1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES

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1 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMAS 14 y 15.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 1

2 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Concepto de variable aleatoria Definición de variable aleatoria Una variable aleatoria X, es una función que le hace corresponder a cada resultado de un experimento aleatorio, un número real. Tipos de variables aleatorias Discreta: Una v.a. X es discreta cuando sólo toma valores aislados, xi. Estas variables nunca pueden tomar todos los valores de un intervalo. Ejemplos: suma de los puntos obtenidos al lanzar 2 dados número de caras al lanzar una moneda 5 veces número de hijos de un matrimonio elegido al azar número de asignaturas suspensas de un alumno elegido al azar número de libros vendidos por una librería cualquiera en un día Edad de una persona etc, Continua: Cuando entre dos valores, aunque estén muy próximos entre sí, siempre se puede tomar otro valor. Este tipo de variables toman todos los valores dentro de un intervalo Ejemplos: estatura, longitud de un tornillo, nivel de agua de un embalse, temperatura en una ciudad, 2

3 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Distribución de probabilidad en una v.a. discreta Se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X con valores xi, al conjunto de probabilidades: pi = probabilidad de que la variable X tome el valor xi = p(x = xi) La función F(xi) = p(x xi) se llama función de distribución de la variable X. Por ejemplo, en el experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces, X = nº de veces que sale el 6 es una variable aleatoria discreta, pues X sólo toma los valores xi: 0, 1 y 2 Los resultados del experimento son 36: La distribución de probabilidad es: El gráfico de probabilidades es: x i p i = p(x = x i ) Total p i = 0,6944 = 0,2778 = 0,0278 = 1 En todas las distribuciones de probabilidad discreta, se cumple: p i = 1 3

4 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Parámetros de una distribución de probabilidad discreta Media aritmética ó esperanza matemática:µ= x i p i Varianza: σ = (xi p i) µ La varianza también se puede calcular por la fórmula 2 2 σ = (x i µ ) p i σ σ Desviación típica: = 2 Vamos a calcular los parámetros de la distribución del ejemplo anterior: X = nº de veces que sale el 6 al lanzar un dado dos veces x i Total p i x i p i = 36 3 x i2 p i = Media o esperanza matemática de X: µ= x i p i σ = Varianza de X : (xi p i) µ 7 1 = 18 9 Desviación típica de X: 5 = 0, Tareas Tema 14: Ejercicios: 2, 3, 5, 6, 26 y 29 σ = σ = = = 0, ,333

5 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 3) a) Como p = 1 0,15 + 0,2 + k + 0,3 + 0,11 = 1 0,76 + k = 1 k = 0,24 i b) p(x < 3) = 0,15 + 0,2 = 0,35 p(1 < X 4) = 0,2 + 0,24 + 0,3 = 0,74 5

6 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 3) Los resultados del experimento son 8: {ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx} La v.a. es X = nº de cruces = { 0, 1, 2, 3 } p(x = 0) = 1 8 p(x = 1) = 3 8 p(x = 2) = 3 8 p(x = 3) = 1 8 La distribución de probabilidad es: p i = p(x = x i ) x i 1 8 = 0, = 0, = 0, = 0,125 El gráfico de probabilidades es: Total 1 6

7 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 5) 7

8 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 6) x i p i x i p i x i2 p i 1 0,2 0,2 0,2 µ= x i p i = 3,55 2 0,15 0,3 0,6 3 0,15 0,45 1,35 σ = (x p ) µ = 16,05 3,55 = 3,4475 i i 4 0,15 0,6 2,4 5 0,1 0,5 2,5 σ σ = 2 1, ,25 1,5 9 Total 1 3,55 16,05 8

9 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 26) µ=4,45 2 σ = 4,4475 σ = 2,1089 p(x 4) = 0,3+0,1+0,15 = 0,55 p(x 6) = 0,2+0,1+0,1 = 0,4 9

10 1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 29) 0,1 + a + b + c + 0,2 = 1 0,1 + a + b = 0,7 b + c + 0,2 = 0,75 a + b + c = 0,7 a + b = 0,6 b + c = 0,55 a = 0,15, b = 0,45, c = 0,1 10

11 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Factorial de un número natural El factorial de un número natural n se define por la fórmula n! = n.(n - 1).(n - 2) Se lee n factorial Ejemplos: 1! = 1 ; 2! = 2. 1 = 2 ; 3! = = 6 4! = = 24 y así sucesivamente 0! = 1 (por convenio) El factorial de un número se puede hallar con la calculadora científica. Por ejemplo, si queremos calcular 13!, el proceso es el siguiente: 13 x!. Nos da como resultado: Este resultado coincidiría con la multiplicación:

