ACTIVIDADES INICIALES

Transcripción

1 Derivadas I Dada la fució f() : ACTIVIDADES INICIALES a) Calcula las rectas secates que pasa por los putos A(, ) y B(5, ), y por A y C(, 5), respectivamete Cuáles so sus pedietes? f( b) f() b) Calcula lim b b c) Halla la ecuació de la recta tagete e A(, ) a) La recta que pasa por esos putos tiee pediete y 5 La recta que pasa por esos putos tiee pediete m y ( ) ; Es decir, y f( b) f() b b b( b ) b) lim lim lim b b b b b b m, luego su ecuació es y 5( ) ;, luego su ecuació es f ( b) f () c) La pediete de dica recta es pues es m lim Así pues, la ecuació de la recta tagete es b b y ( ) Esto es, y 8 II La fució 5 f admite fució iversa f Utiliza la calculadora para aproimar f () Como ff ( 5 5 ()), se busca co ; 9 La solució está etre y Haciedo ua tabla de valores, se tiee:,6,5,7,6,6,5,965,985,57,756 Así pues, la solució buscada está etre,6 y,6, luego,6 III Calcula la iversa de que f f Para calcular la iversa se despeja f y dibuja las gráficas de f y y y se despeja : ( f f ) f ; ( ) f Comprueba que f f f f f f y y y y IV Dadas g y f, calcula: a) ( f g )() y su domiio b) ( g f )() y su domiio Df R { } a) y Dg R { } b) ( g f )( ) g, g f 7, ( f g) f D f g R 8 {, } está defiida si 7 y si g lo está, f() 7 D g f R, 6

2 EJERCICIS PRPUESTS Aplicado la defiició de derivada, decide si las siguietes fucioes so derivables e los putos idicados y calcula, si eiste, la derivada a) f(), e c) f(), e b) f() se, e d) f(), e a) b) f ( ) f () f () lim lim f f() se f () lim lim ( ) ( ) lim lim c) f ( ) f () f () lim lim d) Se epresa f() como ua fució defiida a trozos: ( ) si si f > > Luego f () si si lim lim lim f f() f '() lim lim Estudia si las siguietes fucioes so derivables e los putos idicados ( ) a) f () si si >,e a b) f() si, e a c) f() si > si, e a si > E todos los casos se comieza estudiado si la fució es cotiua e a, ya que si o lo es, o será derivable lim f f() a) f () lim Luego o eiste el límite, por tato, la fució o es derivable e a lim lim lim f( ) f() b) () lim f ( ) ( ) ( ) lim lim c) E este caso la fució o es derivable e a pues o es cotiua e a Luego f () Calcula el área del triágulo formado por el eje vertical y las rectas tagete y ormal a la curva f() e el puto de abscisa, previa deducció del úmero f'() f( ) f() () lim lim f lim ( ) y y La recta tagete tiee pediete m y pasa por el puto A(, f()) A(, ), luego su ecuació es y y la recta ormal e A(, ) tiee pediete m, luego su ecuació es y Hay que calcular el área del triágulo rectágulo de la figura cuyos vértices so (, ), A(, ) y B(, ), por tato, el área es u y 7

3 La tagete a la curva y f() e el puto P(, f()) pasa tambié por el puto Q(, ) Sabiedo que f '(), calcula f() La ecuació de la recta que pasa por Q co pediete es y y, como la recta pasa por el puto, 5 P,, f() 5 5 Esboza las gráficas de y f'(), y f''() para ua fució f: (, ) R cuya gráfica es la de la figura 5 f 5 f f 6 Si f'() ( ), decide si eiste los úmeros f''() y f''() Se epresa f() como ua fució defiida a trozos: ( )( ) si ( ) { si f ( )( ) si > ( ) si > Se estudia qué ocurre co f '(): f ( ) si < f( ) f() lim { f () lim ( ) si > lim { Así pues ( ) si f que, como ya se sabe, o es derivable e, pues ( ) si > f ( ) f () lim f () lim lim Si, { si f < si > Luego f () 8

4 7 Dada la fució: si f Calcula, si eiste, f '( ), f ''(), f '(), f ''(), f '() y f ''() si > f( ) f ( ) ( ) Si < f lim lim y f ( ) f ( ) ( ) f lim lim Se sabe que f( ) y f ( ) f( ) f ( ) Si > f lim lim y, por tato, f () Así pues, { si f < f () y f () si > Para calcular las derivadas e se observa primero si f y f so cotiuas allí y se calcula los límites laterales: f f() lim lim f f f() lim lim () : así pues f () f f () lim lim f f f f () lim lim () : así pues o eiste () 8 Eiste algua derivada lateral para f e? f() si si > f( ) f() ( ) ( ) f lim lim f( ) f() ( ) f lim lim por tato, se deduce que o eiste si 9 Calcula las derivadas laterales e de la fució: f() si > Es f derivable e? f f() f ( ) lim lim f f() f ( ) lim lim lim Luego la fució o es derivable e 9

5 Dada la fució: < si ( ) si f si < si > Calcula las derivadas laterales e, y La fució es derivable e dicos putos? E f f() f ( ) lim lim f f() f ( ) lim lim lim, luego la fució o es derivable e E ( ) f f ( ( )) f ( ) lim lim f f ( ) ( ) f ( ) lim lim lim lim, luego la fució es derivable e y f ( ) E f( ) f() ( ) 8 f lim lim lim f( ) f() ( ) f lim lim lim lim, luego la fució o es derivable e Ecuetra la abscisa de los putos de la curva y bisectriz del primer cuadrate e el que la tagete sea paralela a la Se busca putos e los que la pediete de la recta tagete sea Para ello se iguala la derivada a f si ó si Hay algú puto e la gráfica de f() co tagete orizotal? ( ) Se busca putos e los que la pediete de la tagete sea : ( ) ( ) o tiee solucioes reales, o ay igú puto co tagete orizotal f, como Calcula la derivada de las siguietes fucioes: a) f ( ) ( ) b) f a) f ( ) ( 6 ) 5 5 b) f 5 c) f ( )( )( ) c) f ( 9 )( ) ( )( ) ( )() 5

6 Copia y completa la siguiete tabla: f() g() f'() g'() ( f g) ( f g)( ) 5 5 Sea f() y g() Calcula: a) ( g f)'() b) ( g f)'() c) ( f g)'() d) ( f g)'() Calculado las derivadas de ambas fucioes: f () y g () a) ( g f)'() g (f())f () 6 b) ( g f)'() g (f())f () ( ) c) ( f g)'() f (g()) g () 6 78 d) ( f g)'() Comprueba, utilizado la derivada de la fució iversa, que la derivada de la fució f es la que ya cooces Como f () y f ', se tiee que f f ( f f)' f ' f ' f ' ( ) Derivado, se obtiee:, luego f ' por lo que f ' 7 Calcula la ecuació de la tagete a la curva derivada de dica fució y 5 e el puto de abscisa, previa deducció de la Como f y 5 f ' 5, se tiee que f f 5 5 ( f f)' f ' f ' 5 f ' ( ) Derivado se obtiee: 5, luego 5 f ' por lo que f ' Por tato, la ecuació de la recta tagete buscada es y f '()( ) f() Calcula e cada caso, el valor de a: a) f '() f () (f )'() a b) f '( ) f () (f )'() a c) f '(5) a f () 5 (f )'() 6 a) (f ) () f '( f ()) f '() b) (f ) () f '( f ()) f ' c) f (5) f (f ()) ( f )'() 6 5

