2x 1. (x+ 1) e + 1 2x. 3.- Derivabilidad de una función. 6x 5, si2 x 4

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 7.- FUNCIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES (PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ) Cálculo d drivadas Hall la drivada d las siguints funcions: a) f() c) g(). L() d) h() ( ) ( + ) ) p() 7 + b) g() ( ). L f) h() + 5 g) h( ) h) h( ) L i) f( ) j) h( ) 4 5+ k) ( + ) i( ) l) h( ) Dada la función g(), calcul g () Hall la función drivada: a) g() ( + ) b) f() ( ) c) h() ( + ). ( 5 6) 6 d) i() ( 6) ( + ) 6 ) h( ) ( + 5 ) + ln. 5 f) f() + ( ) g) f() (5 ) h) h() 5 i) f( ) ln(5 ) j) h(). k) f() ( + ). 7 l) f( ) 5 m) f( ) 4 n) g() 4 L( + ) ñ) g() ( ) L( ) + + o) g() (+ ) + ( 5) p) f( ) 5 q) h( ) + r) h() 5 + s) f() 5 t) g( ) 5 u) f( ) + v) f( ) + { w) g( ) ln (+ ) ) } f( ).ln( 5) y) g( ) (+ ).ln( + ) z) g() + ( ) 4 Para cada función calcul las drivadas qu s pidn: a) g() + L( + ), g () b) f() ( ) ln( 4 ) f ( ) c) g(), g () d) g() ( + 9), g (4) ) h() L( + ), h (0) 5 Considrmos la función.- Drivabilidad d una función + 6 5, si 4 f( ) +, si4 < 5 a) Estudi la drivabilidad d la función f() n l punto d abscisa 4. b) Rprsnt gráficamnt la función f() indiqu dónd alcanza su máimo y su mínimo absolutos. Cuál s l valor dl máimo? Y dl mínimo?

2 6 S considra la función dada por a) Estudi la continuidad y la drivabilidad d f. si 0 + f( ) si > 0 b) Hall las cuacions d las asíntotas d sta función. si 7 Sa la función f( ) 4+ 5 si > a) Estudi la continuidad y drivabilidad d la función. b) Rprséntla gráficamnt. 8 Sa la función ral d variabl ral +, si < f( ), si a) Rprsnt gráficamnt la función. b) Estudi la continuidad d la función. 9 Sa la función c) Estudi la drivabilidad d la función. + si <, 0 f( ), si 0 + a) Analic la continuidad y la drivabilidad d la función n su dominio. b) Dtrmin la asíntota horizontal, si la tin. c) Dtrmin la asíntota vrtical, si la tin. 0 Sa la función, si 0 f( ), si > 0 +. Estudi su continuidad y su drivabilidad. Sa la función f, dfinida por f( ) a+ si < + b, si 0 5, 0 Dtrmin los valors qu han d tomar a y b para qu la función f sa drivabl n 0 a + si Sa la función f ( ). b 4 si > Dtrmin los valors d a y b, para qu la función f sa drivabl n. Dtrmin los valors qu han d tomar a y b para qu la función + a 7 si < f ( ) sa drivabl n R. 4 b si 4 Sa la función, si f + 8 5, si > ( ) a+, si< a) Calcul l valor d a para qu f sa continua n. b) Para a studi la continuidad y la drivabilidad d f Página

3 5 Sa la función f() 6 Sa la función f() + a + b+, si, si 0 > 0 Hall a y b para qu la función sa continua y drivabl. k, si > , si 0 a) Calcul l valor d k para qu la función f sa continua n 0. Para s valor d k, s f drivabl n 0? b) Para k 0, calcul lim f() y lim f() 7 Sa la función f() + + >,si 0 a, 0 a) Para a rprsnt gráficamnt la función f, indiqu sus trmos rlativos. b) Dtrmin l valor d a para qu la función f sa drivabl. 4.- Ecuación d la rcta tangnt 8 Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f( ) punto d abscisa. 9 Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función d abscisa 0. + g ( ) n l punto 0 Calcul la cuación d la rcta tangnt a la función g() +, n l punto d abscisa Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función g() n l punto d abscisa 0. Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función abscisa f( ) n l punto d Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función g() l punto d abscisa. n 4 Dada la función g() 4 4, calcul la cuación d la rcta tangnt a su gráfica n l punto + 4 d abscisa 0. ( + ), si 5 Sa la función f( ) 4, si > a) Estudi la continuidad y drivabilidad d la función n su dominio. b) Dtrmin sus asíntotas, n caso d qu istan. c) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa Página

