5- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

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1 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 5. Suma de varables aleatoras depedetes Cuado se estudaro las varables aleatoras bdmesoales se habló de ua fucó de varable aleatora bdmesoal. E partcular se ombró la suma de varables aleatoras, pero o se djo ada sobre la dstrbucó de esa v.a. suma. Es a meudo mportate saber cuál es la dstrbucó de ua suma de varables aleatoras depedetes. Cosderamos alguos ejemplos e el caso dscreto - Suma de varables aleatoras depedetes co dstrbucó osso ~ depede tes y ; ~ ; ~ Dem. Cosderamos el eveto como uó de evetos excluyetes,, etoces!!, e e e depedetes e e e!!!!!!! Bomo de Newto O sea + tee dstrbucó osso co parámetro - Suma de varables aleatoras bomales depedetes, ~ depede tes y ;, ~ ;, ~ p B p B p B Dem. Nuevamete cosderamos el eveto como uó de evetos excluyetes,, etoces p p p p, e depedetes p p E la expresó ateror s r j etoces j r

2 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte or últmo usamos la sguete detdad combatora etoces rof. María B. tarell p p O sea + tee dstrbucó bomal co parámetros y p Observacó: e los dos casos aterores se puede geeralzar el resultado a varables aleatoras depedetes, usado el prcpo de duccó completa, es decr - S,,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ para todo,,..., etoces ~ - S,,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ B, p para todo,,..., etoces ~ B, p Suma de varables aleatoras ormales depedetes S e so dos varables aleatoras cotuas depedetes co desdades gx y hy respectvamete se puede probar o lo demostraremos aquí que la v.a. Z tee desdad dada por f z g z y h y dy Usado esto se puede demostrar el sguete mportate resultado: eto- S e so varables aleatoras depedetes dode ~ N, y ~ N, ces ~ N, or duccó completa se puede geeralzar este resultado a varables: S,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ N, para todo,,,..., etoces ~ N, De lo ateror y del hecho que ~ N, a b ~ Na b, a S,..., teemos:, so varables aleatoras depedetes dode ~ N, para todo,,..., etoces a ~ N a, a dode a, a,..., a so úmeros reales 34

3 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Se dce que a es ua combacó leal de varables aleatoras. Ejemplos: - La evoltura de plástco para u dsco magétco está formada por dos hojas. El espesor de cada ua tee ua dstrbucó ormal co meda.5 mlímetros y desvacó estádar de. mlímetros. Las hojas so depedetes. a Determe la meda y la desvacó estádar del espesor total de las dos hojas. b Cuál es la probabldad de que el espesor total sea mayor que 3.3 mlímetros? Solucó: Sea las varables aleatoras : espesor de la hoja e : espesor de la hoja Etoces ~ N.5,. ; ~ N.5,. y e depedetes a S defmos la v.a. Z: espesor total de las dos hojas, etoces Z or lo tato Z ~ N.5.5,.. es decr Z ~ N 3,. E cosecueca, Z V Z. b Se pde calcular Z 3.3 E Z 3 Z Z Tego tres mesajes que ateder e el edfco admstratvo. Sea : el tempo que toma el - ésmo mesaje =,,3, y sea 4 : el tempo total que utlzo para camar haca y desde el edfco y etre cada mesaje. Supoga que las so depedetes, ormalmete dstrbudas, co las sguetes medas y desvacoes estádar: 5 m, 4, 5,, 3 8, 3, 4, 4 3 eso salr de m ofca precsamete a las. a.m. y deseo pegar ua ota e m puerta que dce regreso a las t a.m. A qué hora t debo escrbr s deseo que la probabldad de m llegada después de t sea.? Solucó: Defmos la v.a. Z: tempo trascurrdo desde que salgo de m ofca hasta que regreso, etoces T 3 4 or lo tato T 4 ~ N 4 4,, y se pde hallar t tal que T t y t 5 5 Etoces T t., es decr t t 5 Buscado e la tabla de la ormal.33 t El acho del marco de ua puerta tee ua dstrbucó ormal co meda 4 pulgadas y desvacó estádar de /8 de pulgada. El acho de la puerta tee ua dstrbucó ormal co meda de pulgadas y desvacó estádar de /6 de pulgadas. Supoer depedeca. a Determe la dstrbucó, la meda y la desvacó estádar de la dfereca etre el acho del marco y de la puerta. 35