7 9 Calcula la derivada e de la iversa de la fució f() La fució iversa de f es f Teiedo e cueta que f '(), se obtiee: ( f )() f ( f () ) bté la ecuació de la tagete a la curva y e e el puto de abscisa f e, y f ; por tato, la ecuació de la recta tagete es y, y Eiste algú puto e la curva y Se iguala la derivada a : como e co tagete orizotal? f e Pero como la derivada o se aula uca, tato e so siempre positivas, por tato, la curva o tiee tagetes orizotales bté la ecuació de la tagete a la curva e y e e el puto de abscisa e e f ( ) e, f ( ) y f (), luego la recta tagete es y Aproima co la calculadora las abscisas de los putos de corte de y e y Ua solució es, la otra está etre y Se ace ua tabla de valores y se obtiee:,5,,,,775,,7 La solució está etre, y, así que es, Co ayuda de la calculadora gráfica obteemos,79 Calcula la derivada de f l[( )] f ( ) l[( )] 5 Calcula la ecuació de la tagete a la curva y l trazada desde el orige La ecuació de la recta tagete a la curva por el puto (a, f(a)) es y l a a Si pasa por el orige debe ser la, etoces la, a e y la ecuació buscada es y e 5

8 6 Hay algú puto de la gráfica de y l co tagete orizotal? Como D(f) (, ) y orizotales f ( ), o se aula e ese itervalo, por tato, la gráfica o tiee tagetes e 7 Calcula, simplificado al máimo, la derivada de la fució f l e e f ( ) e e e e e e e e 8 Calcula la ecuació de la recta tagete a la curva f se e el orige f ( ) cos y f(), así pues la recta tagete es y 9 Hay algú puto de la gráfica de f tg e el que la tagete tega meor pediete que la bisectriz del primer cuadrate? f ( ), luego las tagetes a la curva siempre tiee pediete mayor que cos bté la derivada de las fucioes: a) f se( e ) b) f se f cos e e a) b) cos f se Ecuetra los putos co abscisa e [ ] sea orizotal, π para los que la tagete a la curva f se cos π 5π f cos se si cos se, luego ó π Los putos buscados so P, y Q 5 π, Po tu calculadora e grados y obté, co ayuda de la misma, de utilizar radiaes e aálisis? se lim Te coveces de la vetaja,º,º,º,º f(),758,758,759,759 π El límite es 8 Halla las derivadas de las fucioes: a) a) f se ( ) b) f cos ( ) cos ( )se (6 ) f ' se ( ) cos( ) ( ) b) f ' 6 cos ( ) 5

9 Calcula la derivada de las fucioes siguietes: a) f arcse ( e ) c) f arccos d) f l( se arcse ) b) f arctg( ) a) b) e f ( ) c) f ( ) e arccos ( ) f ( ) d) f cos se arcse 5 Calcula la derivada de y arccotg (Recuerda que cotg tg ) y ' cos tg se 6 Deriva y simplifica todo lo que puedas la fució: f arctg arctg f ' 7 Deriva las fucioes: a) f arctg(arctg ) b) f arctg(tg arctg) arctg a) f arctg tg f tg arctg cos b) 8 Calcula, mediate derivada logarítmica, las derivadas de: a) f(), co > b) f() se, co > f ( ) f a) l( f ) l l l f ( ) ( l ) b) f se se f f f se se l( ) l se l cos l cos l 9 Si f y g so fucioes positivas y derivables, deduce la derivada de fg y f g mediate derivació logarítmica l( fg) lf lg fg f g fg f g fg fg f g, derivado, se obtiee: f f l lf l g g, derivado se obtiee: g f g f fg fg f f g g g g bté la ecuació de la tagete a la curva: π y cos y π e el puto P(π, ) Derivado la epresió, se obtiee: π y se π y y cos y y, si π, y y se obtiee: π y π π y, luego y y la ecuació de la recta tagete es: y ( π) π π π 5

10 bté la ecuació de la tagete a la curva y e P(, ) de dos formas: utilizado la derivació implícita, y despejado y Derivació implícita: yy e, y se tiee y Despejado y (observa que se está cerca de y, luego y es positivo): y y ', e y Así pues, la recta tagete es y Usa la derivació implícita para calcular la pediete de la recta tagete a la curva dada e el puto de abscisa : a) y 7, si b) y y 6 y, si a) Se deriva: y y y ' Si, etoces y y, por tato, y La tagete es y b) Se deriva: y y y 6y y y Si, etoces y y, por tato, y 8 La ecuació de la tagete es y 8 Usa la derivació implícita para calcular f '' () si (f()) 6 f()f (), f ' f bté co la calculadora se (,) y állalo tambié mediate la aproimació lieal de y se e a Co calculadora: se (,),98669 y co la aproimació lieal L(,) se cos,, 5 Utiliza difereciales para aproimar el valor de, 7, 5, y compara el resultado co el úmero obteido directamete co la calculadora Se cosidera f() 7 5, f () Por tato, f() 56 y f () 5 L(,) f() f (), 56,55 56,55 Co calculadora se obtiee 56,5796 EJERCICIS Derivada de ua fució e u puto 6 Calcula la derivada, por defiició, de las siguietes fucioes e los putos idicados: a) f e b) f e c) f e f ( ) f () a) f () lim lim ( ) lim lim( ) f ( ) f /( ) / b) f ( ) lim lim lim / ( ) f( ) f() c) f () lim lim lim lim lim

11 7 Eplica por qué o eiste las derivadas de las fucioes siguietes e los putos idicados: a) f 5 e 5 b) f e c) f 7 e f(5 ) f(5) a) si > f(5 ) f(5) Luego o eiste la derivada pues o eiste el límite lim si < b) La fució o es cotiua e (tiee ua asítota vertical) y, por tato, o es derivable f( ) f() ( ) si > c) si < f( ) f() Luego o eiste la derivada pues o eiste lim 8 Estudia la cotiuidad y la derivabilidad de las siguietes fucioes e los putos idicados: a) si f si 7 si < e b) f 7 si e ( )( ) a) Cotiuidad: lim lim ( ) ( ) f ( ) f () Derivabilidad: f '() lim lim lim b) Cotiuidad: lim f lim ( 7 ), lim f lim ( 7 ) 7 ( ) lim f ( ) f () Derivabilidad: f '() lim ( ) 7( ) lim lim y f() La fució es cotiua ( ) Iterpretació geométrica: rectas tagete y ormal 9 (TIC) Calcula la ecuació de la recta tagete a cada gráfica e el puto idicado Comprueba a cotiuació tu respuesta represetado, e la calculadora gráfica o e el ordeador, la gráfica de la fució y la de la recta tagete: a) f() e A(, f()) b) g e B(, g()) c) a) f (), f () 6 y f() La recta tagete es y 6 8 g( ) g() b) g'() lim lim 5 La recta tagete es y lim ( ) y g() e C(, ()) ( t) f () c) '() lim lim t t lim () La recta tagete es y t t t t t t( t ) f y 6 8 g y 5 y 56

