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1 OCW - UNC OpeCourseWare I UNC Curso: Estadístca I U: Meddas Descrptvas Autora: Rosaa Cas Dspoble e el sto OCW de la Uversdad Nacoal de Córdoba. Cómo ctar el materal: Cas, Rosaa (014). Estadístca I. U. Meddas Descrptvas. Facultad de Cecas Ecoómcas, Uversdad Nacoal de Córdoba. Recuperado del sto OCW de la Uversdad Nacoal de Córdoba. [Fecha de cosulta: ]

2 Meddas de poscó Meda artmétca Medaa Moda Meda geométrca POSICIÓN CENTRAL Percetles Cuartles POSICIÓN NO CENTRAL

3 RESUMEN ANÁLISIS DESCRIPTIVO Meddas de: Curso l Estadstca I Poscó 0,010 Dspersó frec cueca 0,007 0,005 0,00 0,000 0,00 84,00 168,00 5,00 336,00 40,00 Estatura Forma (Asmetría)

4 Meda N µ 1 N Poblacó N ; Parámetro µ, Varable 1 Muestra ; Estadístco, Varable

5 Cosderemos autos esamblados e el país, Reault, Peugeot, Volkswage, Fat, Hoda y observemos los autos patetados e agosto 013 Udades MARCAS patetadas 1 Volkswage Chevrolet Reault Fat Peugeot Ford Toyota Ctroe Hoda 1301 Calcular el promedo de autos veddos por marca

6 µ N N Udades MARCAS patetadas 1 Volkswage Chevrolet Reault Fat Peugeot Ford Toyota Ctroe Hoda 1301 suma Se patetaro e promedo por marca : 8193, autos

7 Propedades de la meda Curso l Estadstca I 1. La meda de ua costate es el valor de la costate. La meda del producto de ua costate por ua varable, es el producto de la costate por la meda de la varable 3. La meda de la suma de ua costate más ua varable, es la suma de la costate más la meda de la varable 4. La suma de las dferecas etre los valores de ua varable y su meda es gual a cero. 5. La suma del cuadrado de las dferecas etre los valores de ua varable y su meda es sempre u mímo 6. La meda de ua muestra, dvdda e submuestras es la meda poderada de las medas de las submuestras por los respectvos tamaños de las submuestras 7. Las meda es u valor de la varable que se ecuetra compreddo detro del rago de valores de esta.

8 1. M(c) c ; s asume valor 3, 3, 3 ; la meda será 3.. M(c.) c. M() s : 10, 0,30, 40 ; 5 s a la multplcamos por, surge : 0, 40, 60, 80; 50 M( ) M(.) M().5 50 ' 3. M(c + ) c + M(). 4. La suma de las dferecas etre los valores de ua varable y su meda es gual a cero. 1 ( ) 0

9 5. La suma del cuadrado de las dferecas etre los valores de ua varable y su meda es sempre u mímo SC X mímo 6. La meda de ua muestra, dvdda e submuestras es la meda poderada de las medas de las submuestras por los respectvos tamaños de las submuestras X k k Sea por ejemplo el greso medo de 500 varoes gual a $ 300 y el greso medo de 385 mujeres de $ 50, ambos perteecetes a la msma poblacó, la meda geeral será: X [ ( ) + ( ) ] / 885

10 Medaa Ordear los datos Ubcar el valor termedo: o m : + 1 Para u úmero mpar de observacoes la medaa es el valor de la varable ubcado e el puto o m Para u úmero par de observacoes la medaa es el promedo de los dos valores de la varable ubcado e el puto termedo

11 Udades MARCAS patetadas 1 Volkswage Chevrolet Reault Fat Peugeot Ford Toyota Ctroe Hoda 1301 Valores ordeados medaa o m : 5 LA MEDIANA SE UBICA EN EL QUINTO (5 TO ) LUGAR

12 Moda Valor de los datos que se preseta co mayor frecueca Umodales : u solo valor modal Bmodales: dos valores modales Multmodales: más de dos valores modales

13 Percetl El p- ésmo es el valor de la varable que supera a por lo meos p por ceto de los valores meores o guales que el y es superado por lo meos por el (100 p) por ceto de los valores mayores que el. Para su cálculo: Ordee los datos de maera ascedete Calcule el ídce o : ( + 1 ) o p p 100 Curso l Estadstca I S, o o es etero, se redodea a u etero mayor o meor segú correspoda por lo que el percetl es el valor de la varable ubcado e el lugar o (redodeado), s o fuere (_,5) se promeda los valores ateror y posteror medato. S, o es etero el p ésmo percetl es el valor de la varable ubcado e o

