FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS ACADEMIA DE PROBABILIDAD Semestre:

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1 FAULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE IENIAS BÁSIAS OORDINAIÓN DE IENIAS APLIADAS AADEMIA DE PROBABILIDAD Semestre: 07- SOLUIÓN SERIE MODELOS PROBABÍLISTIOS DISRETOS. Un ingeniero para su empresa de fabricación de computadoras compra, a un proveedor, grandes cantidades de un cierto componente electrónico y ha adoptado un plan para aceptar cada uno de los envíos de éstos, el cual consiste en inspeccionar una muestra aleatoria de componentes. Si el comprador encuentra a lo más dos componentes defectuosos en la muestra acepta el lote enviado por el proveedor. Se sabe por registros de la empresa que los envíos de este proveedor traen el 6% de componentes defectuosos. a) uál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? b) uál es el número esperado de los componentes defectuosos que deberá esperar el ingeniero siempre que revise una muestra de componentes? c) uál es la probabilidad de que se presente en dicha muestra el primer componente defectuoso en el tercero que se revisa? d) uál es la probabilidad de que se presente en la muestra el segundo componente defectuoso en el quinto que se revisa? a) ~ Bin [n =, p = 0.6] = Número de componentes defectuosos (éito). P(Aceptación) = P(Salgan en la muestra ninguno ó uno ó dos componentes defectuosos) P(Aceptación) = 0 (0.84) (0.6) 0 0 (0.6) (0.84) (0.6) (0.84) (0.6) (0.84) b) μ = n p = (0.6) =.6 componentes c) ~ Geom [p = 0.6] = número de pruebas hasta que aparece el primer componente defectuoso (éito) G( = 3; p = 0.6) = p - q = (0.84) (0.6) = 0.9 d) ~ Bin Neg.[r =, p = 0.6] = p q = Número de pruebas hasta que aparece el segundo componente defectuoso (éito) r 9 r 4 3 B*( = ; r =, p = 0.6) (0.6) (0.84) El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por eperiencia, que el 0% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta reservas pero sólo dispone de 0 mesas, cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? Sea Y= número de mesas ocupadas (éito) Probabilidad de éito p= 0.8 de ocupar la mesa, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas, n=. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que se ocupen 0 o menos mesas. Así se tiene que: Binomial _SOL_SERIE_Mod_Prob_Discretos

2 0 i P Y 0 * 0.8 * 0. i % i 0 i 3. De la eperiencia en semestres pasados se sabe que en una prueba de conocimientos generales aplicada al azar acreditan el 60% de los sustentantes. uál es la probabilidad de que en un grupo de 39 alumnos a) acrediten 6 alumnos? b) acrediten todos? c) reprueben? d) reprueben todos? a) onsideramos aprobar un éito, por lo que p 0.6 y q 0.4 X binomial n 39, p 0.6, P X b) onsideramos aprobar un éito, por lo que p 0.6 y q 0.4 b n 39, p 0.6, P X c) onsideramos reprobar un éito, por lo que p 0.6 y q 0.4 b n 39, p 0.4, 4 39 P X d) onsideramos reprobar un éito, por lo que p 0.6 y q 0.4 b n 39, p 0.6, P X Un pediatra desea reclutar parejas, cada una de las cuales espera a su primer hijo, para participar en un nuevo régimen de alumbramiento natural. Sea p=p(una pareja seleccionada al azar está de acuerdo en participar). Si p=0., a) uál es la probabilidad de que parejas tengan que ser entrevistadas antes de encontrar que estén de acuerdo en participar? Es decir, con S=éito=(está de acuerdo en participar) uál es la probabilidad de que ocurran fallas antes del º éito? b) uál es la probabilidad de que cuando mucho se observen fallas (cuando mucho con parejas entrevistadas)? En este caso se trata de una distribución binomial negativa. r nb ; r, p p p, 0,,,... r r a) donde: =número de fallas que preceden al éito r-ésimo. r. El eperimento continúa (se realizan ensayos) hasta que un total de r éitos hayan sido observados, donde r es un entero positivo especificado. P=probabilidad de éito=s. Sustituyendo r= éitos (con el º y último éito) P=0. y = fallas precediendo al r-ésimo éito. ;, nb;,0. nb r p 4 P X nb ;,0. P X 0 07_SOL_SERIE_Mod_Prob_Discretos