12 5 Halla los putos de itersecció de las fucioes y e y Comprueba que e dicos putos la tagete a y es perpedicular a y ; ó Calculamos la pediete de la tagete e los putos y f ( ) f () '() lim lim f lim ( ) f ( ) f ' lim lim f lim ( ) Luego las rectas tagetes so y e y, ambas perpediculares a y 5 Calcula las ecuacioes de las rectas tagetes a la gráfica de y trazadas desde el puto P (, ) Represeta gráficamete la parábola y las dos tagetes obteidas f (a) a, la ecuació de la recta tagete a la parábola por el puto A(a, a ) es y a a Si se quiere que pase por el puto P(, ) debe ser a a cuyas solucioes so a y a y y las tagetes buscadas so y y 5 Sea f() a b Halla los valores de a y b para que la recta y sea tagete a la gráfica e el puto P(, ) Como la parábola pasa por P(, ) debe ser a b Además, como la tagete e ese puto tiee pediete, debe ser f () a, luego a y b 5 Halla todas las tagetes a la curva y que pase por P(, ) La tagete a la curva por el puto de abscisa a tiee ecuació y a a Para que pase por P(, ) debe ser 8a a cuyas solucioes so a y a 8, luego las tagetes buscadas so y 8 e y ( 8) 5 (TIC) Dibuja las gráficas de las fucioes f(), g() 6 5 y traza las dos rectas que so tagetes a ambas gráficas Halla las ecuacioes de dicas rectas La ecuació de la recta tagete a la curva y e el puto de abscisa a es y a a La ecuació de la recta tagete a la curva y 6 5 e el puto de abscisa b es y ( b6) b 5 Para que sea la misma recta debe ser a b 6 a b 5 Resolviedo el sistema se obtiee las solucioes: a, b y a, b Las tagetes comues so y e y f y y g 55 Demuestra que la recta y es tagete a la curva dada por la ecuació y 6 8 Halla los putos de tagecia Vuelve a cortar a la curva esa tagete? Se calcula los putos de corte de ambas curvas: 6 8 Las solucioes de esta ecuació so, Luego las curvas se corta e dos putos La recta será tagete e el puto de abscisa a si f (a) Como f (a) a a 8, se tiee f () 8, luego allí la recta corta la curva pero o es tagete y f () Así pues, la recta dada es tagete a la curva e el puto P(, ) 57

13 56 Halla el área limitada por la recta y, la ormal a la curva y 5 e el puto de abscisa y la tagete a la parábola y, e el puto de abscisa Se represeta gráficamete dica área y C A B y 8 y Para ello se alla la ormal a la curva y 5 e el puto de abscisa : f () y 8 la tagete a la parábola y e es y Se alla lo putos de itersecció de las tres rectas: A,, B(, ) y C 6, 5 5 El área es A 5,9 u 5 57 Dada la fució f, comprueba que la recta tagete e el puto de corte co el eje es paralela a la asítota de dica fució 5 La fució corta al eje e A(, f()) A(,, ) y la pediete de la recta tagete e ese puto es f '() ( )( ) ( 5) ( ) f f '() 5 8 Como f, la asítota es y que tambié tiee pediete f( a ) f( a) 58 Qué iterpretació geométrica se puede dar al eco de que lim? La fució tiee tagete vertical e dico puto 59 Supó que g es cotiua e, pero o derivable, dode g() Sea f() g() Es f derivable e? Calcula la ecuació de la tagete a la curva y f() e P (, ) f f() g Se comprueba si eiste f '() lim lim lim g por ser g cotiua e La tagete a y f() e P(, ) es y 58

14 Fució derivada Derivadas sucesivas 6 Aplicado la defiició, calcula la derivada de las fucioes siguietes e los putos e los que esté defiidas: a) c) f f 5 b) f d) f a) f 5 f ( ) f ( ) 5( ) 5 ( f ' lim lim lim b) f, si f ( ) f ' lim lim f lim ( )( ) c) f, si < ) ( 5) f( ) f ( ) f ' lim lim ( ) ( ) lim lim ( ) d) f, si > 5 ( ( ) ) f( ) f ' lim lim f lim ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6 Demuestra que la seguda derivada de ua fució poliómica de segudo grado es siempre ua fució costate Cuáto vale esa costate? P() a b c; etoces P () a b y P () a que es costate La costate es el doble del coeficiete pricipal 6 Ecuetra u poliomio f() sabiedo que f() ; f '() ; f ''() ; f '''(), y f ) () si > Como las derivadas so cero a partir de la cuarta, el poliomio es de tercer grado: f() a b cd y sus derivadas sucesivas so: f () a bc, f () 6ab y f () 6a 6a 6a b Utilizado los valores de la fució y las derivadas e se platea el sistema a b c a b c d Resolviedo el sistema se tiee que el poliomio buscado es f () 59

15 Derivadas laterales 6 (PAU) Dada la fució f c a b < si si Calcula a, b y c para que la fució sea derivable e, sabiedo que f() f() Para que la fució sea cotiua e se debe cumplir que a b c Para que sea derivable e debe ser a c y, como f() f(), debe ser b c Resolviedo el sistema se tiee que a 7, b y c 6 (TIC) Calcula las derivadas laterales de la fució f e el puto Es la fució derivable e dico puto? Esboza su gráfica Se escribe la fució a trozos: { si < f si y y f '( ) f ( ) f () lim lim f ' f ( ) f () lim La fució o es derivable e 6 lim 65 Calcula las derivadas laterales e (si eiste) y decide si las fucioes so derivables e dico puto a) f c) f si si > ( ) si b) f d) f si ( ) si > si > a) La fució está defiida e [, ], luego o eiste la derivada lateral a dereca f ' lim La fució o es derivable e b) f ' lim f ' lim La fució es derivable e y f () c) f ' lim f ' lim La fució o es derivable e d) f ' lim f ' lim La fució o es derivable e 6

16 66 Dadas las fucioes: f() g() 6 { f si < F g si Calcula: a) f (), f () y lim f b) g (), g () y lim g c) F ( - ) y F ( ) Es F() derivable e? Es F() cotiua e? a) f (), f () y lim f ( ) b) g () 6, g () y lim g c) bserva que F() g() 7 F' F' F( ) F() lim lim F( ) F() lim lim ( ) ( ) ( ) 7 lim 6( ) 7 5 ( ) lim Como F'( ) y F'( ) o coicide, la fució F() o es derivable a pesar de que lim f lim g El problema es que F() o es cotiua e pues lim F lim f y lim F lim g 7 F(7) Derivadas de las operacioes co fucioes 67 Dadas las fucioes f y g, calcula: a) f y g b) ( f) 5 '( ) c) ( f g)' d) ( ) f g ' a) f y g 5 f 5 f ' b) c) ( f g) f ' g ' 5 f g f ' g' 9 5 f f f ' ( )( ) d) e) f g f'( g ) f( g ) ' ( ) f) g) ) g g'( f ) gf ' ( ) ( ) f ( ) ( g ) ( f ) 5 g' g ( ) 6

