el error de itegrció uméric de l fórmul f(x) dx k+ h (k+ R((,)) f h+ c i Supf (x) i= (k )! 2 x (,) plicd l evlució de está cotdo por: k+ 2 h h (k+ R((,)) f Supf (x) x (,) (k + )! 2 + Si demás o es egtivo igú peso c i u cot de error es 27

8 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric A) EL USO DE INTERVALOS DE REFERENCIA Permite simplificr los cálculos B) MEDIANTE INTEGRACIÓN DEL POLINOMIO INTERPOLADOR C) MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS D) COMBINANDO DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR Métodos equivletes 28

9 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci x =F(ξ) Itervlo de itegrció x ξ α β Itervlo de refereci β α x = F ( ξ ) = + ξ β α β α dx = dξ β α Supoemos coocid l fórmul: β α ξ ξ γi ξi i= g( ) d g( ) 29

10 Oteció de fórmuls de itegrció uméric: Itervlos de refereci x f(x) dx = dx = = F ( ξ) d ξ = f(f( ξ)) dξ β α β α = F( α) β = F() Llmdo: g(ξ) = f(f(ξ)) = f F(ξ) β α β g( ) d i ξ ξ γ g ξi = γi ξi β α β α α i= i= β α ( ) f F( ) f(x) dx = ( ) Pesos e el itervlo (, ) c i x i Asciss de itegrció e (, ) 3

11 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci x =F(ξ) ξ ξ i ξ ξ α β Itervlo de refereci x x i x Itervlo de itegrció β α x = F ( ξ ) = + ξ β α β α dx = dξ β α x Supoemos coocid l fórmul: β α ξ ξ γi ξi i= g( ) d g( ) Oteemos e (, ) l fórmul: f(x) dx c i g(x i) i= 3

12 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci INTERVALOS DE REFERENCIA HABITUALES (α, β) = (-, ) + xi = F 2 2 c i = γi 2 ( ξ) = + ξi (α, β) = (, ) i ( ξ ) = + ξi x = F ( ) ( ) i c = γ i 32

13 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci Error de itegrció e (, ) prtir de l expresió del error e (α, β): ( ) R((,)) = f f (x) dx c f(x ) = f(f( ξ)) d ξ γi f(f( ξi)) = ( ) g ( β α) R((,)) ( β α) i i i= α i= β g(ξ) g(ξ ι ) 33

14 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci - Ejemplo E el itervlo [, ] l fórmul del trpecio está dd por: ϕ( ξ) dx ϕ () + ϕ() 2 2 U cot del error que co ell se comete, si ϕ(ξ) es de clse C 2 ((,)), está dd por: ϕ "( ξ) ξ (,) / Rϕ = 2 Se pide: ) Oteer l fórmul y l cot del error e u itervlo (, ) geérico 6 ) Aplicrl l cálculo proximdo de: dx x 4 34

15 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci - Ejemplo ) x = F(ξ) = + (-) ξ dx = F (ξ) dξ = (-) dξ ξ x = F() = x = F() = x ( ) ( ) f(x) dx = f( + ( ) ξ) ( ) dξ f() + f() 2 2 Aplicdo l fórmul e (,) Fórmul e (, ) 35

16 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci - Ejemplo x = F(ξ) = + (-) ξ dx = F (ξ) dξ = (-) dξ ξ x = F() = x = F() = x ( ) ( ) R((,)) f = R((,)) g = f"( + ( ) ξ) ( ) ( ) 2 f (x*) (-) 2 Luego: R((,)) f = ( ) 2 3 f"(x*) 36

17 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itervlos de de refereci - Ejemplo ) Aplicció l cálculo de dx x x = 4 + (6-4) = 4 x = 4 + (6-4) = 6 c = (6-4)/2 = c = (6-4)/2 = f = f(4) = /4 f = f(6) = /6 Vlor prox.: Vlor excto: 4 dx + = x dx = l(3) l(2) x Difereci.2,,, Error: R f ((4,6) = (2 3 /2) (2 (x*) -3 ) (2/3) =

