1 (a) Cortes con los ejes. (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Máximos y mínimos, si los hay.
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- Jesús Figueroa Martín
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1 1 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T ( t) 40t 10t con 0 t 4 a) Represente gráficamente la función T determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en su punto de infleión. 3. Dada la curva, se pide: (a) Cortes con los ejes. (b) Intervalos de crecimiento decrecimiento. (c) Máimos mínimos, si los ha. 4. Dada la curva, se pide: (a) Cortes con los ejes. (b) Intervalos de crecimiento decrecimiento. (c) Máimos mínimos, si los ha. 5. Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.
2 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función, donde es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años C a) Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad? 7. Sabemos que la función tiene un máimo en el punto (3,8). f a + b a) Halla los valores de a b. b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f() en el punto de abscisa Sea la función. Determínese a, b c de modo que f() tenga un etremo relativo en 0, la recta tangente a la gráfica de f() en 1 sea paralela a la recta -40, el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX las rectas 0, 1, sea igual a 1. 3 f + a + b + c 9. Calcular la base la altura del triangulo isósceles de perímetro 8 área máima. 10. Dada la función, se pide: f 1 a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P( a, f ( a )), donde 0<a<1. b) Hallar los puntos A B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a (0,1) para el cual la distancia entre el punto A el punto P( a, f ( a )) es el doble de la distancia entre el punto B el punto P( a, f ( a ))
3 3 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de Del polinomio se sabe que su recta tangente en el punto 1 es paralela a la recta 7-3 también se sabe que tiene un punto etremo en -1. Con estos datos hallar A B razonar si con dichos valores P() tiene algún otro etremo además del correspondiente al punto Sea la función: 3 f + A + B f ( 1)( ) a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en -3. b) Calcula sus máimos, mínimos puntos de infleión. 13. Sea la función, con a un parámetro real. f e a a) Calcular los valores del parámetro a para que f() tenga un máimo o un mínimo en 3. Para esos valores del parámetro decir si 3 es máimo o mínimo. b) Para a - escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad conveidad de f(). 14. Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 3 euros por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? 15. Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo. 16. Determinar el punto de infleión de abscisa positiva de la curva de ecuación.
4 4 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máima superficie interior posible. a) Qué longitud deben tener los postes el larguero? b) Qué superficie máima interior tiene la portería? 18. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m 3 de volumen, que tenga superficie mínima. 19. Se considera la función. Se pide: a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica f() en el punto de abscisa 3 b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica f() que sea paralela a la que hemos hallado. Razona la respuesta, en caso afirmativo, halla la ecuación. 0. Consideramos la función donde a es un parámetro. 1+ a + 6
5 5 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de 010 a) Calcula el valor del parámetro a sabiendo que f() tiene un etremo relativo en el punto de abscisa 3. b) Se trata de un mínimo o un máimo? Razona la respuesta. 1. La función de coste total de producción de unidades de un determinado producto es , Q 100 C a) Se define la función de coste medio por unidad como Q(), cuántas unidades o son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? b) Qué relación eiste entre Q( o ) C ( o )?. La función pasa por el punto (-1,0) tiene un máimo en el punto (0,4). Halla: 3 + a b + c a) La función. b) El mínimo. c) El punto de infleión. 3. Demuestra que la función corta al eje OX en el intervalo (-1,1) tiene un máimo relativo en ese mismo intervalo. + e 4. Halla las derivadas de las siguientes funciones simplifica el resultado: i ) ( ln sin ) ii ) ln
6 6 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I(), mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G() donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: I G a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Justificar que es máimo. c) El beneficio máimo. 6. Encontrar razonadamente el punto de la curva en el que la tangente a la curva tiene pendiente máima calcular el valor de esta pendiente En un plano el trazado de una carretera discurre según la función, siendo un río el eje OX. En el terreno entre el río la carretera ha un pinar. Si epresamos las distancias en kilómetros, cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60 euros? 4 8. Sea la función. Determinar: + 1
7 7 de 7 TALLER 0 DE APLICACIONES DE Manizales, 05 de Septiembre de 010 a) Cortes con los ejes. b) Intervalos de crecimiento decrecimiento. c) Máimos mínimos, si los ha. 9. La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 10. Hallar: Los números que verifican estas condiciones cuo producto es máimo. 30. Sea la función: f + a a) Calcula el valor de a para que f tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) cuando. b) Para ese valor de a, calcula todos los etremos relativos, los intervalos de crecimiento de decrecimiento, los puntos de infleión de f. Dibuja la gráfica de la función. c) Es posible encontrar algún valor a tal que sea creciente en todo su dominio? Justifica tu respuesta. 31. En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: f Siendo el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar: a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. b) El número máimo de personas afectadas. c) Los intervalos de crecimiento decrecimiento de la enfermedad. 3. Determinar la maor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuo lado maor mida 1 metro.
1 de 7 Manizales, 08 de Octubre de 010 1.- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T t t t con
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