17 68 (TIC) Dada la fució f, represétala co la calculadora gráfica o el ordeador, y aproima los putos e los que su gráfica admite ua tagete paralela a la bisectriz del segudo cuadrate E la gráfica ay dos putos e los que la tagete es paralela a la bisectriz del segudo cuadrate Como se ( ) quiere f (), se calcula ' f si ( ) ( ) ( ) La solució es fácil de ecotrar por tateo La seguda solució se aproima co ayuda de la calculadora E la gráfica se observa que está etre y más cerca del Haciedo ua pequeña tabla co los valores:,,,5,6,6,8,8,5,8 Se observa que ( ) > si <,6 y ( ) < si >,5 luego el segudo puto buscado tiee abscisa,5 y 69 Demuestra esta secilla fórmula que os da la derivada seguda de u producto: ( fg)'' f '' g f ' g ' fg '' [ ] fg '' ( fg)' ' f ' g fg' ' f '' g f ' g' f ' g' fg'' f '' g f ' g' fg''' Derivada de la fució compuesta 7 (TIC) Calcula la derivada de las siguietes fucioes compuestas: a) f ( ) 5 c) f 5 b) f d) f a) ' 5( ) ( 6) f c) f ' 5 8 ( 5) 6 b) f ' d) f ' Sabiedo que f() ; f'() ; g() ; g'() 5 y g'(), calcula: c) ( f g) a) ( f g)'() ( ) 8 ( 5) 6( ( 6) 5 '() e) ( g )'() b) ( g f)'() d) g '() f) ( f )'() f a) ( f g)'() f '( g()) g'() f '() 5 5 b) ( g f)'() g'( f()) f '() g'() c) ( ) f g '() f( g()) f '( g()) g'() f() f '() 5 d) f '( g()) f '() g '() '( g()) g'() g'() 5 5 f f f( g()) f() e) ( g ) g '() 5 '() g() f '() f () f '() f) ) 6

18 7 Si f(), es lo mismo f'( ) que g'(), siedo g() f( )? No, pues f (), luego f ( ) y g () f ( ) ( ) 7 bté la derivada de f() y, a partir del resultado obteido, escribe la derivada de g() f ' ( ) ( ) ( ) 6 Como g() f( ), se tiee que g () f ( ) 6 ( ) 7 Sea f ua fució derivable que cumple f( ) 8 cualquiera que sea el valor de Calcula f(f'()) y f'(f()) Derivado la epresió f( ) 8 se tiee (f()) (8 ), f ( ) 8 para todo Así pues, f () 8 y f(8) f(5 ) y f (f()) f ((f() ) ) 8 75 Si f() má(, ) y g f f Se escribe f como ua fució a trozos: f {, calcula g ' si < < si ó { si f < < si > ó < g'( ) f '( f( )) f '( ) f ' f '( ) ( ) Derivada de la fució iversa 76 Ecuetra ua fórmula para calcular la derivada de la fució f utilizado su fució iversa Aplica el resultado obteido para calcular la derivada e 5 de la fució f f y ( f )' f ' y f '(5) ( ) Derivado, f f 5 f ( f) f f ' luego 77 Comprueba que, e geeral, las derivadas de fucioes iversas o so iversas etre sí Utiliza para ello las fucioes f y g f ' y g ' Se calcula ( f g ) 78 Calcula e cada caso, el valor de b: a) f '() 5 f () (f )'() b b) f '() f ( 5) (f )'( 5) b c) f '( ) b f - (6) (f )'(6) 8 a) (f ) () f ' ( f ()) f ' () 5 b) (f ) (-5) f ' ( f ( 5)) f '() ' ' c) f ( ) f ' ( f (6)) ( f )' (6) 8 6

19 79 (TIC) Calcula las derivadas de estas fucioes: Derivadas de las fucioes elemetales a) f f e) b) f f) f se ( ) c) f l g) f arcse d) ) f e f se( ) cos e) a) f 6 b) f f 6 f) c) f ( ) g) f ( ) d) f ' f 6se cos( ) e ) f ( se( ) cos) ( cos( )) 8 (TIC) Calcula las derivadas de las siguietes fucioes e los putos e los que eista: se l a) f d) f arctg e) f se ( se ) b) f e cos e se c) f f) f se secos cos se se cos arctg a) f arctg b) f e (cos se ) e ( se cos ) (cos se )( e e ) c) f ( ) d) f ( ) ( ) ( ) ( l )( ) ( ) l e) f cos ( se ) se se cos 7cos ( se ) ( se ) se cos f) Ates de derivar coviee escribir la fució de forma más secilla utilizado las propiedades de las razoes trigoométricas: se se cos cos se cos se cos f f se se se se ( se ) 6

20 8 (TIC) Halla las derivadas de las siguietes fucioes: π l a) f l( ) tg c) f tg( π) d) f b) f se( ) e arcse e) f cos e f) ft () t t te t l( ) a) f ' tg cos cos( ) b) f c) f ' e d) f ( ) e) f ( ) ( ) π π π tg l cos ( π ) f) f () t ( tg( π ) ) ( ( e )) l cos t e ( t) t t e ( ( ) ) ( ) ( ( e ) e e e ) arcse cos cos se ( cos ( e )) ( ) t te t t ( ) t te t t t t 8 (TIC) Calcula las derivadas sucesivas de las siguietes fucioes y escribe la epresió geeral de la derivada eésima a) f c) f 7 e e) f l b) f se d) f f) f cos a) f k )! ( k)! k ) f k si k b) ) f ) se, f cos, ) f ) se y f cos c) f d) f e) f ) 7 7 e )! ) ( ) )! ) ) f) f cos(), f se, f cos() y ) f se 65

21 8 (PAU) Determia las ecuacioes de la recta tagete y de la recta ormal a la gráfica de la fució f e e el puto de abscisa f ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) La tagete es y y la ormal y f '() y f () 8 La fució f() o es derivable e y la fució g() se, sí Es derivable e la fució p() se? Como D(p) [, ), solo se puede calcular la derivada lateral a dereca Dica derivada, sí eiste,y para se calcularla observa que eiste los límites lim y lim, luego se se p'( ) lim lim lim 85 Para qué valores de se aula las derivadas de las fucioes siguietes?: a) f e) cos f se b) f) f l f e e c) f l g) f e d) se f l se ) tg f se 6 6 a) f ' 6 b) f ' e e e (e ) e l c) f ' o se aula uca ( ) cos cos se cos d) f ' tg kπ se se cos se ( se ) cos e) f o se aula uca ( se) se f) f ' l 6 g) f e 6 y 6 ( ) se se cos se se ) f que o se aula uca cos se cos se 66

22 86 Sea la fució: π se si < π f π si π Estudia su cotiuidad y su derivabilidad e π lim f se( π ) lim f f( π ) Luego la fució es cotiua e π π π π cos si < π f y lim f ( ) cos(π) lim f ( ) π π siπ< < La fució es derivable e π y f '(π) 87 Estudia e qué putos es derivable la fució: f() ( π ) cos( π) si π se( π) si >π π Si π, la fució es cotiua por ser composició, suma y cociete de fucioes cotiuas y derivables co deomiadores o ulos se( π ) si < π f ' ( π) cos( π) se( π) si >π ( π) se( π) Cotiuidad: lim f lim (( π) cos( π) ) f(π) lim f lim π π π π π Luego la fució es cotiua e todo R Derivabilidad: lim f lim ( se( π )) ( π) cos( π) se( π) lim f lim π π π π ( π) Los límites o coicide, luego la fució o es derivable e π Derivació logarítmica e implícita 88 (TIC) Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a) f b) f e c) f ( se) d) f ( se cos) a) f l e b) f e l c) f ( se) se cos l( se ) ( cos ) se d) ( ) se cos cos se f se cos cos se l(se cos ) se cos 67