4 , si 6 Sa la función f( ) 6+ 6, si > a) Estudi la continuidad y la drivabilidad d la función. b) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f() n l punto d abscisa 0 7 Sa la función f : R R dfinida mdiant, si 0 f( ) +, si > 0 a) Es f continua n 0? Es continua n su dominio? b) Es f drivabl n 0? Es drivabl n su dominio? c) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. 8 Sa la función, si f( ) 6+ 8, si > a) Estudi la continuidad y la drivabilidad d la función f b) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa., si 9 Sa la función f: R R dfinida por f() + m+ 5, si > a) Calcul m para qu la función sa continua n. b) Para s valor d m, s drivabl la función n? c) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n 0. 0 Sa la función f dfinida por f() si 0 + > si 0 a) Estudi la continuidad y la drivabilidad d f b) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa si Sa la función f( ) a+ b si > a) Calcul a y b, sabindo qu f () 7 y qu f s continua n. b) Dtrmin la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa Página 4

5 5.- Monotonía y trmos d una función En una mprsa han hcho un studio sobr la rntabilidad d su invrsión n publicidad, y han llgado a la conclusión d qu l bnficio obtnido, n mils d uros, vin dado por la prsión B() , sindo la invrsión n publicidad, n mils d uros, con n l intrvalo [ 0, 0 ] a) Para qué valors d la invrsión la mprsa tin pérdidas? b) Cuánto tin qu invrtir la mprsa n publicidad para obtnr l mayor bnficio posibl? c) Cuál s l bnficio si no s invirt nada n publicidad? Hay algún otro valor d la invrsión para l cual s obtin l mismo bnficio? Un almacnista d frutas ha stimado qu l bnficio qu l produc cada kilogramo (kg) d frsas dpnd dl prcio d vnta d acurdo con la función B() + 4, sindo B() l bnficio por kg y l prcio d cada kg, ambos prsados n uros. a) Entr qué prcios s producn bnficios para l almacnista? b) Qué prcio maimiza los bnficios? c) Si tin n l almacén 0000 kg d frsas, cuál srá l bnficio total máimo qu podrá obtnr? 4 Un studio acrca d la prsncia d gass contaminants n la atmósfra d una ciudad indica qu l nivl d contaminación vin dado por la función: C(t) 0.t + 4t + 5, 0 t 5 (t años transcurridos dsd l año 000). a) En qué año s alcanzará un máimo n l nivl d contaminación? b) En qué año s alcanzará l nivl d contaminación cro? ) Calcul la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d la función C(t) n t 8. Intrprt l rsultado antrior rlacionándolo con l crciminto o dcrciminto. 5 Las funcions I(t) t + 5t G(t) t t + 96, 0 t 8 rprsntan, rspctivamnt, los ingrsos y gastos d una mprsa, n mils d uros, n función d los años, t, transcurridos dsd su inicio y n los últimos 8 años. a) Para qué valors d t, dsd su ntrada n funcionaminto, los ingrsos coincidiron con los gastos? b) Dtrmin la función qu rflj los bnficios (ingrsos mnos gastos) n función d t y rprséntla gráficamnt. c) Al cabo d cuántos años, dsd su ntrada n funcionaminto, los bnficios furon máimos? Calcul l valor d s bnficio. 6 Tras un tst ralizado a un nuvo modlo d automóvil, s ha obsrvado qu l consumo d gasolina, c(), prsado n litros, vin dado por la función c() , sindo la vlocidad n km/h y 5 75 a) Dtrmin l consumo d gasolina a las vlocidads d 50 km/h y 50 km/h. b) Estudi l crciminto y dcrciminto d la función c() c) A qué vlocidads d s intrvalo s obtin l mínimo consumo y l máimo consumo y cuáls son éstos? Página 5

