Estimadores Puntuales: Propiedades de estimadores Sebastián Court
|
|
- María Elena Caballero Espejo
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Estadística Estimadores Putuales: Propiedades de estimadores Sebastiá Court 1.Motivació Cosideremos ua variable aleatoria X co ciertas características, como por ejemplo, u parámetro θ, y ua muestra aleatoria de dicha variable (digamos X 1,..., X ). Dado que o coocemos el valor del parámetro θ, sería deseable estimarlo cosiderado ua fució T que depeda sólo de los elemetos coocidos, es decir, uestra muestra. Si embargo, deseamos que el estimador T de θ se comporte aproximadamete como θ. A primera vista parece razoable teer u estimador que tega el meor error posible. Luego si tego 2 estimadores T 1 y T 2 la elecció atural será escoger el estimador, por ejemplo, co la meor diferecia e promedio etre θ y el estimador, pero dado dicho promedio podría ser cero, luego os coviee escoger la diferecia al cuadrado y promediar. Lo aterior da paso a la siguiete defiició: Defiició 1 Sea T u estimador de u parámetro descoocido θ. Se defie el error cuadrático medio como el valor esperado del cuadrado de la diferecia etre T y θ. ECM(T ; θ) = E[(T θ) 2 ] Notemos que lo aterior, lo podemos escribir como: ECM(T, θ) = E[(T θ) 2 ] = E(T ) 2θE(T ) + θ 2 = Var(T ) + [E(T )] 2 2θE(T ) + θ 2 = Var(T ) + [θ E(T )] 2 El problema es ecotrar ua fució T = u(x 1,..., X ) que sólo depeda de la muestra y que etregue la mejor estimació de θ. Para buscar dicho estimador, se utilizará el llamado error cuadrático medio. Si embargo, dicho criterio preseta ua dificultad crucial, que es que el error cuadrático medio puede variar depediedo de los valores que tome θ. Para ilustrar lo aterior, cosideremos el siguiete ejemplo: Sea X 1,..., X ua muestra aleatoria de algua distribució tal que E(X i ) = µ y Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,. Cosidere los siguietes dos estimadores de µ: T 1 = X y T 2 = Aalizaremos los errores cuadráticos medios. Notemos que E(T 1 ) = µ, luego De maera aaloga para T 2 se obtiee que X i ECM(T 1 ) = Var(T 1 ) + (E(T 1 ) µ) 2 = σ2 ECM(T 2 ) = σ2 + µ 2 ( + 1) 2. 1
2 Si cosideramos el caso particular = 10 y σ 2 = 100, etoces y ECM(T 1 ) = 10 ECM(T 2 ) = µ2, 121 luego si µ < 210 se tedrá que ECM(T 2 ) < ECM(T 1 ), pero si µ > 210 etoces ECM(T 2 ) > ECM(T 1 ). Cuál elegimos? E este caso podría ser útil examiar otros criterios para decidir cual de los dos estimadores es u mejor estimador para µ. 2.Sesgo de u Estimador Recordemos que el error cuadrático medio se puede escribir como: ECM(T, θ) = Var(T ) + [θ E(T )] 2 E la expresió aterior, la diferecia (θ E(T )) se deomia sesgo del estimador T. Dado que este valor aparece e la fórmula del error cuadrático medio, es deseable que sea lo más pequeño posible e valor absoluto. Lo aterior se traduce e que, e promedio, T sea lo más cercao a θ posible. Siguiedo la lógica aterior, teemos que: Defiició 2 U estimador T = u(x 1,..., X ) se dice isesgado si E(T ) = θ. Para ejemplificar la situació aterior, cosideremos ua muestra aleatoria X 1,..., X co E(X i ) = µ y Var(X i ) = σ 2, y T 1 = X y T 2 = 1 (X i X) 2 como estimadores de µ y σ 2 respectivamete. Notemos que Por lo tato, X es u estimador isesgado para µ. Si embargo, otemos que para T 2 teemos que: E(T 2 ) = E( 1 E(T 1 ) = E( 1 X i) (X i X) 2 ) = 1 E( X i) = 1 E(X i) = 1 µ = µ = 1 E ( [(X i µ) (X µ)] 2) = 1 E ( (X i µ) 2 (X µ) 2) = 1 E((X i µ) 2 ) E((X µ) 2 ) [ ] = 1 σ2 σ2 pues Var(X i ) = σ 2, Var(X) = σ2 = 1 σ2 2