23 89 Dada la curva y y 6, se pide: a) Calcula la seguda coordeada del puto P(5), que perteece a dica curva b) Calcula y (5) utilizado la derivació implícita c) Calcula y (5) despejado previamete la y y derivado, posteriormete, la fució obteida (Los valores obteidos debe coicidir) a) Sustituyedo por 5 se tiee y y luego y P (5, ) b) Derivado se obtiee y y y y sustituyedo por 5 e y por : y y luego y (5) c) ( )y 6 luego 6 y e y ( ) Aproimació lieal de ua fució e u puto Diferecial de ua fució 9 (TIC) Sabiedo que l,695, obté la aproimació lieal de la fució f log e y utilízala para obteer los valores aproimados de f() e,;,9 y,9 Compara estos resultados co los obteidos co la calculadora Qué ocurre a medida que os alejamos del? L() l, L(,) l,695,5,6985 Co la calculadora se obtiee l(,),6987, L(,9) l,695-,5,65 Co la calculadora se obtiee l(,9),685886, 9 L(,9) l,695,5,5 Co la calculadora se obtiee l(,9),6777 A medida que os alejamos del la aproimació lieal va empeorado 9 Realiza ua estimació lieal de la variació de la fució 5 5 f(), f '() y L(, ) 9, , 6 f al icremetar la de a, PRBLEMAS 9 Se dice que dos curvas so tagetes e u puto si comparte recta tagete e el mismo Ecuetra ua parábola del tipo y b c que sea tagete a la curva y ( ) e el puto de abscisa y e tiee ecuació y, se quiere que la parábola pase por P(, ) y que su derivada e valga Se platea el sistema: 9 b c y 6 b Resolviedo, se tiee b 6 y c 9 Por tato, la parábola buscada tiee ecuació y 6 9 Como la tagete a 9 Dadas las parábolas f y g 6 6, calcula el área del triágulo formado por el eje y las rectas tagetes a dicas parábolas e el puto de corte etre ellas Se comieza calculado el puto de corte: El puto de corte es A(5, 8) E A(5, 8) la recta tagete a f es y 8 6 ( 5) perado se obtiee y 6 E A(5, 8) la recta tagete a g 6 6 es y 8 6 ( 5) perado se obtiee y 6 8 El área del triágulo de vértices A(5, 8), B, y C 9, es A 9 8 u 68

24 9 (PAU) Ua partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y, para > E el puto P, la abadoa y sigue desplazádose a lo largo de la recta tagete a dica curva a) Halla la ecuació de dica recta tagete b) Si el desplazamieto es de izquierda a dereca, ecuetra el puto e el que la partícula ecuetra al eje c) Si el desplazamieto es de dereca a izquierda, ecuetra el puto e el que la partícula ecuetra a la asítota vertical más próima al puto P a) y', y () La ecuació de la tagete es y ( ) b) Como la partícula o corta al eje e (, ) cuado sigue la trayectoria y, debe ser 9 9 La partícula ecuetra el eje e el puto A(, ; ) c) La asítota más próima a P es Luego la partícula se ecuetra co esa asítota e B(, ) 95 La oja de Descartes es la curva que correspode a la gráfica de la ecuació: y y y tiee esta forma ta sigular: a) Eplica por qué la oja de Descartes o es ua fució b) Comprueba que el puto, Descartes perteece a la oja de c) Mediate la derivació implícita comprueba que la tagete a la curva e el puto, es paralela a la asítota de la oja de Descartes a) La oja de Descartes o es ua fució porque corta a alguas rectas verticales más de ua vez (por ejemplo, a la recta ) b) Sustituyedo e y por se observa que se verifica la ecuació y y c) y y yy Si y se tiee y ' y ', luego la pediete de la tagete e dico puto es y que es paralela a la asítota 96 Dadas las dos curvas y 5y y y y 7y y, se pide: a) Demuestra que ambas pasa por el orige de coordeadas b) Demuestra que las rectas tagetes a dicas curvas e el orige so perpediculares etre sí a) Al sustituir e ambas ecuacioes y, se observa que se cumple ambas igualdades b) Se calcula las derivadas implícitas de ambas curvas y se sustituye e y por para obteer y () yy 5y 5y y Por tato, y () y yy 7y 7y y Por tato, y () Luego las tagetes tiee pedietes y y, por tato, so perpediculares 69

25 97 (PAU) Halla el área del triágulo formado por el eje y las rectas tagete y ormal a la curva de ecuació y e e el puto de abscisa Las rectas tagete y ormal tiee ecuacioes Que corta al eje e los putos B (, ) y y e e C( e, ) y e e e respectivamete El triágulo de vértices A(, e), (, ) B y C( e, ) tiee área e e e u 98 Sea f: [, ] R la fució defiida por: f() ( )( [ ] ) dode [] represeta la parte etera de, es decir, el mayor etero meor o igual que Justifica la verdad o falsedad de las siguietes afirmacioes: a) f es derivable e (, ) b) Si o es etero, f ) () a) Se escribe f como ua fució defiida a trozos: ( ) ( ) ( ) si (,) si, si, f Además f( ), f( ), f(), f() si, Se observa que la fució o es cotiua e porque los límites laterales o coicide Derivado e los itervalos abiertos se tiee que si, si, f, luego la fució es derivable si o es etero si, si, si, si (, ) b) f ' ; si (,) si (, ) ( ) si, si, f si, si, Por tato, las derivadas sucesivas ya será 99 Sea f la fució defiida e (, ) por f ) () ( )! f l Demuestra que para todo etero, es f l, f l f y a partir de aquí se tiee las derivadas sucesivas de siempre multiplicadas por Como si g, g )!, y se obtiee el resultado buscado Determia todas las fucioes f co f() a b c d co a y que verifica f () f () Algua de las fucioes obteidas ateriormete verifica f() f()? Derivado se obtiee f () a b cy Se quiere que a b c a b c Luego b y c a Las fucioes que verifica esto so de la forma f() a a d Si además se impoe la codició de que f() f() debe ser d a a d, luego a debería ser Así pues, igua de las ateriores verifica f() f() 7