6 7 El bnficio d una mprsa, n mils d uros, vin dado por la función B() , 0, dond rprsnta l gasto n publicidad, n mils d uros. a) Calcul l gasto a partir dl cual la mprsa no obtin bnficios. b) Calcul l valor d qu produc máimo bnficio. Cuánto s s bnficio? c) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto dl bnficio d la mprsa. d) Rprsnt gráficamnt la función B. 8 El valor, n mils d uros, d las istncias d una mprsa n función dl timpo t, n años, vin dado por la función f (t) 4t + 60t 5, t 8. a) Cuál srá l valor d las istncias para t? Y para t 4? b) Cuál s l valor máimo d las istncias? En qué instant s alcanza? c) En qué instant l valor d las istncias s d 85 mils d uros? 9 Sa la función f( ). Calcul: a) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto. b) Las coordnadas d sus trmos rlativos. c) El punto d la gráfica n l qu la pndint d la rcta tangnt a dicha gráfica s Hall los intrvalos d monotonía y los trmos rlativos d la función dfinida por g() Calcul los trmos rlativos d la función g(). 4 Una mprsa ha ralizado un studio sobr los bnficios, n mils d uros, qu ha obtnido n los últimos 0 años. La función a la qu s ajustan dichos bnficios vin dada por B(t) t 6t + 6t 6, 0 t 0 a) Qué bnficios obtuvo al inicio dl priodo (t 0) y al final dl décimo año (t 0) b) En qué momntos s obtin l máimo y l mínimo bnficio y cuáls furon sus cuantías? 4 S considra la función dfinida por f() + + > 8 6,si 8 6,si a) Estudi la continuidad y drivabilidad d f b) Rprsnt la gráfica d f c) Indiqu los trmos rlativos d la función. 44 Sa la función, si < f( ) +, si, si > a) Estudi la continuidad y drivabilidad d f() n su dominio. b) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto. c) Calcul los trmos rlativos. Página 6

7 + 4, si < 4 45 Sa la función f( ), si < 4 4+, si 4 a) Estudi la continuidad y la drivabilidad d f. b) Dtrmin los trmos locals d f. c) Calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa. 46 Considrmos la función si f(). si > a) Estudi su continuidad y drivabilidad. b) Dtrmin la monotonía d f. c) Rprsnt gráficamnt sta función. 47 El bnficio, n mils d uros, alcanzado n una tinda d ropa l pasado año, t t+ 5 si 0 t 6 8 vin dado por la función B(t) prsada a continuación Bt () t+ si 6< t t s l timpo transcurrido n mss. a) Estudi la drivabilidad d la función al cabo d 6 mss., b) Cuándo fu mínimo l bnficio? Cuál fu dicho bnficio? c) Rprsnt gráficamnt la función B(t). Cuándo fu máimo l bnficio? A cuánto ascndió? 48 Sa f() una función cuya función drivada, f (), tin por gráfica una parábola qu corta al j OX n los puntos (,0) y (5, 0) y con vértic (, 4) a) Estudi razonadamnt la monotonía d f(). b) Dtrmin las abscisas d los trmos rlativos d la función f(). c) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f() n l punto d abscisa, sabindo qu f() D una función f s sab qu la gráfica d su función drivada, f, s la rcta d cuación y + 4 Estudi razonadamnt la monotonía d la función f, a la vista d la gráfica d la drivada. 50 La gráfica d la función drivada d una función f s la parábola d vértic (0, ) qu corta al j d abscisas n los puntos (, 0) y (, 0). A partir d dicha gráfica, dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f. 5 Sabindo qu la gráfica s la d f () dtrmin la monotonía y trmos rlativos d la función f Página 7

8 5 Sa la función f dfinida por b b+ a, si f( ) 60, si > a) Obtnga los valors d a y b para qu la función sa continua y drivabl. b) Para a 48 y b, studi la monotonía d f() y calcul sus trmos. 5 Sa la función b+, si f( ) + a, si > a) Dtrmin los valors d a y b para qu dicha función sa continua n y, admás, tnga un mínimo n. b) Para a y b 6, dtrmin la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa a si 54 Sa la función f( ). b si > a) Calcul a y b para qu la función sa continua n todo su dominio y prsnt un mínimo n. b) Rprsnt gráficamnt la función para a.5 y b Dada la función f() + a + b, dtrmin los valors d a y b sabindo qu su gráfica pasa por l punto (, ) y alcanza un trmo n. b 56 Hall los valors d a y b para qu la función g( ) a+ tnga un trmo rlativo n l punto (, ) 57 Dtrmin dónd s alcanza l mínimo d la función f() 6 + a. Calcul l valor d a para qu l valor mínimo d la función sa Sa la función dfinida para todo númro ral por f() a + b. Dtrmin a y b sabindo qu su gráfica pasa por l punto (, ) y qu n s punto la pndint d la rcta tangnt s. Si n la función antrior a / y b 4, dtrmin sus intrvalos d monotonía y sus trmos. 59 Dada la función f() a( ) + b, calcul a y b para qu la gráfica d sta función pas por l punto d coordnadas (, ) y tnga un trmo rlativo n l punto d abscisa. 60 S considra la función f() a b + 4. Calcul los valors d los parámtros a y b para qu f tnga un trmo rlativo n l punto (, 0) 6 Dtrmin a y b n la cuación d la parábola y a + b + 5 sabindo qu ésta tin un máimo n l punto (, 9). 6 Sa la función f() + p + q a) Calcul los valors qu dbn tnr p y q para qu la gráfica d la función f pas por l punto ( 4, 5) y prsnt un máimo n l punto d abscisa. Dtrmin l valor d f() n s punto b) Rprsnt la gráfica d f para p, q y hall la cuación d la rcta tangnt a sta gráfica n l punto d abscisa Página 8

