ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL.

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1 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL. Un intervalo de confianza, para un parámetro poblacional θ, a un nivel de confianza 1 α 100 %, no es más que un intervalo L i, L s que contiene al valor θ con probabilidad 1 α. Es decir: P L i < θ < L s = 1 α donde los límites inferior y superior L i y L s se calculan utilizando valores muestrales junto con las distribuciones de probabilidad asociadas a los estadísticos que permiten estimar el parámetro θ. En esta relación de ejercicio vamos a practicar el cálculo de intervalos de confianza para la media poblacional µ. Recuerda que el nivel de significación de un intervalo la probabilidad de que el parámetro objetivo no esté en el intervalo es igual al parámetro α en tanto por uno ó α 100 % en tanto por ciento. Antes de comenzar a resolver estos problemas es importante que tengamos claros los conceptos, por lo tanto, si no lo has hecho ya, repasa la teoría vista en clase. Ejercicio 1: En este primer ejercicio vamos a construir intervalos de confianza para la media poblaciones µ. Recuerda que dicho intervalo tiene la expresión: IC µ 1 α 100 % = X z 1 α, X + z1 α donde X representa la media muestral, n el tamaño de la muestra, la desviación típica de la población y z 1 α el percentil 1 α 100 % de la distribución normal de parámetros 0 y 1 N 0, 1. Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande se puede sustituir la desviación poblacional por la población de la muestra utilizando. Fíjate en el siguiente ejemplo y trata de hacer lo mismo en el resto de apartados. 1. De una población, que sigue una distribución Nµ, 6, se ha extraído una muestra de tamaño 1, para la que se ha obtenido una media de.5. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 95 %. 1

2 En el enunciado se nos proporciona la siguiente información: µ : Parámetro desconocido : 6 n : 1 X :,5 1 α : 0,95 El intervalo de confianza al nivel 1 α 100 % para la media poblacional es: IC µ 1 α 100 % = X z 1 α, X + z1 α n que para nuestro caso particular será: IC µ 95 % = X z 0,975 n, X + z0,975 n Buscando en la tabla de la distribución normal estándar obtenemos que z 0,975 = 1,96 y sustituyendo los datos en el intervalo anterior tenemos que: IC µ 95 % = X z 0,975 n, X + z0,975 n 6 6 =,5 1,96,,5 + 1, =,5 1,96 6 1,,5 + 1, =,5 1,96 1,,5 + 1,961 =,5 0,98,,5 + 0,98 = 1,5, 3,8 De donde se obtiene que: P 1,5 < µ < 3,8 = 0,95. De una población, que sigue una distribución Nµ, 6, se ha extraído una muestra de tamaño 66, para la que se ha obtenido una media de 17. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 9 %. P 170,71 < µ < 173,9 = 0,9 3. De una población, que sigue una distribución Nµ, 6, se ha extraído una muestra de tamaño 83, para la que se ha obtenido una media de

3 198. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 93 %. P 196,81 < µ < 199,19 = 0,93. De una población, que sigue una distribución Nµ, 1, se ha extraído una muestra de tamaño 175, para la que se ha obtenido una media de 8. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 91 %. P 80, < µ < 83,8 = 0,91 5. De una población, que sigue una distribución Nµ, 18, se ha extraído una muestra de tamaño 169, para la que se ha obtenido una media de 75. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 98 %. P 71,77 < µ < 78,3 = 0,98 6. De una población, que sigue una distribución Nµ, 0, se ha extraído una muestra de tamaño 56, para la que se ha obtenido una media de 7. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 99 %. P 0,1 < µ < 13,9 = 0,99 7. De una población, que sigue una distribución Nµ, 15, se ha extraído una muestra de tamaño 85, para la que se ha obtenido una media de 15. Construir un intervalo de confianza para la media de la población con nivel de confianza del 95 %. P 11,81 < µ < 18,19 = 0,95 Ejercicio : Como hemos visto un intervalo de confianza, para un parámetro poblacional, al nivel de confianza 1 α 100 % es un intervalo L i, L s que contiene a dicho parámetro con probabilidad 1 α. Cuando construimos un intervalo de confianza estamos estimando el valor del parámetro y por o tanto se comete un error. Dicho error está acotado superiormente por la mitad de la longitud del intervalo. En el caso de la media poblacional para muestras grandes la fórmula que determina el error máximo es: error máx. = L s L i = z 1 α n En esta fórmula intervienen cuatro elementos error máx., z 1 α, y n, por lo tanto conocidos tres de ellos se puede determinar el que falta. En la siguiente secuencia de ejercicios se trata de aplicar la fórmula anterior para determinar el elemento desconocido. Fíjate en el ejemplo e intenta hacer algo parecido en el resto. 1. Para estimar la media poblacional de una distribución normal, con varianza 16, se ha extraído una muestra aleatoria simple, con la que se ha construido el intervalo de confianza al 95 %, resultando el intervalo 53, 99, 56, 01. Determinar el tamaño de nuestra muestra n. 3