4 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell b Cuál es la probabldad de que la dfereca etre el acho del marco y de la puerta sea mayor que ¼ de pulgada?. c Cuál es la probabldad de que la puerta o quepa e el marco?. Solucó: Sea las varables aleatoras : acho del marco de la puerta e pulgadas : acho de la puerta e pulgadas Etoces ~ N 4, /8, ~ N 3.875, /6, e depedetes a Se pde la dstrbucó de -,, V E E E E 5 V V V or lo tato 5 ~ N.5, 6 b Se pde la probabldad / / o equvaletemete, por lo tato c S la puerta o etra e el marco etoces se da el eveto Supogamos que las varables aleatoras e deota la logtud y el acho e cm, respectvamete, de ua peza. Supogamos además que e so depedetes y que ~ N,., ~ N5,.. Etoces Z = + es ua v.a. que represeta el perímetro de la peza. Calcular la probabldad de que el perímetro sea mayor que 4.5 cm. Z, o sea Z ~ N4,. Solucó: teemos que ~ N 5,.. La probabldad pedda es Z 4.5, etoces Z S se aplca dos cargas aleatoras y a ua vga voladza como se muestra e la fgura sguete, el mometo de flexó e debdo a las cargas es a a. a Supoga que y so v.a. depedetes co medas y 4 KLbs respectvamete, y desvacoes estádar.5 y. KLbs, respectvamete. 36

5 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell a 5 pes y S estádar del mometo de flexó? b S flexó supere 75 KLbs? a pes, cuál es el mometo de flexó esperado y cuál es la desvacó y está ormalmete dstrbudas, cuál es la probabldad de que el mometo de Solucó: Sea la v.a. Z: mometo de flexó e, etoces Z 5 or lo tato a E Z 5E E V Z Z b S y está ormalmete dstrbudas, etoces Z ~ N5, 4 or lo tato Z romedo de varables aleatoras ormales depedetes S,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ N, para todo,,,..., etoces la v.a. meda y varaza tee dstrbucó ormal co Dem. Notar que dode a es u caso partcular de combacó leal de varables aleatoras para todo,,..., Además e este caso y para todo,,..., or lo tato, tee dstrbucó ormal co esperaza y varaza Es decr, ~ N, Observacó: a se lo llama promedo muestral o meda muestral 37

6 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Ejemplos: El dámetro tero de u allo de pstó seleccoado al azar es ua v.a. co dstrbucó ormal co meda cm y desvacó estádar de.4 cm. a S es el dámetro promedo e ua muestra de allos, calcule.99. b Qué ta probable es que el dámetro promedo exceda de. cuado 5? Solucó: a Sea las varables aleatoras Etoces ~ N,.4 para cada. or lo tato ~ N,.4. Etoces 6 : 6 dámetro del allo,,..., b E este caso ~ N,..4, etoces Ua máqua embotelladora puede regularse de tal maera que llee u promedo de ozas por botella. Se ha observado que la catdad de cotedo que sumstra la máqua preseta ua dstrbucó ormal co oza. De la produccó de la máqua u certo día, se obtee ua muestra de 9 botellas lleas todas fuero lleadas co las msmas poscoes del cotrol operatvo y se mde las ozas del cotedo de cada ua. a Determar la probabldad de que la meda muestral se ecuetre a lo más a.3 ozas de la meda real para tales poscoes de cotrol b Cuátas observacoes debe clurse e la muestra s se desea que la meda muestral esté a lo más a.3 ozas de co ua probabldad de.95? 38