18 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itegrció del del poliomio iterpoldor f(x) = f(x ) L ( x) + E( x) i= i i f f(x) dx L (x) dx f(x ) Ef ( x) dx = i i + i= c i R f ((,)) Puede oteerse de est mer fórmuls e u itervlo cómodo y posteriormete geerlizrls itervlos culesquier. 38

19 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itegrció del del poliomio iterpoldor-ejemplo ) Oteer u fórmul de itegrció de tipo iterpoltorio sore el itervlo [-, ] y soportd e ls sciss {-,, }. ) Geerlizr l fórmul terior u itervlo geérico (, ) 6 c) Aplicrl l cálculo proximdo de: dx x Solució: ) ξ ( ξ ) ( ξ + ) ( ξ ) ( ξ + ) ξ ϕ(x) ϕ( ) + ϕ () + ϕ () = ( ) ( 2) () ( ) (2) () = ( ξ ξ) ( ϕ ) + ( ξ () ) ϕ + ( ξ + ξ) () ϕ = p() ξ

20 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itegrció del del poliomio iterpoldor-ejemplo ϕ( ξ) d ξ ξ ξ d ξ ϕ( ) + ξ d ξ ϕ ( ) + ξ + ξ d ξ ϕ() ( ) ( ) ( ) /3 4/3 /3 4 ϕξ ( ) d ξ ϕ ( ) + ϕ () + ϕ()

21 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itegrció del del poliomio iterpoldor-ejemplo ) Geerlizr l fórmul terior u itervlo geérico (, ) x = F(ξ) = ½(+)+½(-) ξ dx = F (ξ) dξ = ½(-) dξ ( + ) ( ) Aplicdo l f(x) dx = f( + ξ) ( ) dξ fórmul e (-, ) ( ) 4 + f() + f + f() = ( + = ) f() + 4 f + f() Fórmul de Simpso ξ x =F(-)= x =F()=½(+) ½(+) x x 2 =F()= 4

22 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Itegrció del del poliomio iterpoldor-ejemplo c) Aplicció l cálculo proximdo de: dx x x = F(-)= 4 x = F() = 5 x 2 = F() = 6 c = (6-4)/6 = /3 c = 4 (6-4)/6 = 4/3 c 2 = (6-4)/6 = /3 f = f(4) = /4 f = f(5) = /5 f 2 = f(6) = /6 Vlor prox.: Vlor excto: dx + + = x dx = l(3) l(2) x V. Excto V. proximdo = (cie veces meor que el cometido co l fórmul del trpecio e este cso) 42

23 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos Recordtorio: Tod fórmul de tipo iterpoltorio costruid sore (+) putos es Exct, l meos, pr todo poliomio de grdo meor o igul que E cosecueci, es exct pr, x, x 2,., x. Aplicdo l fórmul de itegrció uméric estos moomios, se tiee: k+ k+ k k ci xi = x dx = (k =,,.) i= ( k + ) Sistem de (+) ecucioes lieles co (+) icógits (los pesos c i ) cuy resolució os proporcio l fórmul uscd 43

24 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos Recordtorio: El error e ls fórmuls de tipo iterpoltorio tiee u expresió de l form: m+ 2 (m+ m+ R f ((,)) = K ( ) f ( ξ) f C ((,)) dode m es el orde de exctitud de l fórmul. Aplicdo l fórmul de itergció uméric l moomio x m+ se tiee: m+ m+ i i m+ 2 i= x dx = c x + K ( ) (m + )! K = x dx c x (m + )! ( ) m+ m+ i i i= m+ 2 44