12 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Número combinatorio Dados dos números naturales n y m (con m n) se define el número combinatorio n sobre m por la fórmula: n n! = m m!.(n-m)! Por ejemplo: 15 15! = = !! 4!. 11!! = = ) n 1 = n. Por ejemplo, Propiedades del número combinatorio 6 1 = 6 Justificación : 6 6! 6. 5! = = 1 1!.5! 1!. 5! =6 2) n 0 = n n = 1. Por ejemplo, 5 0 = 5 5 = 1 Justificación : 5 5! 5! = = =1 0!.5! 1.5! 5 5! 5! = = =1 5!.0! 5! ) n m = n n-m Por ejemplo, 7 3 = 7 = Justificación : 7 7! = 3!.4! 3 7 7! = 4!.3! 4 12

13 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Consideremos un experimento aleatorio y sea A un suceso con p(a) = p 0. Si realizamos n veces el mismo experimento y le llamamos X = nº de veces que ocurre el suceso A, entonces X puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3,., n. X es una v.a. discreta que toma n+1 valores. Se dice la variable aleatoria discreta X tiene distribución de probabilidad binomial de parámetros n y p. Se representa así: X B(n, p) Ejemplos de distribuciones binomiales: Lanzar un dado 15 veces. Sea X = nº de veces que sale el 6. En este caso, X B(15, 1/6) Nacimiento de 30 bebés, siendo la probabilidad de que nazca niño 0,4. Sea X = nº de niñas. En este caso, X B(30 ; 0,6) Un jugador lanza a canasta 50 veces, siendo la probabilidad de errar 0,3. Sea X = nº de aciertos. En este caso, X B(50 ; 0,7) Se lanza una moneda 25 veces. Sea X = nº de cruces. En este caso, X B(25, 1/2) La distribución de probabilidad en la B(n, p) es: p k = p(x = k) = n k p k.(1 p) n k, k = 0, 1, 2,, n Media aritmética ó esperanza matemática: µ=n.p Varianza: 2 σ = n.p.(1 p) Desviación típica: σ = n.p.(1 p) Tareas Tema 14: Ejercicios: 14, 15, 16, 17, 18, 21, 34 y 63 13

14 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 14) a) X = nº de usuarios de metro. X B(30, 4/15) En este caso, n = 30, p = 4/15 b) 4 µ=n.p = 30. = 8 15 σ 2 = n.p.(1 p) = = 88 5, σ = ,

15 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 15) X = nº de tornillos defectuosos. X B(3 ; 0,3); X = 0,1,2,3 En este caso, n = 3, p = 0,3 p(x = k) = 3 k (0,3)k.(0,7) 3 k, k = 0, 1, 2, 3 3 a) p(x = 3) = 3 (0,3)3.(0,7) 0 = 1. 0, = 0,027 = 2,7% 3 b) p(x = 2) = 2 (0,3)2.(0,7) 1 = 3. 0,09. 0,7 = 0,189 = 18,9% 3 c) p(x = 0) = 0 (0,3)0.(0,7) 3 = ,343 = 0,343 = 34,3% 15

16 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 16) X = nº de varones. X B(3, 10/16) ; X B(3 ; 0,625) ; X = 0,1,2,3 En este caso, n = 3, p = 0,625 p(x = k) = 3 k (0,625)k.(0,375) 3 k, k = 0, 1, 2, 3 3 a) p(x = 2) = 2 (0,625)2.(0,375) 1 = 3. 0,391. 0,375 = 0,4399 = 43,99% b) p(x 1) = 1 p(x < 1) = 1 p(x = 0) (0,625)0.(0,375) 3 = ,053 = 1 0,053 = 0,947 = 94,7% 16

17 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 17) X = nº de personas que la consideran favorable. X B(10 ; 0,3); X = 0,1,2,,10 En este caso, n = 10, p = 0,3 p(x = k) = 10 k (0,3) k.(0,7) 10 k, k = 0, 1, 2,, a) p(x = 3) = 3 (0,3)3.(0,7) ! ! = = 3!.7! 3!. 7! 720 = =120 6 p(x = 3) = ,027. 0,082 = 0,2657 = 26,57% 10 b) p(x = 10) = 10 (0,3)10.(0,7) 0 = 1. 0, = 0,