14 CUARTILES El cuartl uo (Q 1 ), es el valor de la varable que supera a por lo meos el 5% de los valores meores o guales que el y es superado por lo meos por el 75% de los valores mayores que el. El cuartl dos cocde co la medaa. Curso l Estadstca I El cuartl tres (Q3), es el valor que supera al 75% de las observacoes a su zquerda y es superado por el 5% de las observacoes restates ubcadas a su derecha. Para su cálculo: Ordee los datos de maera ascedete Calcule el ídce de ubcacó 1 3 o 1 : ( + 1 ) o : ( + 1 ) o 3 : ( + 1 ) Redodeo. Ubque el cuartl, como el valor de la varable ubcado e el puto o

15 Cuartles Q 1 Prmer cuartl, ubcado e el prmer cuarto (1/4) de la dstrbucó, o percetl 5 Q Segudo cuartl, ubcado e la mtad (1/) de la dstrbucó, o percetl 50, medaa Q 3 Tercer cuartl, ubcado e el tercer cuarto (3/4) de la dstrbucó o percetl 75 (3/4) 5% 50 % 5% Vm Q 1 Q Q 3 VM 5% 50% 75%

16 Udades MARCAS patetadas 1 Volkswage Chevrolet Reault Fat Peugeot Ford Toyota Ctroe Hoda o1 : Para los datos Valores ordeados Q1: 3669, medaa Q Q3: EL Q1, SE UBICA ENTRE EL DO Y 3 ER LUGAR 3 3 o1 : EL Q3, SE UBICA ENTRE EL 7 MO Y 8 VO LUGAR

17 EN SÍNTESIS QUE UNIDAD DE MEDICIÓN TIENE CADA MEDIDA Medda Resultado Meda 8193, Medaa 9590 Moda - Cuartl ,5 Cuartl INTERPRETE CADA MEDIDA MARQUE DIFERENCIAS ELABORE UNA PREGUNTA QUE DEBA SER RESPONDIDA CON LA MEDIDA ADECUADA

18 Ejemplo Ua muestra de 15 estudates del últmo año de la carrera mostró las sguetes horas crédto tomadas durate el período fal de su últmo año de cursado a. cuáles so la meda, la medaa y la moda de las horas crédto tomadas? Calcúlelas e terprete los resultados b. Calcule e terprete el prmer y tercer cuartl c. Calcule e terprete el percetl 70 Se recomeda resolver co Ecel

19 Q Me 18 Q Q Medaa, el octavo valor 18 Modo 18 Meda 17,4 Cuartles Q1 15 Q3 19 P o1 : o3 : o 70 : ,

20 QUE OCURRE CON TABLAS DE FRECUENCIA Las meddas debe corporar el cocepto de frecueca. No la aplcaremos m 1 Me( ) N j1 < N j 1 + amp N j S la aplcaremos j N j j1 es frec acumulada >

21 MEDIA GEOMÉTRICA Esta medda es utlzada cuado se requere calcular u promedo de tasas o ídces que refleja varacó relatva de la varable etre u mometo y otro del tempo. Su fórmula es: Mg() 1 Ua mportate propedad de esta medda es que el logartmo de la meda geométrca es equvalete a la meda artmétca de los logartmos de la varable. log Mg( ) log 1 1/ 1 1 log( ) M (log( )) El cálculo de Mg se hace medate trasformacó logarítmca sobre los valores de la varable. La trasformacó logarítmca comprme los valores altos y estra los bajos. A los valores trasformados se les calcula la meda (promedo), desvacó estádar y el tervalo de cofaza. Después los estadístcos calculados se coverte a los dcadores orgales calculado su atlogartmo.