7 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Solucó: a Sea las varables aleatoras Etoces ~ N, para cada : cotedo e ozas de la botella or lo tato ~ N,. Se desea calcular b Ahora se pretede que ,,..., Etoces Medate la tabla de la acumulada de la ormal estádar se tee que O sea S tomamos 43, etoces.3 será u poco mayor que Teorema cetral del límte Acabamos de ver que la suma de u úmero fto de varables aleatoras depedetes que está ormalmete dstrbudas es ua varable aleatora també ormalmete dstrbuda. Esta propedad reproductva o es exclusva de la dstrbucó ormal. E efecto, por ejemplo, ya vmos que exste varables aleatoras dscretas que la cumple, es el caso de la osso y la Bomal. E realdad, la propedad que le da a la dstrbucó ormal el lugar prvlegado que ocupa etre todas las dstrbucoes es el hecho de que la suma de u úmero muy grade, rgurosamete u úmero fto umerable, de varables aleatoras depedetes co dstrbucoes arbtraras o ecesaramete ormales es ua varable aleatora que tee, aproxmadamete, ua dstrbucó ormal. Este es, esecalmete, el cotedo del 39

8 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Teorema cetral del límte T.C.L.: Sea,,..., varables aleatoras depedetes co E y V para todo,,...,, es decr depedetes détcamete dstrbudas S Sea la v.a. S y sea Z. Etoces lm Z z z Dem. s demostracó Observacoes: E S E E - Notar que y or lo tato Z S es la v.a. z S, esto es lm z e S x V S estadarzada V V S S - Notar que z z, por lo tato també se puede eucar el Teorema cetral del límte de la sguete forma Sea,,..., varables aleatoras depedetes co E y V para todo,,...,, es decr depedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. promedo muestral y sea Z. Etoces lm Z z z z, esto es lm z e x dx dx Dode Z es el promedo muestral estadarzado 3- Auque e muchos casos el T.C.L. fucoa be para valores de pequeños, e partcular dode la poblacó es cotua y smétrca, e otras stuacoes se requere valores de más grades, depededo de la forma de la dstrbucó de las. E muchos casos de terés práctco, s 3, la aproxmacó ormal será satsfactora s mportar cómo sea la forma de la dstrbucó de las. S 3, el T.C.L. fucoa s la dstrbucó de las o está muy alejada de ua dstrbucó ormal 4- ara terpretar el sgfcado del T.C.L., se geera por computadora valores de ua v.a. expoecal co parámetro. 5, y se calcula el promedo de esos valores. Esto se repte veces, por lo tato teemos valores de la v.a.. 4

9 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Hacemos u hstograma de frecuecas de, esto es, tomamos u tervalo a, b dode cae todos los valores de, y lo subdvdmos e tervalos más chcos de gual logtud. La frecueca de cada subtervalo es la catdad de valores de que cae e dcho subtervalo. Se grafca estas frecuecas obteédose los gráfcos sguetes que se puede cosderar ua aproxmacó a la verdadera dstrbucó de. Se observa que a medda que aumeta el valor de los gráfcos se va hacedo más smétrcos, parecédose a la gráfca de ua dstrbucó ormal. 5 = 8 = = = Ejemplos: - Supógase que 3 strumetos electrócos D, D,...,D3, se usa de la maera sguete: ta proto como D falla empeza a actuar D. Cuado D falla empeza a actuar D3, etc. Supógase que el tempo de falla de D es ua v.a. dstrbuda expoecalmete co parámetro =. por hora. Sea T el tempo total de operacó de los 3 strumetos. Cuál es la probabldad de que T exceda 35 horas? Solucó: S : tempo de falla del strumeto D,,..., 3 Etoces ~ Exp. para,,..., 3 El tempo total de operacó de los 3 strumetos es T, dode E T E 3 3 E