25 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos -Ejemplo ) Oteer u fórmul de itegrció de tipo iterpoltorio sore el itervlo [, ] y soportd e ls sciss { /3, 2/3}. ) Geerlizr l fórmul terior u itervlo geérico (, ) 6 c) Aplicrl l cálculo proximdo de: dx x 4 Solució: ) Al her 2 putos e el soporte, l fórmul es exct de orde, l meos,. Apliquémosl los moomios {, x}: c + c = dx = c c x dx = = Luego: f(x) dx f ( ) + ( 2 ) f 3 c = c = /2 45

26 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos. Ejemplo. Determició de l expresió del error de l fórmul. Apliquémosl A l fució x 2 (cuy 2ª derivd es 2) : ( 3 ) c ( ) K ( ξ) c f + f + ( ) f" = f(x) dx ( ) 2 ( ) K ( ) 2 = x dx = 3 K = / 36 Luego: R((,)) = f "( ) 36 f ξ 46

27 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos. Ejemplo. ) Geerlizció u itervlo geérico: x = F(ξ) = + (-) ξ dx = F (ξ) dξ = (-) dξ ξ x = F(/3) /3 2/3 (2+)/3 (2+)/3 x = F(2/3) x ( ) 2 + ( ) + 2 f(x) dx = f( + ( ) ξ ) ( ) dξ f + f Aplicdo l fórmul e (,) Fórmul e (, ) 47

28 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos. Ejemplo. x = F(ξ) = + (-) ξ ξ x = F(/3) /3 2/3 (2+)/3 (2+)/3 x = F(2/3) x ( ) ( ) R((,)) f = R((,)) g = f"( + ( ) ξ) ( ) ( ) 36 f (x*) (-) 2 Luego: R((,)) f = ( ) 36 3 f"(x*) 48

29 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Método de de coeficietes idetermidos. Ejemplo. c) Aplicció l cálculo proximdo de: dx x 4 Vlor proximdo: x = ( ) / 3 x = ( ) / 3 6 (6 4) 45 dx + = x Vlor excto: dx = l(3) l(2) x 4 Error: V. Excto V. proximdo = Estimció del error medite l fórmul: 3 (6 4) R / x((4,6)) = (/ x)" = (6-4) 3 2 (x*) -3 / 72 = 4 (x*) -3 / 9 x= x* 36 R f ((4,6) < 4 (4) -3 / 9 =

30 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. Se z u puto culquier del itervlo [, ]. z x x x i x j x Si f es suficietemete regulr, deotdo por F u primitiv de F (por lo que F (i+ (x) = f(x) ), se tiee que: f(x) dx = F( ) F( ) = F( z + ( z )) F( z + ( z )) = = F( z) + F ( ) F( ) F ( ) = i i ( z) (i ( z) (i z z z i= i! i= i! ( z) ( z) = i! i= + i + i + ( i f ( z) 5

31 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. z x x x i x j x Por otr prte e l fórmul uscd se tiee que: f( x ) dx c f( x ) = c f( z + ( x z)) = j j j j j= j= i i (x j z) (x (i j z) (i = c j f ( z) c j f ( z) j= i= i! = i= j= i! 5

32 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. z x x x i x j x i+ i+ ( z) ( z) (i Vexc = f ( z) i +! V prox i= i (x j z) (i = c j f ( z) i= j= i! Comprdo los primeros (+) térmios o ulos de mos desrrollos: i+ i+ i ( z) ( z) (x j z) = c j (i =,,...) i +! i! j= Pudiedo formrse u sistem de (+) ecucioes co (+) icógits (los pesos de l fórmul c i ). 52

33 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. z x x x i x j x θ H θ i H H θ j H θ H Deotdo por H l logitud de [, ] puede expresrse culquier puto del soporte como x j = z + θ j H (i =,, ) dode -<θ j <. Aálogmete: = z + θ H y = z + θ H. Co est otció: 53

34 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. i+ i+ i ( z) ( z) (x j z) = c j (i =,,...) i +! i! j= θ i i θ θj H H = c j (i =,,...) i +! i! i+ i+ i+ j= j= θ θ i+ i+ i i c j θ j = H (i =,,...) (i + ) Sistem de (+) ecucioes co (+) icógits (los pesos de l fórmul c i ). 54