22 E tabla de frecuecas, sedo m: catdad de flas, : frecueca absoluta y : tamaño de muestra EJEMPLO Mg( ) m 1 Se estma que la zoa cetral de la Provca mostrará el mayor aumeto e el úmero de empleos etre los años 1989 y 010. Es de esperar que el úmero de empleos aumete de hasta Cuál es la tasa de cremeto aual meda geométrca esperada? Año Empleo Mg( ) 0 (1 + ) Mg( ) (1 + ) 0 NE NE NE. NE NE... NE promedo (1+) (1+)-1 0,00988

23 Ejercco 1 Los redmetos auales e %, de 4 accoes correspodetes a empresas multacoales, se detalla a cotuacó: 4,91; 5,75; 9,13; 0,86 Eplque que medda cosdera adecuada para promedar los valores de la varable. Fudamete. Calcule el promedo de los valores utlzado la medda adecuada. Ejercco Supoga que la poblacó de Haarla, Alaska e 1988 era de persoas y que e 1998 era de persoas. Cuál es la tasa de cremeto porcetual aual promedo para el período ?

24 PARA QUE ES NECESARIO ESTO? Rago Meddas de varabldad Rago tercuartl Varaza Desvacó Estádar Coefcete de varacó

25 Rago R VM Vm VM: valor mámo, Vm: valor mímo Rago tercuartl RIC Q 3 - Q 1

26 Varaza 1 1 ) ( N N N µ µ µ µ σ POBLACIÓN Curso l Estadstca I 1 1 ) ( s 1 1 MUESTRA

27 Propedades de la varaza 1. La varaza de ua costate es cero. La varaza del producto de ua costate por ua varable, es el producto de la costate al cuadrado por la varaza de la varable 3. La varaza de la suma de ua costate más ua varable, es la varaza de la varable 4. La varaza de ua suma de varables es sempre gual a la suma de las varazas s las varables so depedetes (cov 0)

28 Desvacó estádar Raíz cuadrada postva de la varaza N 1 ( µ ) σ σ Curso l Estadstca I 1 ) ( 1 s s

29 Coefcete de varacó CV Desvacó estádar Meda 100

30 Cálculo de meddas para datos agrupados Meda: : m 1 M : puto medo de clase f : frecueca absoluta Varaza: s 1 ( ) 1

31 Actvdad de aplcacó Los regstros polcíacos muestra los sguetes úmeros de formes de deltos daros para ua muestra de 10 días durate los meses de vero y otra muestra de 10 días durate los meses de verao Ivero Verao Queremos descrbr y comparar las varables. usted sabe como hacerlo? a. Calcule el rago y RIC para cada período b. Calcule la varaza y la desvacó estádar para cada período c. Calcule el coefcete de varacó para cada período d. Compare la varabldad de los dos períodos

32 INVIERNO (()- M())^ 18 0,09 0 5,9 15 7,9 16, ,89 0 5,9 1 3,49 16, ,69 0 5, ,1 VERANO (()-M())^ 8 5, ,76 4, , , ,56 3 6, ,76 8 5, , ,4 meda 177/10 17,7 varaza muestral 74,1/9 8,3 CV DS/M 0,16 meda 56/10 17,7 varaza muestral 400,4/9 44,49 CV DS/M 0,61

33 SOLUCIÓN Curso l Estadstca I MEDIDA INVIERNO VERANO Meda 17,7 5,6 Medaa 18,5 6 Moda 0 18 Desvacó estádar,869 6,670 Varaza de la muestra 8,33 44,489 Curtoss -0,054-0,416 Coefcete de asmetría -0,83 0,40 Rago 9 0 Mímo 1 18 Mámo 1 38 Suma Cueta Meddas de varabldad INVIERNO VERANO Rago 9 0 RIC 4 11 Var 8,3 44,49 DS,87 6,67 CV 16,1% 6,05%

34 Meddas de forma COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON ASIMETRIA FORMULA BASADA EN MOMENTOS MOMENTOS CON TRANSFORMACIÓN (EXCEL) CURTOSIS FORMULA BASADA EN MOMENTOS frecueca 0,010 0,007 0,005 0,00 0,000 0,00 84,00 168,00 5,00 336,00 40,00 Estatura

35 MOMENTOS NATURALES. Meda de la poteca de orde r, de ua varable. a r M( r ) a 0 1, a 1 M().. CENTRADOS Meda de la poteca de orde r, de las dferecas etre los valores de la varable y su meda m r M( - m ) r m 1 0, m umerador de la varaza