10 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell 3 V T V V. T 3 Etoces por T.C.L. ~ N, aproxmadamete pues 3 La probabldad pedda es T T T.C.L Supoga que el cosumo de calorías por día de ua determada persoa es ua v.a. co meda 3 calorías y desvacó estádar de 3 calorías. Cuál es la probabldad de que el promedo de cosumo de calorías daro de dcha persoa e el sguete año 365 días sea etre 959 y 35? Solucó: Defmos las varables aleatoras : catdad de calorías que ua persoa cosume e el día,,..., 365 Se sabe que E 3 y V S etoces E 3 y V La probabldad pedda es T.C.L. Aplcacoes del Teorema cetral del límte Aproxmacó ormal a la dstrbucó bomal El Teorema cetral del límte se puede utlzar para aproxmar las probabldades de alguas varables aleatoras dscretas cuado es dfícl calcular las probabldades exactas para valores grades de los parámetros. Supogamos que tee ua dstrbucó bomal co parámetros y p. ara calcular debemos hacer la suma o recurrr a las tablas de la F.d.a., pero para valores de grades o exste tablas, por lo tato habría que hacer el cálculo e forma drecta y muchas veces es laboroso. Como ua opcó podemos cosderar a como suma de varables aleatoras más smples, específcamete, s defmos 4

11 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell s e la í ésma repetcó de ocurre caso cotraro etoces cada odemos escrbr se la puede cosderar B, p éxto,,...,, y además,,..., so depedetes... y s es grade etoces tedrá aproxmadamete ua dstrbucó ormal co parámetros p y, es decr. p Z N, s es lo sufcetemete grade. p p p p Observacoes: - La aproxmacó ormal a la dstrbucó bomal fucoa be au cuado o sea muy grade s p o está demasado cerca de cero o de uo. E partcular la aproxmacó ormal a la bomal es buea s es grade, y p 5, pero es más efectvo aplcar esta aproxmacó cuado y p p p 5 - Correccó por cotudad. Acabamos de ver que s B,p etoces, para sufcetemete grade, podemos cosderar que aproxmadamete es N.p,.p p. El problema que surge de medato s deseo calcular, por ejemplo, la probabldad de que co alguo de los valores posbles,,,, es que la bomal es ua dstrbucó dscreta y tee setdo calcular probabldades como metras que la ormal es ua dstrbucó cotua y, e cosecueca, puesto que para ua varable aleatora cotua la probabldad de que ésta tome u valor aslado es cero. Esto se resuelve s se cosdera També se puede usar esta correccó para mejorar la aproxmacó e otros casos, específcamete e lugar de calculamos e lugar de E los gráfcos sguetes se muestra para dferetes valores de y p cómo aproxma la dstrbucó N p, p p a la dstrbucó B, p = 5 p =.7 = 5.5 p =

12 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell =5 p = = p = = 5 p =..3 = p = Ejemplos: - Sea B5,.4. Hallar las probabldades exactas de que 8 y 8 y comparar estos resultados co los valores correspodetes ecotrados por la aproxmacó ormal. Solucó: De la tabla de la F.d.a. de la bomal ecotramos Ahora usamos la aproxmacó ormal p p p correccó por cotudad Observar que el valor aproxmado está muy cercao al valor exacto para Nuevamete este valor aproxmado está muy cerca del valor real de 8. 44

13 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell - Supoga que el % de todos los ejes de acero producdos por certo proceso está fuera de especfcacoes, pero se puede volver a trabajar e lugar de teer que evarlos a la chatarra. Cosdere ua muestra aleatora de ejes y deote por el úmero etre ellos que esté fuera de especfcacoes y se pueda volver a trabajar. Cuál es la probabldad aproxmada de que sea a a lo sumo 3? b meos de 3? c etre 5 y 5 clusve? Solucó: Sea la v.a. : úmero de ejes fuera de especfcacoes Etoces ~ B,., además p. 5 y p. 8 5 or lo tato podemos aplcar la aproxmacó ormal a la bomal a la probabldad pedda es p 8 p p 8 b La probabldad pedda es 3 Al ser ua v.a. dscreta co dstrbucó bomal c El gerete de u supermercado desea recabar formacó sobre la proporcó de cletes a los que o les agrada ua ueva polítca respecto de la aceptacó de cheques. Cuátos cletes tedría que clur e ua muestra s desea que la fraccó de la muestra se desvíe a lo más e.5 de la verdadera fraccó, co probabldad de.98?. Solucó: Sea : úmero de cletes a los que o les agrada la ueva polítca de aceptacó de cheques Etoces ~ B, p dode p es descoocdo y es la verdadera proporcó de cletes a los que o les agrada la ueva polítca de aceptacó de cheques. El gerete tomará ua muestra de cletes para estmar p co ya que es la proporcó de cletes a los que o les agrada la ueva polítca de aceptacó de cheques e la muestra de cletes. S o se toma a todos los cletes, etoces o será gual a p. La preguta es cuál debe ser para que se aleje del verdadero p e meos de.5 co probabldad.98 por lo meos, o sea para que p Etoces plateamos.5 p p.5.5 p.5 p p p p.5 p p T.C.L. 45

