SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable

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1 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO I Pr Grdos e Igeierí Cpítulo 4: Itegrció e u vrible Domigo Pest Glvá José Muel Rodríguez Grcí Figurs relizds co Arturo de Pblo Mrtíez

2 4 Itegrció e u vrible 4. Itegrció e u vrible 4.. Cálculo de primitivs. Problem 4... IP P I = x tgx x tgx x dx = x tgx + log cosx x. 4. tg x = t I = t t + dt = 6 tg6 x + 4 tg4 x. tt +. x = t I = t + dt = + t t + t dt = x + log x + + rc tg x/. 4. x + = t y utilizdo el desrrollo x + = x + + = x + + 6x + + x I = t 6 t / 8 t / dt = t t rc se t t t / = x + / x + / rc se x + / x + / x +, pues t dt = rc se t + t t después del cmbio t = se u. Tmbié puede ser propido el cmbio desde el iicio x + = se u. 5. Descompoer e sum de frccioes simples, o más fácil CV x = t I = t + t + t dt = log x + x x. 6. x = sec t I = sec t + sec t dt = sec t tg t + log sec t + tg t = x x + log x + x, vése 56. Como est últim itegrl se puede hcer medite CV se t = u, u úico cmbio desde el pricipio d ituitivo serí x = I = u u u du = /4 + u + /4 + u + /4 u + /4 u du = log + u 4 u + u u = x + x log 4 x x + x x = log x + x + x x. t 8 7. cos x = t I = t dt = 7 cos7 x + 5 cos5 x + cos x + cos x log cosec x cotg x. 8. I = log se x + cos x. 9. IP P dos veces I = π ex se πx π cos πx I π I = π + ex se πx π cos πx.. tg x = t I = t + dt = tg x + tg x. cos x. I = dx = x se x. 4 cos x. I = dx = + cos 4x cos x + dx = x se x + se 4x. 4. I = x + se x. 4 + cos x 4. I = dx = + cos 4x + cos x + + cos x se x dx = x + se x + se 4x se x. 5. I = se x dx = x 4 8 se 4x t x + 5 = t I = dt = x + 5+ log+ x + 5; poiedo x + 5 = t u u I = u + dt = x + 5 log + x + 5; mbs se difereci e u costte.

3 4 Itegrció e u vrible x 7. x + = t I = 4t t dt = + t + t + t dt = t t t log + t = x t log x+ x. El cmbio desde el iicio o obvio x = sec u llev I = sec u sec u du = tg u log sec u + tg u = x log x + x. 8. x = t I = t rc tg t dt; hor IP P I = t t rc tg t + t dt = x rc tgx/ x/ + log + x/. 9. x + = t I = 4t t dt = 4 5 x + 5/ 4 x + /. t. x + = t I = + t dt = x + x + + log + x e x t = t I = t dt = + e x + log + e x + x.. se x = t I = e t t dt, hor IP P dos veces I = se x e se x.. I = se x cos x dx = cos x + cos x 5 cos5 x. 4. I = cos x se x se x dx = se x 5 se5 x. 5. I = sec x dx = tg x x. 6. I = tg xsec x dx = tg x + log cos x. 7. x = se t I = se t cos t dt = cos t + 5 cos5 t = x / + 5 x 5/. Tmbié se puede hcer CV x = u I = u u du = u5 5 u = 5 x 5/ x /. 8. t = tgx/ se x = t t dt + t t, cos x =, dx = + t + t + t I = tt dt = + t + 4t + t dt = log t logt + + rc tgt/ = + tgx/ log + tg x/ + rc tg tgx/. + t t 9. t = tgx/ I = + t + t dt = log tg x/ + tg +t rc tg tgx/. x/ +. se x = t I = t t dt = 4t 48 t t t + log t = + t sec x tg x tg x log sec x + tg x. 4 4x 9x + 7. I = 4x dx = x + 7x + log x + 5 x. x + x x x 4. log x = t I = e t cos t dt, que se resuelve medite IP P dos veces; tmbié se puede hcer desde el pricipio IP P dos veces I = x coslog x+x selog x I I = x coslog x+ selog x.. e x t = t I = t + t + dt = t t / t + t + + 5/ t + / dt = + 7/4