3 Por lo tato T 2 es u estimador sesgado para σ 2, pero lo aterior se puede solucioar cosiderado como estimador de σ 2 a T 3 = 1 1 (X i X) 2, ya que e ese caso E(T 3 ) = σ 2. Es por esta razó que geeralmete se ve calcula la variaza muestral dividiedo por 1 e vez de por. 3.Estimadores Cosistetes Ituitivamete, otra característica deseable para u estimador de u parámetro θ es que, os proporcioe ua mejor estimació si os basamos e 30 observacioes que si lo hacemos e sólo 5. Formalmete, si teemos ua sucesió de estimadores T (dode es el tamaõ de la muestra), deseamos que se acerque, e algú setido, a θ a medida que crece. Bajo esta idea podemos defiir la oció de cosistecia. Defiició 3 Sea T ua estimador para θ y sea T 1, T 2,..., T,... ua secuecia de estimadores de θ que represeta a T e base a muestras de tamaño 1, 2,...,,... respectivamete. Se dice que T es cosistete para θ si ε > 0: lím P( T θ ε) = 1 Si embargo, verificar la codició de cosistecia es algo complicado, y por esta razó se verifica codicioes más fuertes como covergecia e media cuadrática, es decir que: Lo aterior da orige al siguiete resultado: lím E[(T θ) 2 ] = 0 Proposició 1 Si T es u estimador tal que: lím E(T ) = θ lím Var(T ) = 0 etoces T es u estimador cosistete para θ. U estimador que cumpla la primera igualdad euciada e la proposició (i.e. lím E(T ) = θ) es llamado asitoticamete isesgado. Notar que la proposició aterior sólo etrega ua codició suficiete, y por lo tato o os sirve para probar que u estimador NO es cosistete. Si embargo, la siguiete proposició os da u criterio para este caso. Proposició 2 Si T es u estimador cosistete de θ y E(T ) es fiito etoces T es asitóticamete isesgado. 4.Estimadores Eficietes E lo que sigue os restriguiremos al caso de estimadores isesgados. E este caso tedremos que ECM(T, θ) = Var(T ) y buscaremos u estimador que tega la meor variaza posible etre todos los estimadores. Para formalizar lo aterior, defiamos la oció de eficiecia. 3
4 Defiició 4 T 1 es u estimador más eficiete de θ que T 2 si Var(T 1 ) Var(T 2 ), cumpliedose co desigualdad estricta para algú valor de θ. Nota: Cuado los estimadores so sesgados, se emplea los errores cuadráticos medios para determiar eficiecias relativas. El problema de como ecotrar u estimador de miima variaza se facilita bastate utilizado la llamada cota de Cramer-Rao. Ates de euciar dicho teorema, es importate defiir alguas fucioes importates: Defiició 5 Se defie la catidad de iformació de Fischer dada por la variable aleatoria X sobre el parámetro θ como la fució: [ ( ) ] 2 l f(x; θ) I(θ) = E De la misma forma podemos defiir ua catidad similar para ua muestra X 1,..., X. Defiició 6 Se defie la catidad de iformació de Fischer dada la muestra aleatoria X 1,..., X sobre el parámetro θ como la fució: [ ( ) ] 2 l f (X; θ) I (θ) = E Es importate otar que las últimas dos defiicioes se puede relacioar mediate la fórmula I (θ) = I(θ) (cuado el domiio de X o depeda de θ) Nota: Cada vez que aparezca la hipótesis que el domiio de X o depeda de θ esta se puede reemplazar por la siguiete hipotesis: f(x, θ) f(x, θ)dx = dx. D D E otras palabras, la iformació de Fischer e ua muestra aleatoria de observacioes es simplemete veces la iformació de Fischer e ua sola observació. Otras propiedades de la iformació de Fischer so: Propiedad 1 Si el domiio de X o depede de θ se tiee que: ( ) l f (X; θ) I (θ) = Var ( 2 ) l f (X; θ) I (θ) = E 2 Ahora, estamos e codicioes de euciar el teorema que os ayudará a ecotrar estimadores eficietes para u parámetro. 4