14 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell.5 p p.5 p p.5.98 p p.5.98 or lo tato. 99 p p Además.5 p p.5 p p Etoces debe cumplrse que o sea O sea se debe tomar ua muestra de al meos 6 cletes Aproxmacó ormal a la dstrbucó osso Se puede probar aplcado Teorema cetral del límte que S ~ etoces para sufcetemete grade tee aproxmadamete dstrbu- có N, Es decr para sufcetemete grade N, E la práctca s 3 la aproxmacó es buea. Observacó: la demostracó es seclla s es gual a u úmero atural pues, s cosderamos las varables aleatoras ~ co,,..., depedetes, etoces ya sabemos que ~, es decr ~ ero además por T.C.L. s es grade tee aproxmadamete dstrbucó ormal co pa- rámetros y O sea la dstrbucó de que es exactamete osso co parámetro, se puede aproxmar co ua N,, por lo tato N, aproxmadamete para valores de sufcetemete grades E los gráfcos sguetes se muestra para dferetes valores de cómo aproxma la dstrbucó N, a la dstrbucó 46

15 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Ejemplo: El úmero de fraccoes por estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl tee ua dstrbucó de osso co parámetro = 5. Cuál es la probabldad aproxmada de que: a más de 35 y a lo sumo 7 fraccoes se expda e u día e partcular? b el úmero total de fraccoes expeddas durate ua semaa de 5 días sea más de 5 y a lo sumo 75? Solucó: Sea : úmero de fraccoes por estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl Etoces dode Como 5 etoces N, 5 aproxmadamete a la probabldad pedda es ~ b Sea : úmero total de fraccoes expeddas durate ua semaa de 5 días Etoces ~ dode La probabldad pedda es

16 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell ráctca Suma de varables aleatoras - Teorema cetral del límte. U hueco clídrco es perforado co u bloque de acero y se fabrca u pstó clídrco que quepa e el hueco. El dámetro del hueco es ua v.a. co dstrbucó ormal co meda cm y desvacó estádar. cm. El dámetro del pstó es ua v.a. co dstrbucó ormal co meda 9.9 cm y desvacó estádar. cm. La holgura es otra v.a. Z y es la mtad de la dfereca etre los dámetros. S e so depedetes, cuál es la probabldad de que la holgura sea meor que.8 cm? U compoete e forma de U esta formado por tres pezas A, B y C. La fgura lustra el compoete. La logtud de A tee ua dstrbucó ormal co meda de mm y desvacó estádar de. mm. El espesor de las pezas B y C esta dstrbudo ormalmete co meda de mm y desvacó estádar de.5 mm. Supoga que todas las dmesoes so depedetes. a Determe la meda y la desvacó estádar de la logtud del hueco D. b Cuál es la probabldad de que el hueco D sea meor que 5.9 mm?. 3 La v.a., que represeta el úmero de cerezas e ua tarta, tee la sguete dstrbucó de probabldad x a Ecuetre E y V = x b Ecuetre la esperaza y la varaza del úmero de cerezas promedo e 4 tartas c Ecuetre la probabldad aproxmada de que el úmero promedo de cerezas e 4 tartas sea meor que Uos tambores, co ua etqueta de 3 L, so lleados co ua solucó proveete de ua pleta grade. Se agrega ua catdad aleatoramete de la solucó e cada tambor co meda de 3. L y desvacó estádar de. L. a Cuál es la probabldad de que la catdad total de la solucó coteda e 5 tambores sea mayor a 5 L? b S la catdad total de la solucó e la pleta es de 4 L, cuál es la probabldad de que pueda llearse 8 tambores s que se acabe la solucó? c Cuáta solucó debe coteer la pleta para que la probabldad sea.9 de que pueda llearse 8 tambores s que se acabe la solucó? Observacó: Supogamos que se tee varables aleatoras,,...,, depedetes y co la msma dstrbucó de probabldad. Se dce que,,..., forma ua muestra aleatora de tamaño. 5 La ressteca a la ruptura de u remache tee u valor medo de lb/pulg y ua desvacó estádar de 5 lb/pulg. a Cuál es la probabldad de que la ressteca meda a la ruptura de la muestra, para ua muestra aleatora de 4 remaches, sea etre 99 y? 48