4 4 Itegrció e u vrible 4 ex e x logex + e x e x + rc tg x = t I = 6t t dt = 6 5 x/ 5/ x / /. 5. x = tg t I = se x t cos t dt = + x /. 6. I = rc tgx. 7. I = tg x. 8. t x x + = t I = t dt = log + / x log + / + x + / + + x + / + rc tg. 9. I = x + /. 4. x = se t I = tg x t dt = rc se x. x 4. e x t = t I = t + dt = e x rc tg e x ; e otro cmbio posible, e x = sec t I = tg t dt = tg t t = x rc tg e x. 4. I = + 5 log x log x. x 4. x = t I = 4 t + t dt = x 4 x / ; otro cmbio posible, x = t I = + t dt = t 4 t4/. + se x cos x 44. I = se dx = x se x + se x cos x se x cos x dx = se x cotg x log cosec x + cotg x + cosec x + log cosec x = cos x log + cos x. se x 45. x = t I = t t + dt = 7 x 7/ x 5/ + x /. 46. tg x = t I = + t dt = tg x + tg x + 5 tg5 x. t x = t I = t dt = + x x = + x 4 + x. Tmbié CV tg u x = tg u I = sec 4 u dt = se u cos u du = se4 u x 4 = x ; bst comprobr que mbos resultdos difiere e u costte. 48. e x t = t I = t 4 dt = log e x x = t I = t + dt = rc tg + x x = t I = t + 6 dt = + x x t log + x = 9 x / + 9 x/ log + x / + C. 5. IP P dos veces I = ex se x + 4 ex cos x 4 I I = 5 ex se x + cos x. 5. IP P I = 9 x log x. 5. I = se x cos x cos x dx = cos x + 5 cos5 x. + cos x + cos 4x 54. I = dx = + cos x + dx = 4 8 x + se x + se 4x. 4

5 4 Itegrció e u vrible 5 t tg x = t I = + t dt = t + + t dt = tg x tg x + x. 56. se x = t I = t dt = 4 log t + t 4 + t = log sec x + tg x + + t sec x tg x; otr form, IP P I = sec x tg x sec x tg x dx = sec x tg x + sec x dx I I = sec x tg x + sec x dx. + se x 57. I = cos dx = tg x + sec x. x 58. log x = t I = e t se t dt = et se t cos t = xselog x coslog x. x 59. x = se t I = se dt = cotg t =. t x 6. I = + x. 6. e x = t I = t + dt = rc tg t = rc tg e x. Tmbié CV e x = sec t e I = dt = rcsece x. Obsérvese que rcsece x = rc cose x = rc tg x. 6. e x t = t I = t + t + dt = t + t + t + t + + t dt = + t + ex e x + loge x + e x + + rc tge x +. x 6. I = x x dx = x + x. 64. x /6 t = t I = t dt = x x /6 log x /6. 9 x 65. x = se t I = 9 se t dt = 9 cotg t =. 9x 66. I = x + x + x + x dx = + x + log x x + 6 log x + x + x rc tg. 67. Si m, IP P I = xm+ m + m + log x + ; si m =, I = log x. 68. se x = t I = se x + se x. 69. x / = t I = t se t dt = x / cosx / sex /. 7. log x = t I = e t cos t dt = e t +cos t dt = x + x se log x+cos log x. 7. IP P tres veces I = x log x log x + 6 log x 6. Es más ituitivo hcer primero CV log x = t y cotiur co IP P ; lo mismo se puede decir de l siguiete primitiv. 7. IP P dos veces I = x log x log x +. Problem 4.. Hlldo l primitiv e cd itervlo, se tiee x fx = x C si x < e x x + C si x > El vlor f = implic C =, C =. El Teorem fudmetl del cálculo permitirá, más delte, escribir directmete