26 Se quiere demostrar el eco ya coocido de que la tagete a ua circuferecia e u puto P es perpedicular al radio que va desde el cetro de la misma al puto P Para ello sigue estos pasos: a) Ecuetra la ecuació de la circuferecia de cetro el orige y radio a b) Quédate solo co la semicircuferecia superior para que así sea ua fució c) Calcula la pediete de la tagete a dica semicircuferecia e el puto P(, y ) co > d) Calcula la pediete del radio P e) Comprueba que el producto de las dos pedietes calculadas es a) y a b) y a c) y' La pediete e P(, y ) es a a y si y d) La pediete del radio P es la pediete de la recta que pasa por (, ) y P(, y ), luego vale e) y y y y y Demuestra que si f es periódica y derivable, etoces f' tambié es periódica Se supoe f periódica de período T Etoces f f ( kt ) para k etero Derivado se tiee que f f ( kt ) para cualquier k etero y, por tato, f tambié es periódica Ecuetra ua fució f defiida e (, ) tal que f () si < < 7 si > 7 y que f(7) a si < < 7 f Si queremos f(7) debe ser a o b b si > 7 Para que además sea cotiua e 7 debe cumplirse ambas codicioes U profesor algo despistado propoe a sus estudiates que ecuetre ua fució f defiida e si < 7 (, ) tal que f () y que f(7) U estudiate iteta calcular f y se lleva ua si > 7 sorpresa Eplica qué a ocurrido a si < 7 Si se iteta allar ua fució co estas características se tedría f que debería ser b si > 7 cotiua e 7 pues es derivable allí, luego a y b pero la fució así obteida o es derivable e 7 y,por tato, su derivada o vale e e 7 como debería f( ) f( ) 5 Supó que f es derivable e Demuestra que f () lim (Idicació: resta y suma f() e el umerador) f( ) f( ) f( ) f f( ) f f( ) f f f lim lim lim f ( ) f f ( ) f lim lim ( f '( ) f '( )) f '( ) 7

27 6 E la figura adjuta se represeta la gráfica de la fució derivada f de ua cierta fució f : [, ] R a) Halla ua epresió algebraica de f sabiedo que su gráfica pasa por el orige de coordeadas b) Represeta gráficamete la fució f() y f () c) Se verifica f ''? si a) f ' a si Luego f si < < b si < < Como f() y, al ser f derivable, f es cotiua e, se tiee que a y b b) luego b f c) E la gráfica de f () se observa que o eiste f Se comprueba calculado: f '' lim f '' lim 7 Se a medido la arista de u cubo y el resultado a sido cm, luego el volume de dico cubo será de 78 cm Se supoe que el aparato de medida tiee u error máimo del % Utiliza la aproimació lieal e de la fució que os da su volume, V, para calcular el máimo error cometido al allar el volume L() 78 ( ), luego L( ±,8) 78 ±,8 78 ±,96 Luego el error máimo es de,96 cm 8 Haz ua estimació lieal de la variació del área y el volume de ua esfera al aumetar su radio, R, u % Cuál es la variació real? π ± π ± π La variació del área es de A( R) R, L( R, R) R,8 R Como ±,8π R ± π ± π ± π π, la variació real máima es de A( R, R) ( R, R) R,8 R, R VR R, LR (, R) R, R π ± π ± π La variació del área es de ±,π R,8π R, Como VR ( ±, R) π ( R±, R) π R ±,R,π R ± R, la variació real máima es de,π R 7

28 9 El coste total de producció de q uidades de cierto producto viee dado, e, por la epresió C(q) q 5q Ua empresa produce e la actualidad u total de 5 uidades y estudia la posibilidad de aumetar la producció a 5,5 uidades Estima, utilizado la aproimació lieal, cuál será la diferecia de costes si se produce 5,5 uidades e lugar de 5 L(q,5) C(q),5 C (q) L(5,5) 76,5 5 76,5 Luego la diferecia de costes es de,5 Halla la fució f que cumple que ( )f''() f'() para todo, sabiedo que f() f'() Se sabe que f ', luego ( ) f artg c Si f '(), como f () debe ser c Sea f () la fució defiida por f se si y f () Prueba que f es derivable e R, pero que e cualquier etoro de f' o está acotada Si f () se pues se cos Además f () se f( ) f() lim lim lim se < < y Por tato, f () es tambié derivable para y f () Los siguietes límites se puede escribir como el valor de la derivada de ua cierta fució e u puto Aplicado esta idea, calcúlalos a) ( lim ) b) cos lim π π c) lim π tg π d) cos lim π π a) Tomado f() f ( ) f () ( ), f ' () lim lim π π π cos f( ) f π cos π π b) Sea f () cos, lim lim lim f ' se π π π π tg tg π tg π c) Llamado f() tg y, lim lim f ' π π π cos cos cos( π) cos π d) Llamado f () cos y π lim lim f '( π ) se( π ) π π a) Ecuetra dos úmeros reales a y b para los que: a b b) Sea f :R{,} R defiida mediate la fórmula f bté ua epresió para la derivada -ésima de f a) Debe ser a a b b para todo E particular, si se tiee a b y si, a, luego los úmeros buscados so a y b b) f Como si g, )! )!! g, se tiee f ( ) ( ) 7

29 Sea f ua fució defiida e R que pasa por el orige, que admite seguda derivada y que verifica [ ] f f f Calcula la ecuació de la tagete a la gráfica de f e el puto (, ) Se sabe que [ ( ) ] f f ( ) ( f f ( ) ) Luego ( ) f f f y ua fució cuya derivada es tiee la forma a, así pues f f ' acomo f (), debe ser a y se tiee f() f '() 6 f '() 6 f '() 6 Así pues, la ecuació de la recta tagete e (, ) es y a) Demuestra que la fució f : R R dada por f e tiee iversa b) Prueba que eiste ua fució g :R R derivable y tal que real c) Calcula g'() para cualquier úmero g g e a) La fució es cotiua y su derivada f ' e es siempre positiva, luego la fució es estrictamete creciete Ua fució cotiua estrictamete creciete admite iversa b) La fució que se busca es g() f - () f Se sabe que ( f f )( ) f ( f ) e f tambié que si ( f )' siempre que f ( f ) y como es positiva, se tiee que f es f ( f ) derivable Luego g() f () cumple ambas codicioes c) Se comieza calculado g() Como g() f (), se tiee que f ( g()) e e g() Por tato, ( g ) '() f ( g()) f '() e g() g() 6 Ua partícula que se mueve e el plao baja deslizádose a lo largo de la curva de ecuació y 9 E el puto P (, 5) abadoa la curva y sigue por la recta tagete a dica curva a) Calcula el puto R del eje por el que pasará la partícula b) Eiste algú otro puto Q de la curva tal que la recta tagete a la curva e el puto Q corte al eje e el mismo puto R aterior? a) Como f ( ) ; f '() La recta tagete e P(, 5) es y 5 ( ) perado se obtiee que la recta tagete es y, que corta al eje e R, b) La recta tagete a f () e el puto Q(a, f(a)) tiee ecuació y f(a) obtiee que la recta tagete es y a 9 a 9 a 9 9 Si queremos que pase por R, 5 debe ser 9 9 a ó a a 9 5 a a ( a) perado se 9 9 Por cosiguiete, la recta tagete a la curva e el puto Q(, 5) tambié corta al e R, 5 7