17 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell b S el tamaño muestral hubera sdo 5 e lugar de 4, podría calcularse la probabldad pedda e la parte a a partr de la formacó dada? 6 Se sabe que la dureza Rocwell de peros de certo tpo tee u valor medo de 5 y desvacó estádar de.5. a S la dstrbucó es ormal, cuál es la probabldad de que la dureza muestral meda para ua muestra aleatora de 9 peros sea por lo meos 5? b Cuál es la probabldad aproxmada de que la dureza muestral meda para ua muestra aleatora de 4 peros sea al meos 5 s o se puede afrmar que la dstrbucó de la dureza Rocwell sea ormal? 7 Supoga que la desdad del sedmeto g/cm de u espécme seleccoado al azar de certa regó está ormalmete dstrbuda co meda.65 y desvacó estádar.85. a S se seleccoa ua muestra aleatora de 5 especímees, cuál es la probabldad de que la desdad promedo de sedmeto muestral sea a lo sumo 3.?. etre.65 y 3.? b Qué ta grade se requerría u tamaño muestral para asegurar que la prmera probabldad de la parte a sea por lo meos.99?. 8 Supoga que es ua v.a. bomal co = y p =.. a Calcular la probabldad exacta de que sea meor que 4. b Aproxme la probabldad de que sea meor que 4 y compare el resultado co el del cso a. c Aproxme la probabldad de que 8 < <. 9 Supoga que el % de todos los ejes de acero producdos por certo proceso está fuera de especfcacoes, pero se puede volver a trabajar e lugar de teer que evarlos a la chatarra. Cosdere ua muestra aleatora de ejes y deote por el úmero etre ellos que esté fuera de especfcacoes y y se pueda volver a trabajar. Cuál es la probabldad aproxmada de que sea a a lo sumo 3? b meos de 3? c etre 5 y 5 clusve? Se procede a deteer el fucoameto de ua máqua para repararla s e ua muestra aleatora de artículos de la produccó dara de la máqua se ecuetra por lo meos 5% de artículos defectuosos. Supoga que la produccó dara costa de u gra úmero de artículos. S realmete la máqua produce solo % de artículos defectuosos, ecuetre la probabldad de que se pare la máqua u día dado. Sea la v.a. : º de mperfeccoes e ua pulgada de u alambre de cobre, se puede cosderar a v.a. dscreta co la f.d.p. x 3 a Se toma ua muestra de alambres. Cuál es la probab- px ldad de que el úmero promedo de mperfeccoes por alambre e esta muestra sea meor a.5? Sugereca: cosderar las varables : º de mperfeccoes e alambre, co =,,, b Cuál es la probabldad aproxmada de que meos de 45 de éstos alambres o tega mperfeccó? Sugereca: sea : º de alambres s mperfeccoes, se pde calcular e forma aproxmada 45 49

18 Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell 5

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