36 CA( p) 3( M( ) Me( )) DS CA( m) ( M( M( )) 3 M( M( )) 3 Cualquera de ellos puede ser: MEDIDA INVIERNO VERANO Meda 17,7 5,6 Medaa 18,5 6 Moda 0 18 Desvacó estádar,869 6,670 Varaza de la muestra 8,33 44,489 Curtoss -0,054-0,416 Coefcete de asmetría -0,83 0,40 Rago 9 0 Mímo 1 18 Mámo 1 38 Suma Cueta CA < > A S A + Platcurtca, e ambas dstrbucoes La dstrbucó de vero es asmétrca zquerda y la de verao, derecha

37 Formulas que o vamos a aplcar, solo terpretar 3 3 )) ( ( ( )) ( ( ) ( M M M M CA m 3 ) ( M + > < A S A CA Curso l Estadstca I ) ( ) 1)( ( ), ( s M CA m ecel 3 )) ( ( ( )) ( ( ) ( 4 4 M M M M m CK < > platc mesoc leptoc CK 0 0 0

38 Para descrbr asmetría y detectar valores atípcos puede usarse el dagrama de caja y brazos Se cofeccoa co los cco úmeros: Vm, VM, Q1, Me, Q3 Se determa las barreras teras: BI Q1 1.5 RIC Barrera zquerda BD Q RIC Barrera derecha Curso l Estadstca I Los que está fuera de las barreras, so valores atípcos Las barreras eteras se determa multplcado el RIC por 3. BI BD Vm Q 1 Q Q 3 VM RIC Q3 Q1

39 DIAGRAMA DE CAJA Y BRAZOS Asmetría zquerda INVIERNO VERANO Asmetría derecha del_v del_ver o(1),75 Q1 (3) RI 4 o(3) 8,5 Q3 (8) RI11 vero verao Vm 1 18 Q(1) Q()Me 18,5 6 Q(3) 0 9 VM 1 38 BII:Q1-(1,5*RI) 10 1,5 BEI:Q3+(1,5*RI) 6 45,5

40 MEDIDAS DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES COVARIANZA COEFICIENTE DE CORRELACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA: DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

41 COVARIANZA S e y o tee asocacó leal Cov (,y) 0 S e y está asocados e forma leal drecta Cov (,y) > 0 S e y está asocados e forma leal versa Cov (,y) < 0 Puede calcularse co e el deomador.

42 y y ) )( ( Coefcete de correlacó leal (PEARSON) Mde el grado o tesdad y setdo de la asocacó leal etre las varables e y. Puede asumr valores etre -1, y 1 (e los etremos la asocacó leal es perfecta) S es cero dca que o hay relacó leal Curso l Estadstca I y y s s s r, y y s y 1, ) )( ( s 1 ) ( y y s y 1 ) ( Puede calcularse co e el deomador de cada medda.

43 y var y Cov < 0 r -1 Curso l Estadstca I var y Cov > 0 r 1 Dagrama de dspersó para tres stuacoes Cov 0 r 0

44 Ejemplo E la revsta R y T aparecó la sguete muestra de evaluacoes de eumátcos y la capacdad de carga de los eumátcos automotrces. Calfcacó del eumátco Capacdad de carga Se recomeda resolver co EXCEL a. Trace u dagrama de dspersó para los datos co la calfcacó de los eumátcos e el eje horzotal. b. Cuál es el coefcete de correlacó de la muestra y qué dca este acerca de la relacó etre calfcacó de eumátcos y capacdad de carga?

45 Calfcacó del Capacdad de (-M())*(yeumátco, carga, y (-M()) (y-m(y) M(y)) (-M())^ (y-m(y))^ ,67-445, ,8 186, ,67-51, ,8 44, ,67-163,67 600,11 13, ,67-97,667 16,78, , ,67-63,667 4,444 0, , ,33 57, ,78 5, , ,33 90, ,11 11, , ,33 134,33 58,11 18, ,33 740, , meda 88,67 198,67 cov 409, r 0,9856 v a r 61, d s 7, ,68

46 a. Capacdad de carga Calf del eumátco cov 409, var 61, ds 7, ,68 r 0,9856 Matrz de varazas y covarazas Matrz de correlacó X y X y

47 Cómo ctar el materal: Cas, Rosaa (014). Estadístca I. U. Meddas Descrptvas. Facultad de Cecas Ecoómcas, Uversdad Nacoal de Córdoba. Recuperado del sto OCW de la Uversdad Nacoal de Córdoba. [Fecha de cosulta: ]