30 7 Sea g ua fució defiida positiva y cotiua e R, y f ua fució cotiua e tal que f lim ( ) Demuestra que f g es derivable e y calcula '() f g f Como lim y f es cotiua, se deduce que f () ( ) Además, por ser g cotiua y positiva: lim g( ) g Por otro lado, () f( ) f ( ) f f lim lim lim lim( ) lim pues ambos límites eiste ( ) Así pues: f f f ( ) f () ( ) () f g g ( ) () '() lim g g f f lim lim lim lim g g g( ) g() 8 Defie a trozos la fució f mi, y calcula ' () Resolvemos la iecuació, como es siempre positiva, se obtiee la iecuació equivalete: ( ), resolviedo la ecuació bicuadrada se obtiee las solucioes y bservado qué ocurre e los itervalos (, ),[,] y (, ) si [, ] y si [, ] La fució es: f si [, ] ( ) 5 > si (, ) (, ) se tiee que: 5 8 f ' (), luego ( f f )() f( f '()) f Demuestra que si la fució f () está acotada e u etoro de, etoces la fució g () f() es derivable e Como f está acotada e u etoro del : lim f, f g'() lim lim f 75

31 PRFUNDIZACIÓN (TIC) Las fucioes trigoométricas, seo, coseo y tagete, está asociadas a la llamada circuferecia goiométrica De maera aáloga, la ipérbola tambié tiee asociadas sus razoes trigoométricas: e Seo iperbólico (BC): se e e Coseo iperbólico (B): cos e se Tagete iperbólica (AD): tg cos C D A B (Siedo e área coloreada e la figura) a) Represeta dicas fucioes e tu calculadora gráfica b) Comprueba que cos() se() c) Calcula las derivadas de las fucioes trigoométricas iperbólicas a) y se y tg y cos e e e e e e e e b) e e e e se ' ' cos c) e e e e cos ' ' se ; Cosidera ua fució f : R R que satisface las siguietes propiedades: i) f ( ) f ( ) f( ) para cualesquiera, ii) f () iii) f () a) Demuestra que f () Idicació: Toma e i b) Demuestra que f() para todo Idicació: Toma e i c) Utiliza la defiició de derivada para probar que f () f () para todo úmero real f d)sea g otra fució que satisface las codicioes i, ii, iii y cosidera k() Demuestra que k es g derivable e todo R, y obté k () Qué relació ay etre f y g? e) Cooces algua fució f que satisfaga las codicioes i, ii, iii? Puede aber más de ua? a) Llamado a f () f ( ) f ()f () a Por tato, a a luego a ó a y como f () se cocluye que f () b) Como f () f ( ( )) f()f ( ), etoces f () o puede ser cero c) Utiliza la defiició de derivada para probar que f () f() para todo úmero real f( ) f f f f f f ' lim lim f lim f f '() f f 76

32 f f f k( ) k gg g f f f g f f g f d) k' lim lim lim lim g g g g g Luego k() es ua fució costate ya que su derivada se aula para todo Pero como f() y g() etoces a y f() g() e) La fució f() e satisface las tres codicioes y por d es la úica f a f a g( ) g( ) Sea () f() g(), dode f y g so fucioes derivables a)ecuetra fórmulas para ll (), lll () y lv () e térmios de f, g y sus derivadas b) Te sugiere estos cálculos algua epresió para ) ()? a) ' f' g f g', luego '' f g f ' g' f ' g' f g'' f g f ' g' f g'' ''' f''' g f '' g' f '' g' f ' g'' f ' g'' f g''' f''' g f '' g' f ' g'' f g''' ) ) ) ) ) f g f g' 6 f '' g'' f ' g f g b) ) k) k) f g k co f ) f ( ) k Supó que f y g so fucioes derivables e todo R y tales que: i) f () ; g() ii) f () g (); g () f () a) Sea () f () g () Calcula () y utiliza el resultado obteido para probar que f () g () para todo b) Supó que F y G so otro par de fucioes derivables que verifica i, ii y cosidera la fució k() [ f F ] [ g G ] Calcula k () y utiliza el resultado obteido para decidir qué relació eiste etre f y F y etre g y G c) Cooces algú par de fucioes f y g que verifique i, ii? Puede aber otras? a) ' ( f g ) f ' f g'( ) g( ) g( ) f f g( ) Luego () es costate y como () f() g(), etoces () para todo y, por tato, f () g () para todo ( f ' F'( ) )( f F( ) ) ( g'( ) G'( ) )( g( ) G( ) ) b) k ' [ f F( ) ] [ g( ) G( ) ] ( g( ) G( ))( f F( )) ( f F( ))( g( ) G( )) Luego k es costate y como k() (f() F()) (g() G()), etoces k() para todo, y como k es la suma de dos cuadrados, debe ser f() F() y g() G(), luego f() F() y g() G() para todo c)sí, f() cos y g() se satisface las codicioes, y por b) so las úicas Para cada úmero real, se cosidera el úmero complejo e i que, aturalmete, depederá de, es decir, será de la forma e i f() ig(), dode f y g so fucioes reales de variable real Se supoe que las reglas de derivació para estas fucioes so las mismas que para fucioes reales, es decir, (e i ) i e i f () ig () a)toma y calcula f () y g() b) A partir de la igualdad e i f() ig(), demuestra que i e i g() if() c)prueba que f () g() y g () f() d) Utiliza el problema aterior y decide quiées tiee que ser f() y g() e)demuestra que e iπ a) e i e i f () ig() etoces f () y g() b) Como i se obtiee la igualdad 77

33 c) Por u lado se tiee que (e i ) iei f () ig (), y por otro iei g() if(), luego f () ig () g() if() y, como para que dos úmeros complejos sea iguales debe teer iguales la parte real y la parte imagiaria, se obtiee f () g() y g () f() d)se sabe que i) f() y g() ; ii) f () g() y g () f() por el problema aterior debe ser f() cos y g() se i e π cosπ iseπ i 5 Sea f la fució defiida e [, ] por f() [] se(π) a) Escribe la fórmula para f e [,]; [, ] y [, ] b) Estudia la derivabilidad de f e y e e iterpreta gráficamete los resultados obteidos a) [] e [, ) luego f() [] se(π) se(π) e [, ] (pues f() [] se() se(π ) [] e [, ) luego f() [] se(π) e [,] (pues f() [] se(π) [] e [, ) luego f() [] se(π) se(π) e [, ] (pues f() [] se(π) se(π ) se( π) f < < se( π) cos( π) < < b) f ' < < cos( π ) < < Como la fució es cotiua e y e, para ver si es derivable basta estudiar los límites: lim f ' lim ( cos( π )) y lim f ' lim luego o es derivable e lim f ' lim y lim f ' lim cos( π ) y tampoco lo es e f 6 Sea f() se si y f() Se supoe que y k so dos fucioes tales que () se ( se( ) ), k () f( ), () y k() Halla: a) ( f ) () b) ( k f ) () c) α ( ), siedo α() ( ) b) Se comieza calculado la derivada de f e a) ( f ) '() f '( ()) '() f '()se ( se) 6se cos se ( se) se f '() lim lim se pues se está acotada Etoces: ( k f)'() k'( f()) f '() k'() f '() k'() c) α '( ) '( ) Luego, α '( ) '( ) (se (se( ))) 78