4 En este ejercicio conocemos el intervalo de confianza, el nivel de confianza y la varianza de la población y se nos solicita el tamaño muestral. Al conocer el intervalo, podemos determinar el error máximo cometido por el mismo, ya que dicho error máximo es igual a la mitad de la longitud del intervalo. Así, la información que tenemos es: L i =53, 99 L s =56, 01 = = 16 = 1 α =0,95 error máx. = L s L i = 56, 01 53, 99 =, 0 Aplicando la fórmula del error máximo tenemos: error máx. = L s L i 1, 01 =z 1 0,05 = z 1 α n 1,01 =z 0,975 1,01 =1,96 despejando n de esta última expresión obtenemos: 1,01 =1,96 1,01 n =1,96 = 1,96 1,01 =7,76 n =7,76 = 60, 61 = 1, 01 por lo tanto podemos concluir que el tamaño muestral es, aproximadamente, de 61 individuos.. Para estimar la media poblacional de una distribución normal, con desviación típica, se ha extraído una muestra aleatoria simple, con la que se ha construido el intervalo de confianza al 99 %, resultando el intervalo 16,1, 17,79. Determinar el tamaño muestral n. n 17

5 3. Para estimar la media poblacional de una distribución normal, con una varianza de 100, se ha extraído una muestra aleatoria simple, con la que se ha construido el intervalo de confianza al 95 %, resultando el intervalo 78,7, 81,53. Determinar el tamaño muestral n. n 16. Para estimar la media poblacional de una distribución normal, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 55 con la que se ha construido el intervalo de confianza al 97 %, resultando un error máximo de,93. Determinar la desviación típica de la población Para estimar la media poblacional de una distribución normal, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 83 con la que se ha construido el intervalo de confianza al 97 %, resultando un error máximo de,7. Determinar la varianza de la población Para estimar la media poblacional de una distribución normal con desviación típica de 0,3, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 50 con la que se ha construido el intervalo de confianza 3,, 9,57. Determinar el nivel de confianza de dicho intervalo 1 α 100 %. NC 95 % 7. Para estimar la media poblacional de una distribución normal con desviación típica de 9, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 67 con la que se ha construido un intervalo de confianza con error máximo de 1,80. Determinar el nivel de confianza de dicho intervalo 1 α 100 %. NC 90 % Ejercicio 3: Una vez que conocemos la dinámica para construir el intervalo de confianza para la media poblacional vamos a enfrentarnos a problemas de aplicación. En estos problemas los datos están ambientados en un contexto y lo único que tendremos que hacer es extraerlos correctamente. Fíjate en el ejemplo e intenta hacer algo parecido en el resto de apartados. 1. El gasto anual, en miles de euros, de las familias de una determinada región sigue una distribución normal con desviación típica 0.3 miles de euros. Se ha extraído una muestra aleatoria simple de 50 individuos de dicha región, obteniéndose un gasto medio anual de 98 euros. Calcular un intervalo de confianza para el gasto medio anual, de los habitantes de dicha región, con nivel de significación de

6 En primer lugar extraeremos la información que nos proporciona el enunciado ojo con las unidades. µ : Parámetro desconocido : 0,3 n : 50 X : 9,8 miles de euros α : 0,05 Puesto que el nivel de significación es de 0,05 5 %, el nivel de confianza será de 0,95 95 %. El intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con muestras grandes es: IC µ 1 α 100 % = X z 1 α, X + z1 α que en nuestro caso será: IC µ 95 % = X z 0,975 n, X + z0,975 n Buscando en la tabla de la distribución normal estándar obtenemos que z 0,975 = 1,96 y sustituyendo los datos en el intervalo anterior tenemos que: IC µ 95 % = X z 0,975 n, X + z0,975 n De donde se obtiene que: = 9,399, 9,565 P 9,399 < µ < 9,565 = 0,95 Así, podemos afirmar que el gasto medio de los habitantes de dicha región se encuentra entre los 9399 y 9565 euros, con una probabilidad del Se sabe que la desviación típica de las alturas de los alumnos de un IES es de 5 cm. Se desea estimar la altura media de dichos alumnos, para lo cual se escoge una muestra de 100 estudiantes, obteniéndose una media de 17 cm. Determinar los intervalos de confianza para la media poblacional a los niveles de confianza: 90 %, 95 % y 99 %. IC µ 90 % = 171,18, 17,8 IC µ 95 % = 171,0, 17,98 IC µ 99 % = 170,71, 173,9 6

7 3. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0 mg/cc. Calcular un intervalo de confianza, al 90 %, para el nivel de glucosa en sangre en la población. IC µ 90 % = 106,71, 113,9. Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media 100 meses y desviación típica 1 meses. Determinar el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses. n 8 5. El gasto mensual en euros de una familia en electricidad, para las familias de una cierta ciudad, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 5 euros. a A partir de una muestra de 100 familias de esa ciudad, se obtiene el intervalo de confianza 5, 55, para el gasto medio mensual por familia en electricidad. Determinar el nivel de confianza con el que se construye el mencionado intervalo. b Interpretar el intervalo, en función de los datos obtenidos en el apartado anterior. c Qué número de familias tendrías que seleccionar, como mínimo, para garantizar en este caso, con un nivel de confianza del 99 %, una estimación de ese gasto medio con un error no superior a 3 euros? a NC 95 %. b P 5 < µ < 55 = 0,95 c n [PAU Murcia Septiembre 01] Se supone que el número de horas semanales dedicadas al estudio por los estudiantes de una universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 6. Para estimar la media de horas semanales de estudio se quiere utilizar una muestra de tamaño n. Calcular el valor mínimo de n para que con un nivel de confianza del 99 %, el error en la estimación sea menor de 1 hora. n 0 7. [PAU Murcia Junio 01] La puntuación de un test psicotécnico para una determinada población sigue una Normal con una desviación típica conocida. Para hallar un intervalo de confianza para la media de la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 individuos, 7

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