5 Teorema 1 Sea X 1,..., X ua muestra aleatoria de ua distribució co desidad f(x; θ) tal que el domiio de X o depeda de θ. Si T es u estimador isesgado de θ, etoces la variaza de T debe satisfacer Var(T ) 1 I(θ) Notemos que el teorema aterior establece ua cota iferior para la variaza de u estimador de θ. Si embargo, el teorema aterior o dice que el estimador de míima variaza sea igual a la cota iferior de Cramer-Rao. E otras palabras, es posible ecotrar u estimador isesgado de θ que tega la variaza más pequeña posible de etre todos los estimadores isesgados de θ, pero cuya variaza es más grade que el límite iferior de Cramer- Rao. E el caso especial e que se tiee la igualdad co la cota de Cramer-Rao, se tiee la siguiete defiició: Defiició 7 Si T es u estimador isesgado del parámetro θ tal que etoces se dice que T es u estimador eficiete de θ. Var(T ) = 1 I(θ) Co lo aterior, teemos que u estimador isesgado será eficiete si es el de míima variaza y además es igual al límite iferior de Cramer-Rao. Dicho estimador de θ será el mejor estimador isesgado de θ. 5
Estimación de Parámetros. Estimación de Parámetros
Uiversidad Técica Federico Sata María Capítulo 7 Estimació de Parámetros Estadística Computacioal II Semestre 007 Prof. Carlos Valle Págia : www.if.utfsm.cl/~cvalle e-mail : cvalle@if.utfsm.cl C.Valle
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS
INFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS Població E el cotexto de la estadística, ua població es el cojuto de todos los valores que puede tomar ua característica medible e particular, de u cojuto correspodiete
Más detalles) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1
ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població
Más detallesEstimación de Parámetros
Igacio Cascos Ferádez Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid Estimació de Parámetros Estadística I curso 008 009 Veremos cómo costruir valores aproximados de los parámetros de los modelos
Más detallesEn el tema anterior se estudió que muchas decisiones se toman a partir de resultados muestrales. Por ejemplo:
TEMA 6. Estimació putual. E muchos casos o será posible determiar el valor de u parámetro poblacioal descoocido, aalizado todos los valores poblacioales, pues el proceso a seguir puede ser destructivo,
Más detallesINTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO
INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO Objetivos geerales del tema E este tema se itroducirá el cocepto de estadístico como medio para extraer iformació acerca de la ley de
Más detallesDistribuciones en el muestreo, EMV
Distribucioes e el muestreo, E Tema 6 Descripció breve del tema. Itroducció y coceptos básicos. Propiedades de los estimadores Sesgo, Variaza, Error Cuadrático Medio y Cosistecia 3. Distribució de u estimador
Más detalles2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias
INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes
Más detalles1. Propiedades de los estimadores
. Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie
Más detallesConvergencia de variables aleatorias
Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia...
Más detallesINTRODUCCION Teoría de la Estimación
INTRODUCCION La Teoría de la Estimació es la parte de la Iferecia Estadística que sirve para coocer o acercarse al valor de los parámetros, características poblacioales, geeralmete descoocidos e puede
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA INFERENCIA ESTADÍSTICA Iree Patricia Valdez y Alfaro Estimació de parámetros ireev@servidor.uam.mx Ua clasificació de estadística Descriptiva Calculo de medidas descriptivas Costrucció
Más detallesSobre los intervalos de confianza y de predicción
Sobre los itervalos de cofiaza y de predicció Itervalos de cofiaza Javier Satibáñez 28 de febrero de 2018 Se costruye itervalos de cofiaza para parámetros. Sea X = X 1,..., X } ua muestra aleatoria de
Más detalles4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detalles1.1 INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA
Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 106 1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL upogamos que X1,...,X es ua muestra aleatoria de ua
Más detallesTeoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...
covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto
Más detallesProbabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos
Probabilidad y Estadística 3 Itervalos de Cofiaza y Test de Hipótesis paramétricos Itervalos de Cofiaza Defiició Dada ua muestra aleatoria simple es decir, u vector de variables aleatorias X co compoetes
Más detallesTEMA 3: INFERENCIA ESTADISTICA
ESTADÍSTICA, CURSO 008 009 TEMA 3: INFERENCIA ESTADISTICA INTRODUCCION oblació. Muestra, muestreo. Objetivos de la iferecia estadística. Métodos paramétricos y o paramétricos. TEORIA ELEMENTAL DEL MUESTREO.
Más detallesProblemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos
Más detallesSobre los intervalos de confianza y de predicción Javier Santibáñez 7 de abril de 2017
Sobre los itervalos de cofiaza y de predicció Javier Satibáñez 7 de abril de 2017 Itervalos de cofiaza Se costruye itervalos de cofiaza para los parámetros poblacioales. Supogamos que teemos ua muestra
Más detallesIntervalos de Confianza basados en una sola muestra. Denotaremos al parámetro de interés con la letra θ y con θ un estimador para θ.
Itervalos de Cofiaza basados e ua sola muestra Ua estimació putual sólo os proporcioa u valor umérico, pero NO proporcioa iformació sobre la precisió y cofiabilidad de la estimació del parámetro. Etoces
Más detallesTEMA 5.-ESTIMACIÓN PUNTUAL.- (16/17) 5.1. Introducción a la Inferencia Estadística Método de los momentos
TEMA 5.-ESTIMACIÓN PUNTUAL.- (16/17) 5.1. Itroducció a la Iferecia Estadística. Método Estadístico. Defiicioes previas. 5.2. Estimació putual 5.3. Métodos de obteció de estimadores: 5.3.1. Método de los
Más detallesCAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística
CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia
Más detallesIntroducciónalaInferencia Estadística
Capítulo 6 ItroduccióalaIferecia Estadística 6.1. Itroducció El pricipal objetivo de la Estadística es iferir o estimar características de ua població que o es completamete observable (o o iteresa observarla
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesSemana 10 [1/24] Sucesiones (II) 2 de mayo de Sucesiones (II)
Semaa 0 [/24] 2 de mayo de 2007 Sadwich de sucesioes Semaa 0 [2/24] Límites y Orde. Teorema Sea u ) y w ) sucesioes covergetes a u y w, respectivamete. Si 0 tal que para 0 se cumple que etoces u w. u w
Más detallesDesigualdad entre las medias Aritmética y Geométrica
Desigualdad etre las medias Aritmética y Geométrica Jorge Tipe Villaueva Dados reales positivos a 1, a,..., a, defiimos la media aritmética de a 1, a,..., a como el úmero a 1 + a +... + a y la media geométrica
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesEl método de Monte Carlo
El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los
Más detallesIntervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo
Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky Hay dos razoes por las cuales el itervalo (6.63,.37) tiee mayor logitud que el obteido ateriormete (7.69, 0.3). la variaza
Más detallesObjetivos. 1. Inferencia Estadística. INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.1: Muestreo. M. Iniesta Universidad de Murcia
M. Iiesta Uiversidad de Murcia INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.1: Muestreo Objetivos Tratar co muestras aleatorias y su distribució muestral e ejemplos de tamaño reducido. Tratar co la distribució de la
Más detallesFunciones Exponencial y Logaritmo
. 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h
Más detalles9.3. Contrastes de una proporción
9.3. CONTRASTES DE UNA PROPORCIÓN 219 y el criterio que sumiistra el cotraste es si a teo χ 2 exp b teo = o rechazamos H 0 ; si χ 2 exp < a teo ó χ 2 exp > b teo = rechazamos H 0 y aceptamos H 1. Cotrastes
Más detalles) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen
Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie
Más detallesComo se ha podido apreciar en los módulos anteriores, La estadística trata con recolección de datos, su análisis e interpretación.
Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares 7. QUINTO MÓDULO 7. Iferecia Estadística Como se ha podido apreciar e los módulos ateriores, La estadística trata co
Más detallesUNIDAD 3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA I
UNIDAD 3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA I 1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL. MUESTREO La Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida de datos, su orgaizació y aálisis, así como de las prediccioes que, a
Más detallesEL REML SIN LAGRIMAS. A. Blasco Instituto de Ciencia y Tecnología Animal Universidad Politécnica de Valencia
1 EL RE SIN LAGRIMAS A. Blasco Istituto de Ciecia y Tecología Aimal Uiversidad Politécica de Valecia El Baby model y i = e i y = X + e = 1 + e dode X = 1 es u vector de uos. La matriz de variazas-covariazas
Más detallesProbabilidades y Estadística (M) Práctica 8 1 cuatrimestre 2012 Convergencias - Ley de los Grandes Números
robabilidades y Estadística (M) ráctica 8 cuatrimestre 22 Covergecias - Ley de los Grades Números. Ua máquia produce artículos de 3 clases: A, B y C e proporcioes 25 %, 25 % y 5 % respectivamete. Las logitudes
Más detalles3.2. Teoremas de Dini
3.2. TEOREMAS DE DINI 63 3.2. Teoremas de Dii Defiició 3.11. Sea X u espacio métrico y {f } ua sucesió e C(X). Decimos que la sucesió {f } es moótoa e si para todo x X se cumple f (x) f +1 (x), 1, o bie
Más detallesTEMA 5: Gráficos de Control por Atributos. 1. Gráfico de control para la fracción de unidades defectuosas
TEMA 5: Gráficos de Cotrol por Atributos 1 Gráfico de cotrol para la fracció de uidades defectuosas 2 Gráfico de cotrol para el úmero medio de discoformidades por uidad Selecció del tamaño muestral 3 Clasificació
Más detallesLey de Grandes Números y Teorema Central del
Ley de Grades Números y Teorema Cetral del Límite 25 de mayo de 2017 2 Capítulo 1 Ley de grades úmeros y Teorema cetral del límite 1.1. Sucesioes i.i.d. E el capítulo aterior cosideramos variables X 1,...,X
Más detallesESTADISTICA EMPRESARIAL - Segundo Curso Curso Convocatoria de Febrero INSTRUCCIONES
ESTADISTICA EMPRESARIAL - Segudo Curso Curso.006-07 Covocatoria de Febrero. 6-1-07 INSTRUCCIONES 1. El exame costa de cuestioes, que se respode sobre la hoja de codificació proporcioada, y problemas, que
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos
Más detallesEjercicios resueltos de Muestreo
Tema Ejercicios resueltos de Muestreo Ejercicio Sea ua població ita de 4 elemetos: P = f; 4; ; g : Se cosidera muestras de elemetos que se supoe extraidos y o devueltos a la població y que el muestreo
Más detallesUniversidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA. Ingenierías RH-Amb-Ag TEORÍA
Uiversidad Nacioal del Litoral Facultad de Igeiería Ciecias Hídricas ESTADÍSTICA Igeierías RH-Amb-Ag TEORÍA Mg. Susaa Valesberg Profesor Titular INFERENCIA ESTADÍSTICA TEST DE HIPÓTESIS INTRODUCCIÓN Geeralmete
Más detalles13.1 INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA
Dra. Diaa M. Kelmasky 109 13. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL Supogamos que X1,...,X es ua muestra aleatoria de ua població ormal co media μ y variaza. Sabemos que la media
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesMAS obtenidas de una población N, son por naturaleza propia impredecibles. No esperamos que dos muestras aleatorias de tamaño n, tomadas de la misma
MAS obteidas de ua població N, so por aturaleza propia impredecibles. No esperamos que dos muestras aleatorias de tamaño, tomadas de la misma població N, tega la misma media muestral o que sea completamete
Más detallesPRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA
PRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA Pruebas de hipótesis es ua parte de la ESTADISTICA INFERENCIAL y tiee su aalogía co los pasos que se realiza e u JUICIO. Objetivo: Aquí o se busca Estimar
Más detallesOtro fallo a la hora de elegir una muestra es que una variable condicione a otra, ya que las variables deben ser independientes y no condicionadas.