34 7 Se dice que u úmero a es raíz múltiple del poliomio p(), de multiplicidad, co,,, si p() ( a) q(), co q(a) a) Es a, raíz de multiplicidad del poliomio P() ( ) ( )? b) Prueba que si a es raíz múltiple de p(), de multiplicidad, etoces es raíz múltiple de p (), de multiplicidad a) ( ) ( )( ) por tato, P() ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Luego a es raíz de multiplicidad del poliomio P() b) Sea a raíz múltiple de p() de multiplicidad Por defiició de raíz múltiple de u poliomio se tiee que p ( a) q co q(a) Derivado: p ( a) q ( a) q ( a) [ q ( a) q ] Se comprueba si Q() q ( a) q ' se aula e a: Q(a) q( a) ( a a) q '( a) q( a) puesto que se teía que q(a) Como p ' ( a) [ q ( a) q' ] y además q( a) ( a a) q '( a), se tiee que a es raíz múltiple de p () de multiplicidad Elige la úica respuesta correcta e cada caso: RELACINA CNTESTA Sea f ua fució defiida e R, que admite seguda derivada e todo R A) Si f() > f(), etoces f () f () B) Si g() f (se ), etoces g () > f () C) R, se verifica que (f f ) () f() f () f f() D) Si f (), etoces lim E) Eiste úmeros a para los que lim f lim f a C es verdadera pues ( f f )() f () f () f() f (), por lo que ( f f )() f() f () ( ()) a f Sea g() 6 y f ua fució tal que f () e La tagete a la curva y ( f g) e el puto de abscisa verifica: A) Es orizotal D) Es paralela a la gráfica de y g() B) Tiee pediete egativa E) Nada de lo aterior C) Su pediete es mayor que f () D es verdadera y todas las demás falsas: ( f g) () f ( g() ) g () Como g() y g (), es ( g) f () f () Cosidera la fució f() l se se A)Está defiida e π ; B) Preseta u puto co tagete orizotal C)Su derivada siempre es positiva; D) No es derivable e los putos de corte co el eje orizotal E) f () e los putos e los que es derivable E es verdadera ya que cos sea cual fuere, por lo que f () cos 79

35 Señala, e cada caso, las respuestas correctas: Sea f : R R derivable y tal que su gráfica es simétrica respecto de la recta A) Para todo, f( ) f( ) D) Si lim f, etoces, lim f B) Para todo, f() f( ) E) Si lim f, etoces lim f C) Para todo, f ( ) f () Es verdadera la A, D y E Si la gráfica es simétrica respecto de la recta, debe ocurrir que f( ) f( ) sea cual fuere bservado aora que los úmeros y equidista de pues cocluimos que B tambié es verdadera La afirmació C es falsa como lo prueba la fució f() ( ) y, por ejemplo 5 Para todo mayor que se verifica: A)Si f() B) Si f() C)Si f() e, etoces f () e D) Si f() se, etoces f () se( π) e, etoces f () e E) Si f() cos, etoces f () cos( π), etoces f () ( ) D es verdadera ya que si f() se, f () cos, f () se y se ( π) se E tambié es verdadera ya que f() cos os lleva a f () se, f () cos y cos( π) cos A es falsa pues si f() e, f () e B tambié, ya que f () C es falsa, pues si f(), f () y f () e e ( ) e 6 Sea f : [, ] [, ] la fució defiida por f() ( ) ( [ ]) A) f es cotiua e el itervalo (, ) D) Si Z, f ) () B) f es derivable e el itervalo (, ) E) lim f f ( ) C) f es impar A es verdadera pues f () mide la pediete de la tagete a C e y la pediete de T, es B es falsa, ya que la pediete de T o es sio C es verdadera ya que os dice que f () y f () por lo que al ser f ua fució cotiua (ya que eiste f ()), el teorema de Bolzao os asegura que tomará algua vez el valor e (, ) Aálogamete D tambié es verdadera pues el teorema de los valores itermedios aplicado a la fució cotiua f asegura que tomará algua vez el valor e (, ) 7 Sea f : R R ua fució que admite derivada seguda e cada puto, C su gráfica, T la recta y y T la recta y A)Si T es tagete a C e, etoces f () B)Si T es tagete a C e, etoces f () C)Si T es tagete a C e y T es tagete a C e, eiste a (, ) co f (a) D)Si T es tagete a C e y T es tagete a C e, eiste a (, ) e el que la tagete es orizotal D es verdadera ya que si >, Z, f () () ( [ ] ) ( ) f ) () y si <, Z, f () ( [ ] ) [], por lo que f (), co lo que [], co lo que f () y f ) () tambié será La afirmació A es falsa ya que f o es cotiua e B es obviamete falsa al o ser f cotiua e (, ) C tambié es falsa pues, por ejemplo, f(,5),5 y f(,5),5 8

36 Elige la relació correcta etre las dos afirmacioes dadas: 8 Sea f : R R derivable a: La tagete a la curva y f () e el puto de abscisa es orizotal b: La curva y f() corta al eje de abscisas e el puto de abscisa A) a b D) a y b se ecluye etre sí B) a b pero b a E) Nada de lo aterior C) b a pero a b La relació correcta es la C y f() f () por lo que si se da b, es f(), co lo que y () y se da a Así que b a, pero a b como prueba, por ejemplo, y ( ) ) y ( ) ), co lo que f() verifica a pues ( ), es decir, y () pero f() ( ) o corta al eje orizotal, es decir, o se verifica b Señala el dato iecesario para cotestar: 9 Sea f() g() a se be dode g : R R es ua fució derivable Para calcular la ecuació de la tagete a la curva y f() e el puto de abscisa, os da los siguietes datos a) La curva y g() corta al eje vertical e el puto (, ) b) Las curvas y f(), y g() se corta e el puto de abscisa c) y g() tiee tagete paralela a la bisectriz del primer cuadrate e (, ) d) El puto (, a b) es el máimo de la curva y A) Puede elimiarse el dato a D) Puede elimiarse el dato d B) Puede elimiarse e el dato b E) No puede elimiarse igú dato C) Puede elimiarse e el dato c La ecuació de la tagete pedida es y f() f (), f() b f () g() g () a cos be, por lo que f () g() a b co el dato a), obteemos g() El dato b os dice que f() g(), o sea, g() ase be g(), así que a se be, que juto al dato d) os permite calcular a y b ya que el máimo de la curva y se alcaza e y vale, por lo que segú d, a b, que juto a la igualdad aterior, dada por el dato b, os permite calcular a y b y emos obteido la ecuació de la tagete a y f() si teer que utilizar el dato c, así que la respuesta es C Aaliza si la iformació sumiistrada es suficiete para cotestar la cuestió: Calcular la ecuació de la tagete a la curva f() g() e el puto de abscisa a: La curva y g() es cotiua e b: La fució y g() o es cotiua e, pero está acotada e u etoro de A) Cada iformació, a y b, es suficiete por sí sola D) So ecesarias las dos jutas B) a es suficiete por sí sola, pero b, o E) Hace falta más datos C) b es suficiete por sí sola, pero a, o Cada afirmació, a y b es suficiete por sí sola y la respuesta es A Damos por eco que eiste f() La ecuació de la tagete a dica curva e es y f () f ( ) f () g( ) Si se verifica a lim g( ) lim lim g( ) g(), f () lim lim lim g( ) Si se verifica b lim g( ) por que f() tiede a e y g() es acotada e u etoro de 8