6 4 Itegrció e u vrible 6 fx = f + x f t dt, por lo que, si x < se tiee mietrs que pr x > es fx = x 4 t 4 + t dt = x x + 4, fx = x e t dt = e x x +, y se obtiee el mismo resultdo. Ls primitivs so fáciles co los cmbios obvios t = tg u y t = u, respectivmete. Problem 4.. Tomdo l prtició P = {x i = + i b, i =,,, }, teemos íf P U U = + i b b i= = lím U = b + L = + i b b i= = b b sup P L = lím L = b. Filmete b Problem 4..4 i x dx = b. gx dx = + i= = b ; b = b + b ; gx dx + Así se[se{x 8 }] dx = pues el itegrdo es impr. ii hx dx = 6 hx dx + hx dx = i= gx dx = hy dy + i = b + b + ; sese y dy =, hx dx. gy dy + gx dx =. Problem 4..5 i Poer x c = y; el áre es ivrite por trslcioes. ii Poer + b x = y; el áre es ivrite por simetrís. iii Aplicr ii co + b =. L fució gx = fx f x es impr, por lo que se plic el problem terior. iv fx fx fx b fx dx b fx dx b fx dx. Versió itegrl de l desiguldd trigulr, el vlor bsoluto de l sum es meor o igul que l sum de los vlores bsolutos. v Cmbido x x e l segud itegrl, es decir, log + log b = logb. dx b x + dx x = dx b x + dx b x = dx x,

7 4 Itegrció e u vrible 7 Problem 4..6 i lím iii lím lím iv lím + i/ = e i/ = i= i= e +/ e / e / i= Problem 4..7 L Hy que utilizr l fórmul + x dx = π. ii lím 4 fx dx = lím i= fi/. i= + i/ = dx = log. + x e x dx = e ; tmbié se puede clculr l sum geométric: xe x+ e x = lím x e x = i/ = e. x dx = π. = exp lím log + k/ = exp k= = exp log + x dx = e log = 4 e. Problem 4..8 i x F x = x x x > F x = F + dt = + x. { x si x F x = x si x. ii x F x = x te t dt = e x x e ; x dt = x ; x > F x = F + te t dt = e e x x +. e x x si x F x = e e e x x + si x. iii x x F x = t dt = + x x ; x > x F x = F / + t / dt = 4 x x + 5. F x = + x x si x 4 x x + 5 si x. iv x F x = x t dt = x + ; x x > F x = F + t dt = x x +. F x = x + si x x x + si x. v x F x = x x > F x = F + dt = x + ; x t + dt = x + x +. lím k= log + k/

8 4 Itegrció e u vrible 8 F x = vi F x = { x x + si x x + x + si x. dt = x +. vii x F x = x x > x F x = F / + / F x = π + cosπx/ Problem 4..9 i cosπt/ dt = + seπx/; π cosπt/ dt = π + cosπx/. π + seπx/ si x si x. e x = t I = tmbié e x = sec t I = ii x = sec t I = t + t dt = t rc tg t π/4 π/ tg t dt = tg t t tg t dt = tg t t π/ π/4 = π ; = π. = π ; tmbié x t = t I = + t dt = t rc tg t = π. 4.. Teorem fudmetl del cálculo. Problem 4.. i F x F y x y ft dt M x y. lím F x F y lím M x y =. x y x y ii F es derivble si y { sólo si f es cotiu, y e ese cso F x = fx. U ejemplo del cso x > cotrrio es fx = F x = x ; f o es cotiu e x =, F es o x < derivble e el mismo puto. Problem 4.. ii F x = i F x = ex x x ex x x. x + se x x + se x = 6x + se x. iii F se x x = + se 6 x se t dt + x se t dt. x iv F x = e tg t dt tg x x x tg. t dt v F x = x x ft dt + x fx. vi F x x = cos se y se t dt dy se x se t dt. Problem 4.. f x = e x e x = x = x x = o x =. Se obtiee que f crece e, y decrece e,. El máximo se lcz e x =. Pr estudir