9 6 Sa la función f() Curvatura y puntos d inflión d una función a) Hall los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión. b) Obtnga la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f() n l punto d abscisa c) En l punto d abscisa, la función s crcint o dcrcint? 64 Hall los intrvalos d monotonía, los trmos rlativos, los intrvalos d curvatura y los puntos d inflión d la función g() Dada la función f() 4 +, dtrmin: a) La monotonía y la curvatura d f b) Los puntos dond la función alcanza sus trmos rlativos. c) La cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa 66 San las funcions f() 4 + 6, g(). a) Dtrmin, para cada una d llas, los puntos d cort con los js, l vértic y la curvatura. Rprséntlas gráficamnt. b) Dtrmin l valor d para l qu s hac mínima la función h() f() g(). 67 Sa la función f(),si < 0,si 0 a) Dibuj la gráfica d f y studi su monotonía. b) Calcul l punto d la curva n l qu la pndint d la rcta tangnt s. c) Estudi la curvatura d la función. 68 La función drivada d una función f vin dada por f'() + 9. a) Obtnga los intrvalos d monotonía d la función f y los valors d n los qu dicha función alcanza sus trmos locals. b) Dtrmin los intrvalos d concavidad y convidad d la función f. c) Sabindo qu la gráfica d f pasa por l punto (, 5), calcul la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n dicho punto. 69 Sa la función f() + a + b a) Dtrmin los valors d a y b sabindo qu su gráfica pasa por l punto (, ) y alcanza un trmo local n l punto d abscisa b) Tomando a 8 y b 0 dduzca la curvatura d su gráfica, l valor mínimo qu alcanza la función y los valors dond la función s anula. 70 Sa la función g() + a + b. Calcul a y b sabindo qu su gráfica prsnta un punto d inflión n l punto (, 5). 7 Hall los valors d a y b para qu la gráfica d la función f() a b pas por l punto (, ) y tnga l punto d inflión n Página 9

10 7 Sa la función f() Rprsntación gráfica d funcions a) Estudi la monotonía d f y hall los trmos rlativos qu posa. b) Estudi su curvatura y calcul su punto d inflión. c) Rprsnt la gráfica d la función f. 7 Para la función g, dfinida d la forma g() +, dtrmin: su dominio, sus intrvalos d crciminto y dcrciminto y trmos rlativos. Con sos datos haga un sbozo d su gráfica. 74 Sa la función f() 6. a) Dtrmin sus puntos d cort con los js. b) Calcul sus trmos rlativos y su punto d inflión. c) Rprsnt gráficamnt la función. 75 S considra la función f() a) Dtrmin los trmos rlativos d f, studi la monotonía y la curvatura. b) Rprsnt gráficamnt la función f. 76 Sa la función f(). a) Dtrmin la monotonía y los trmos rlativos d f. b) Calcul su punto d inflión. c) Tnindo n cunta los apartados antriors, rprséntla. 77 Sa la función f() +. a) Obtnga la cuación d la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa. b) Hall su punto d inflión. c) Dibuj la gráfica d la función, studiando prviamnt la monotonía y los trmos rlativos. 78 S considra la función f ( ). a) Dtrmin la monotonía y curvatura d la función. + b) Calcul sus asíntotas. c) Rprséntla gráficamnt. 79 Sa la función f( ) a) Hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto (0, ). b) Estudi la monotonía d f. c) Hall las asíntotas, los puntos d cort con los js y rprsnt gráficamnt la función. 80 Sa la función f() + + a) Dtrmin su dominio, puntos d cort con los js, las asíntotas y la monotonía. b) Rprsnt gráficamnt sta función. 8 Los bnficios d una mprsa n sus primros 8 años vinn dados, n millons d uros, t por la función Bt () t + 9 t, 0 t 8 dond la variabl t indica l timpo transcurrido, 4 n años, dsd su fundación. a) Estudi la monotonía y los trmos d B(t). b) Dibuj la gráfica d B(t) n l intrvalo [0, 8] y pliqu, a partir d lla, la volución d los bnficios d sta mprsa n sus 8 años d istncia. Página 0