3 Un lote contiene 0 piezas de un proveedor de tubería local y 00 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, a) cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b) uál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? c) uál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? a) Sea X igual al número de piezas de la muestra del proveedor local (éito). b) Entonces, tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(=4). Por consiguiente, P % c) d) P P % P P Si un profesor califica como entregada una tarea en un grupo de 0 alumnos, pero revisa a detalle sólo 7 de esas tareas. uál es la probabilidad de que descubra que alguien hizo trampa dado que cinco alumnos entregaron tareas idénticas. X hipergeométrica N=0 n=7 k= = tareas iguales (éito), por lo que X=,3,4, Aunque el resultado para = se obtiene mediante h(n=0, n=7, k=, ) P X _SOL_SERIE_Mod_Prob_Discretos 3

4 No puede hacerse para =, ya que se necesitan o más tareas para comparar. Por lo tanto calculamos para P(X = ) = 0.3 P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = ) = 9.94 X -06 La probabilidad de descubrir la trampa es P X Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución de Poisson con una media de.3 imperfecciones por milímetro. a) Determine la probabilidad de imperfecciones en un milímetro de alambre. b) Determine la probabilidad de imperfecciones en milímetros de alambre. c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en mm de alambre a) Determine la probabilidad de imperfecciones en un milímetro de alambre. Se tiene λ = E() =.3 imperfecciones X:v.a.d. número de imperfecciones (éito) Poisson P %!.3 e.3 b) Determine la probabilidad de imperfecciones en milímetros de alambre. Sea que X denote el número de imperfecciones en milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución Poisson con λ = E() = mm.3 imperfecciones/mm =. imperfecciones. Por lo tanto,. e. P 0.9.9%! c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en mm de alambre. Sea que denote el número de imperfecciones en milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con λ = E() = mm.3 imperfecciones / mm = 4.6 imperfecciones Por lo tanto, 4.6 P P 0 e % 8. El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, un número esperado de cinco vegetales por día. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de cinco vegetales a) En un día dado. b) En tres de los siguientes cuatro días c) Por primera vez en abril, el día a) Utilizando la distribución de Poisson con λ = encontramos que: P( ) 0 e! b) Utilizando la distribución binomial con p = 0.384, n = 4 y =3, obtenemos: 4 P( 3) (0.384) 3 3 (0.66) _SOL_SERIE_Mod_Prob_Discretos 4

5 c) Utilizando la distribución geométrica con p = y =, obtenemos: P( ) (0.384 ) (0.66 ) Sea X la v. a. que representa el número de ensayos hasta encontrar el primer motor no defectuoso. 9. Un gran lote de llantas contiene % de defectuosos, y de ahí se elegirán cuatro para colocarlas en un auto. a) obtener la probabilidad de que seis llantas deban seleccionarse del lote para obtener cuatro en buen estado. X Geometrica (p = 0.9) P( X = ) = (0.)(0.9) = 0.09 b) calcular el valor esperado y la varianza del número de selecciones que deben efectuarse para obtener cuatro llantas sin defectos. Sea Y el número de llantas que deben ser seleccionadas hasta encontrar cuatro en buen estado. p=probabilidad de llanta en buen estado = 0.9 Y ~ binomial negativa (r=4, p=0.9) a) P(Y = 6) = ( 6 4 ) (0.9)4 (0.) = b) E(Y) = r p = = Var(Y) = r( p) p = 4(0.) (0.9) = Suponer que el % de los motores fabricados en determinada línea de montaje son defectuosos. Si se seleccionan al azar los motores, uno a la vez, para su prueba, calcular la probabilidad de que se encuentre el primer motor defectuoso en el segundo intento. 07_SOL_SERIE_Mod_Prob_Discretos