9 4 Itegrció e u vrible 9 el míimo ecesitmos utilizr los vlores etoces lím x fx = π Problem 4..4 i L fució F x = y verific F =, F >. e x dx = π, e x dx =. Comprmos y f =, por lo que el míimo se lcz e x =. x ii G x = x se x e se x = x = π, IN x >. El sigo de l derivd etre cd pr de putos críticos viee ddo por el sigo de se x, por lo que G x > e x kπ, k + π y G x < e el complemetrio. k= Así los putos críticos x so míimos si = k y máximos si = k +. Evludo l segud derivd se obtiee el mismo resultdo pues G x = 4 π. e t dt es moóto creciete F x = e x > 5 5 π π 5π 7π Problem 4..5 Problem 4..6 y = x tgx 4 r y = 4 π/4x 4 π/4. Utilizdo L Hôpitl, Problem 4..7 Problem 4..8 i L = lím L + = lím x + x e x x x = se x, ii L = lím x 4x = 4. tg t dt x L x tg x x tg x = lím x 6x = lím x 6x =. x tg x x tg x = lím x + 6x = lím x 6x =, i Utilizdo el desrrollo del seo, e itercmbido sum e itegrl, fx = x = t +! dt = x + + +!. x + ox ii Utilizdo el desrrollo terior y el desrrollo del coseo, L = lím x x / + ox =. f/ fx iii L serie coverge pues lím / = lím x x =. Problem 4..9 Si F x = = F x = x /x x Problem 4.. i gx = + ii El poliomio terior idic = dt o depede de x, + t + x x + /x x + = + x x = ±. = t! dt = + x + +!. = gx = + x5 5! 5 + ox5, es decir, g k = pr k =,, 4, g 5 = /5. Así x = es u puto de iflexió de g.

10 4 Itegrció e u vrible Problem 4.. i Sustituyedo e x =, itegrdo es positivo. Derivdo g e t + e t dt = g =, pues el que e x = implic g = e g x + e g x g x x + x =, e g + e g =. Por el teorem de l fució ivers g = g =. iii Como g es cotiu y o se ul cerc de, se tiee que g es cotiu. Aplicdo L Hôpitl, g x L = lím x g = g x g = Apliccioes. Problem 4.. /6 i A = x x dx+ x x dx = 7 / ii Por simetrí, A = 4 x dx = π. iii A = / x + x dx + / / + x dx + x dx = log ; + x / /6 despejdo ls curvs e y el áre es más fácil de clculr: A = iv Por simetrí, A = b b x x dx = 8 5 b 5/. dy = log. + y / b /

11 4 Itegrció e u vrible Problem 4.. Por simetrí A = = π/4 x x x dx = + / π/4 tg t tg t sec t se t se t cos t dt =. dt - - Problem 4.. Utilizmos l fórmul del áre e coordeds polres, A = i A = π t se t se t cos t dt = π. ii A = iii A = iv A = π π/6 π/4 π/ θ dθ = 4 π. cos θ dθ = π. cos θ dθ =. π θ θ ρ θ dθ. π π π Problem i A = ii A = iii A = x 4 x dx = 8 rc tgx/ + 4 = 4π. + e x dx = log + e x = log. f f, dode f = x x + x dx = cos u du = se u = x + x, medite el cmbio x = tg u; sí A = x + x x =. Si relizmos tmbié el cmbio e los límites de itegrció, + x quedrí A = se u π/4 se u π/ =. iv A = 8 π/4 x + 4 x dx = 8 t dt = π / 4

12 4 Itegrció e u vrible Problem 4..5 A = x x dx = ; V = π x x 4 dx = π. π Problem 4..6 i V = π + se x dx = π ; ii V = π + x x dx = 6π iii V = π iv V = π R π 4R x dx π R x se x dx = 6 π π ; 4R x dx = 8 πr ; b Problem 4..7 i V x = π x dx = 4 πb ; b V y = 4π x x dx = 4 b π b. ii A = x dx = πb. Problem 4..8 i A = 4 b b x dx = πb; x dx = 8π ; ii V = πc y b dy = 4 πbc. iii c = b V x = 4 πb ; c = V y = 4 π b. e x/ e x/ Problem 4..9 i L = + dx = ex/ + e x/ dx = e e ; escribiedo y = coshx/ l itegrl es más fácil, L = seh. π π π ii L = cos t + se t dt = cos t dt = se t dt = 4 iii L = 4 π 8 se t dt = 8. + x / 4 x / dx = 8 8 x / dx = π -8 iv L = v L = / π + x x dx = log. + cos θ + se θ dθ = π π + cos θ dθ = cos θ dθ = 8. /