1. Itroducció.. Tipos de Muestreo. 3. Estimació. 3.1. Propiedades de u Bue Estimador. 3.1.1. Estimadores Cetrados. 3.1.. Cosistecia. 3.1.3. Eficiecia. 3.1.4. Suficiecia. 3.. Métodos de Estimació Putual.
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesPropiedades de la funcion de distribucion empirica. Propiedades de la Función de distribución Empírica:
Propiedades de la fucio de distribucio empirica Propiedades de la Fució de distribució Empírica: a. Fˆ es creciete de 0 hasta 1. b. Fˆ es ua fució escaloada co saltos e los distitos valores de X 1, X,...,
Más detalles1 Consistencia de M-estimadores
Cosistecia de M-estimadores Supogamos que se tiee ua familia de desidades p(x; ) discreta o cotiua dode 2 R. Tomemos ua fució (x; ) : R 2 R llamemos (; ) = E ( (x; )). Supodremos que para todo 2 se cumple
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesSeries de funciones en C z n z. f n (z) converge puntualmente en D C, entonces
Series de fucioes e C. Defiició. Sea f : D C;, ua sucesió de fucioes. Sea S : D C la sucesió defiida por S (z) = f (z). La serie f (z) se dice covergete e z D si la sucesió {S (z)} es k= covergete e z
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesUna sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.
Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,
Más detallesEstadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales Práctico 4 - Solución Curso ) Como se trata de muestreo sin reposición, se tiene C 5 3
Estadística y sus aplicacioes e Ciecias Sociales Práctico 4 - Solució Curso 016 Ejercicio 1 5! 1) Como se trata de muestreo si reposició, se tiee C 5 3 3!! muestras de tamaño =3. ) Distribució muestral
Más detallesMaxima Verosimilitud. Walter Sosa Escudero. Universidad de San Andrés
Maxima Verosimilitud Walter Sosa Escudero wsosa@udesa.edu.ar Uiversidad de Sa Adrés 1 Itroduccio Supogamos que Y i N(µ, σ 2 = 1), i = 1,..., y que Y i toma los siguietes valores: 24, 26, 28, 31, 22, 26.
Más detallesMatemáticas Discretas Inducción y Recursión
Coordiació de Ciecias Computacioales - INAOE Matemáticas Discretas Iducció y Recursió Cursos Propedéuticos 00 Ciecias Computacioales INAOE Iducció y recursió Geeralidades Iducció de úmeros aturales Iducció
Más detallesElementos de Teoria Asintotica
(wsosa@udesa.edu.ar) Uiversidad de Sa Adres El modelo lieal e otacio observacioal y i = x iβ + u i, i = 1, 2,..., x i = [ Mi Z i ] [, x i x Mi i = Z i ] [ Mi Z i ] = M 2 i Z i M i M i Z i Z 2 i M 2 x i
Más detallesPROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. Un tipo importante de sucesiones son las llamadas sucesiones monótonas.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. U tipo importate de sucesioes so las llamadas sucesioes moótoas. Defiició.. a: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = se llama moótoa creciete si +
Más detalles8 DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
8 DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Sea ua variable aleatoria de ley descoocida co 0,00. Si 0,, emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para acotar iferiormete la probabilidad E( ) [
Más detallesMedida de Probabilidad
Medida de Probabilidad Memo Garro Resume E este artículo etramos de lleo e el estudio del cocepto de medida de probabilidad. Para llegar a él seguiremos dos camios complemetarios: e primer térmio, partiremos
Más detallesSerie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias
Más detallesLa ley de los grandes números
La ley de los grades úmeros "El idicio de que las cosas estaba saliédose de su cauce ormal vio ua tarde de fiales de la década de 1940. Simplemete lo que pasó fue que etre las siete y las ueve de aquella
Más detallesDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS) www.cedicaped.com DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Recordemos que el Espacio Muestral es el cojuto de todos y