18 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 18) X = nº de personas que acuden al acto. X B(10 ; 0,4); X = 0,1,2,,10 En este caso, n = 10, p = 0,4 p(x = k) = 10 k (0,4) k.(0,6) 10 k, k = 0, 1, 2,, a) p(x = 3) = 3 (0,4)3.(0,6) ! ! = = 3!.7! 3!. 7! 720 = =120 6 p(x = 3) = ,064. 0,028 = 0,215 = 21,5% b) p(x > 3) = 1 p(x 3) = 1 0,266 = 0734 = 73,4% pues, p(x 3) = p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) = 0,0025+0,0207+0,0763+0,1665 = 0,266 18

19 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 21) X = nº de empresas en quiebra. X B(12 ; 0,15); X = 0,1,2,,12 En este caso, n = 12, p = 0,15 a) El número esperado de empresas en quiebra es la esperanza o media de X: µ=n.p = 12.0,15 = 1,8 2empresas b) σ 2 = n.p.(1 p) = 12. 0,15. 0,85 = 1,53 σ = 1,53 1,

20 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 34) p(x = k) = 6 k (0,2) k.(0,8) 6 k, k = 0, 1, 2,, 6 a) p(x = 3) = 3 (0,2)3.(0,8) ! ! = = 3!.4! 3!. 4! 210 = =35 6 p(x = 3) = 35. 0,008. 0,512 = 0,1434 = 14,34% b) p(x < 2) = p(x = 0) + p(x = 1) = 0, , = 0,65536 c) p(x = 4) = 0,01536 d) p(x > 4) = p(x = 5) + p(x = 6) = 0, , = 0,

21 2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 63) X = nº de personas que viven 30 años o más. X B(5, 2/3); X = 0,1,2,3,4,5 En este caso, n = 5, p = 2/3 a) p(x = 5) = 0,1317 = 13,17% b) p(x 3) = p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) = 0, , ,1317 = 0,7901 = 79,01% c) p(x = 2) = 0,1646 = 16,46% 21

22 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Concepto de probabilidad Consideremos la variable aleatoria continua X = estatura de los chicos de 15 años Supongamos que vamos preguntando a un número cada vez más grande de chicos por su estatura y dibujamos el histograma de frecuencias tomando clases o intervalos cada vez más pequeñas El polígono de frecuencias se ajusta cada vez más a una línea. La función f(x) cuya gráfica es esa curva se llama función de densidad de X En este ejemplo se han tomado 20 intervalos de amplitud 1,5 cm El área de cada rectángulo es la probabilidad de que un chico tomado al azar tenga estatura en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, el área del primer rectángulo corresponde aproximadamente a p(153 < X < 154,5) 22

23 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Cálculo de probabilidades-1 Como hemos visto en el ejemplo anterior la probabilidad en una v.a. continua X corresponde a un área bajo la curva de densidad f. Veamos algunas propiedades que nos sirvan para calcular probabilidades. El área sombreada es p(x < a). La función F(x) = p(x < x) se llama función de distribución de la variable X P(X = a) = área del segmento que pasa por a = 0. Luego, en las v.a. continuas, p(x = a) = 0 Por tanto, p(x a) = p(x < a) ; p(x a) = p(x > a); etc 23

24 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Cálculo de probabilidades-2 p(- < X < ) = 1 p(x > a) = 1 p(x < a) p(a < X < b) = p(x < b) p(x < a) Tareas Tema 15: Ejercicios: 11 y 13 24

25 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 a) ) Para que sea una función de densidad se debe cumplir que p(- < X < ) = 1. p(- < X < ) es el área del rectángulo. Luego, A(rectángulo) = 5. 1/k = 1. Por tanto, k = 5 25

26 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 b) ) A(triángulo) = (4. 8k) / 2 = 1. Por tanto, k = 1/16 26

27 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 c) ) A(trapecio) = (k/3 + 4k/3). 3 / 2 = 1. 5k/2 = 1. Por tanto, k = 2/5 27

28 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 13 a) ) 28

29 3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 13 b) ) 29

30 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Definición y propiedades La mayoría de las variables aleatorias continuas tienen una función de densidad f(x) cuya gráfica tiene forma de campana. A esta gráfica se le llama campana de Gauss. La función de densidad es f(x) = 1. σ. 2π 2 1 x. 2 e µ σ siendo µ la media y σ la desviación típica. La gráfica de la función de densidad (campana de Gauss) tiene la siguiente forma: Puedes observar que la gráfica es simétrica respecto de la recta vertical de ecuación x = µ. Cuando la curva de densidad tiene esta forma diremos que X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Se escribe así: X N(µ,σ) Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real. 30

31 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Forma de la campana de Gauss 31

32 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Distribución normal tipificada Si µ = 0 y σ = 1, entonces a la distribución Z N(0,1) cuya campana de Gauss es de la forma le llamaremos distribución normal tipificada. p( Z < a) = p( Z a) = área bajo la curva entre - y a 32