35 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. El procedimieto terior permite plter u sistem que proporcioe los coeficietes de l fórmul uméric uscd. U vez coocidos los coeficietes, coicidirá los m primeros térmios del desrrollo e serie de V exc y de V prox, siedo el orde de exctitud de l fórmul (m+). Si l fució f es de clse C m+ ((,)) el error de l fórmul tiee l expresió: m 2 m 2 m+ + + θ θ θ m 2 j + m+ (m+ R((,)) f = H c j H f ( ξ) (m + 2)! j= (m + )! dode ξ es lgú puto de (, ). 55

36 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor. COMENTARIOS: ) Es frecuete plter este método e los itervlos de refereci [, ] o [-, ] pr después geerlizr ls fórmuls itervlos geéricos. ) Es hitul tomr como puto z lguo de los extremos del itervlo de itegrció (z = ó z = ) o el puto medio de dicho itervlo (z = (+)/2 ). E esos csos o θ = y θ =, o θ = - y θ =, o θ = -½ y θ = ½. Ello simplific ls expresioes teriores. 56

37 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor-Ejemplo ) Oteer u fórmul de itegrció de tipo iterpoltorio sore el itervlo [-, ] y soportd e ls sciss {, /2, }. ) Geerlizr l fórmul terior u itervlo geérico (, ) c) Aplicrl l cálculo proximdo de: SOLUCIÓN: V exc = f(x) dx = F( ) F( ) = ' " ''' (iv ( v ( vi = F( ) + F ( ) + F ( ) + F ( ) + F ( ) + F ( ) + F ( ) +... F( ) 2 3! 4! 5! 6! ''' (iv ( v = f() + f'() + f "() + f () + f () + f () ! 4! 5! 6! 6 4 dx x 57

38 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor-Ejemplo V prox = c f( ) + c f( ) + c f ( ) = 2 2 ''' (iv (v = c f() + c f() + f'() + f "() + f () + f () + f () ! 2 4! 2 5! ! 4! 5! ''' (iv ( v c2 f() f'() f "() f () f () f ()... = f() (c + c + c 2 ) + f () ( ½ c + c 2 ) + f () ((/8)c + ½c 2 ) + + f () ((/48)c + (/6)c 2 ) + f (iv () ((/384)c +(/24) c 2 ) + + f (v () ((/384)c + (/2)c 2 ) + 58

39 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor-Ejemplo Iguldo los coeficietes de f() e V exc y V prox : c + c + c 2 = (ec. ª) Iguldo los coeficietes de f () e V exc y V prox : ½ c + c 2 = ½ (ec. ª) Iguldo los coeficietes de f () e V exc y V prox : (/8) c + ½ c 2 = /6 (ec. 3ª) De ls ecucioes ª, 2ª y 3ª se tiee que: c = /6, c = 2/3, c 2 = /6 59

40 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor-Ejemplo f( ξ) d ξ f ( ) + 4 f ( 2 ) + f() 6 Determició del error: ( ) V exc = ! 4! 5! 6! ''' ( iv ( v f() f'() f "() f () f () f ()... V prox = f()+ ½ f () + (/6) f () + (/24) f () + (5/576) f (iv () + Error = V exc -V pr = ( (/5!)-(5/576) ) f (iv () +. = = + = ξ (iv (iv f ( )... f ( *) 6

41 Oteció de de fórmuls de de itegrció uméric: Comido desrrollos e e serie de de Tylor-Ejemplo ) Se dej los detlles como ejercicio propuesto. ( ) (+ ) f(x) dx f ( ) + 4 f ( 2 ) + f() 6 ( ) (iv R((,) f = f (x*) ( ) c) Ver el tercer prtdo del ejemplo relizdo e el método de itegrció del poliomio iterpoldor 6

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