33 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Uso de la tabla de probabilidades de la distribución N(0,1) P(Z<1,24) = 0,8925 p(z < a) = 0,9913 a = 2,38 33

34 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Cálculo de probabilidades en la distribución N(0,1) Para calcular otras probabilidades en la distribución N(0,1) usamos las siguientes fórmulas: p(z > a) = 1 p(z < a) p(z < a) = p(z > a) = 1 p(z < a) Ej: p(z > 0,6) = 1 p(z < 0,6) = 0,2743 Ej: p(z > 0,25) = 1 p(z < 0,25) = 0,4013 p(z > a) = p(z < a) Ej: p(z > 0,19) = p(z < 0,19) = 0,8621 p(a < Z < b) = p(z < b) p(z < a) Ej: p(1 < Z < 2) = p(z < 2) p(z < 1) = 0,1359 p( b < Z < a) = p(a < Z < b) = p(z < b) p(z < a) Ej: p(-3 < Z < -2) = p(z < 3) p(z < 2) = 0,0215 p( a < Z < b) = p(z < b) p(z < a) = = p(z < b) [ 1 p(z < a) ] = = p(z < b) + p(z < a) 1 Ej: p(-2 < Z < 1) = p(z < 1)+p(Z < 2) 1= 0,

35 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Tipificación. Relación entre la distribución binomial y la normal Si X N(µ,σ), entonces la variable Z X µ = σ N(0,1) a µ X µ b µ En este caso: p(a < X < b) = p( < < ) = σ σ σ a µ b µ p( < Z < ) σ σ A este proceso se le llama tipificación de la variable. Si X B(n, p) con n 30 y los productos np 5, n(1-p) 5, entonces la distribución binomial X se puede aproximar por la distribución normal X : X N(np, np(1-p) ) En este caso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( < + ) ( > ) = ( > + ) ( ) = ( > ) P X = k = P k 0,5 < X < k + 0,5 P X < k = P X < k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 Tareas Tema 15: Ejercicios: 3, 4, 8, 9, 14, 17, 23, 28 y29 35

36 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 3) 36

37 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 4) 37

38 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 8) X = nº de caras; X B(120 ; 1/3) Como n.p = /3 = 40 > 5 y n(1 p) = /3 = 80 > 5, podemos tomar en vez de X la variable X N(np, np(1-p) ) X N(40 ; 5,16 ) p(35 X 45) = p(34,5 < X < 45,5) 34, ,5 40 = p( < Z < ) 5,16 5,16 = p(-1,07 < Z < 1,07) = p(z < 1,07) p(z < -1,07) = p(z < 1,07) [ 1 p(z < 1,07) ] = 2p(Z < 1,07) 1 = 2. 0, = 0,7134 Por tanto, la probabilidad de no acertar es 1 0,7134 = 0,2866 = 28,66% 38

39 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 9) X = nº de personas que aparecen; X B(100 ; 0,8) Como n.p = ,8 = 80 > 5 y n(1 p) = ,2 = 20 > 5, podemos tomar en vez de X la variable X N(np, np(1-p) ) X N(80, 4) p(x > 87) = p(x 87,5) 87,5 80 = p(z > ) = p(z > 1,88) = 4 = 1 p(z < 1,88) = 0,0301 = 3,01% 39

40 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 14) a) p(0 < Z < 0,25) = p(z < 0,25) p(z < 0) = 0,5987 0,5 = 0,0987 b) p(z < 1,32) = 0,9066 c) p( 2,23 < Z < 1,15) = p(z < 1,15) + p(z < 2,23) 1 = = 0, , = 0,862 d) p(z > 1,23) = 1 p(z < 1,23) = 1 0,8907 = 0,

41 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 17) X N(20, 2) p(x > 23) p(x < 17) = p(z > ) = p(z > 1,5) = 1 p(z < 1,5) = 0,0668 = 6,68% = p(z < ) = p(z < -1,5)= 1 p(z < 1,5) = 0,0668 = 6,68% 2 41

42 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 23) X = capacidad del recipiente; X N(10 ; 0,1) p(9,9 < X < 10,1) 9, ,1 10 = p( < Z < ) 0,1 0,1 = p(-1 < Z < 1) = p(z < 1) + p(z < 1) 1 = 0, , = 0,6826 Por tanto, la probabilidad de que sea considerado defectuoso es: 1 0,6826 = 0,3174 = 31,74% 42

43 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 28) X = minutos que tarda de casa al instituto; X N(14 ; 2,5) 43

44 4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 29) 44