Más detallesLuis González Abril y Luis M. Sánchez-Reyes {luisgon, - Dpto. Economía Aplicada I Universidad de Sevilla
ETUDIO OBRE EL EXCEO DE AMPLITUD EN LA CONTRUCCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON VARIANZA DECONOCIDA EN UNA POBLACIÓN NORMAL Luis Gozález Abril y Luis M. áchez-reyes {luisgo,
Más detalles5.1. Tipos de convergencia
Estadística Tema 5 Covergecia de Variables Aleatorias 51 Tipos de covergecia 52 Ley de los grades úmeros 53 Teorema cetral del límite 54 Método delta Objetivos 1 Motivació estudio secuecias de VAs 2 Covergecia
Más detalles2. Estimación de errores de medidas directas
Estimació de errores y forma de expresar los resultados de las prácticas. Error: Defiició E el laboratorio igua medida tiee ifiita precisió. Por ello, ua parte importate del proceso de medida es la estimació
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. U itervalo de cofiaza, para u parámetro poblacioal θ, a u ivel de cofiaza (1 ) 100 %, o es más que u itervalo (L i, L s
Más detallesTEMA 6.- INTERVALOS DE CONFIANZA
TEMA 6.- INTERVALOS DE CONFIANZA 6.1. Distribucioes asociadas a la Normal 6.1.1. Distribució Chi cuadrado de Pearso o Gi dos 6.1.. Distribució t de Studet 6.. Itroducció a itervalos de cofiaza 6.3. Método
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA
X INFERENCIA ESTADÍSTICA Sea ua característica o variable aleatoria de la població objeto de estudio y sea ( X, X, X,..., X ) ua muestra aleatoria de dicha població. 1 3 U parámetro poblacioal es ua caracterizació
Más detallesDesigualdad de Tchebyshev
Desigualdad de Tchebyshev Si la Esperaza y la variaza de la variable X so fiitas, para cualquier úmero positivo k, la probabilidad de que la variable aleatoria X esté e el itervalo La probabilidad de que
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detallesUNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS Asigatura : Cálculo Numérico, MAT-23. Profesor : Emilio Cariaga L. Periodo : er. Semestre 205. SERIES DE POTENCIAS
Más detallesClases 9-10: El proceso de Wiener y los paseos al azar: el teorema de Donsker *
Clases 9-10: El proceso de Wieer y los paseos al azar: el teorema de Dosker * 6 de oviembre de 2017 Ídice 1. Itroducció 1 2. Paseos al azar 1 3. Paseo al azar co variables gaussiaas 2 4. Paseo al azar
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detalles1. SUCESIONES Y SERIES
1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?
Más detallesFUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y
CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos
Más detalles8. INTERVALOS DE CONFIANZA
8. INTERVALOS DE CONFIANZA Al estimar el valor de u parámetro de la distribució teórica, o se provee iformació sobre la icertidumbre e el resultado. Esa icertidumbre es producida por la dispersió de la
Más detallesInferencia estadística: estimación de parámetros.
Capítulo 7 Iferecia estadística: estimació de parámetros. 7.1. Itroducció E este tema estudiaremos como aproximar distitos parámetros poblacioales a partir de ua m.a.s. formada por observacioes idepedietes
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesMuestreo sistemático
Capítulo 1 Muestreo sistemático El muestreo sistemático es u tipo de muestreo que es aplicable cuado los elemetos de la població sobre la que se realiza el muestreo está ordeados Este procedimieto de muestreo
Más detallesIntroducción a la Inferencia Estadística. Muestreo en poblaciones normales
Ídice 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales 51 51 Itroducció 51 52 Estadísticos y mometos muestrales 53 521 Media muestral Propiedades 54 522 Variaza muestral Propiedades
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesTema 14: Inferencia estadística
Tema 14: Iferecia estadística La iferecia estadística es el proceso de sacar coclusioes de la població basados e la iformació de ua muestra de esa població. 1. Estimació de parámetros Cuado descoocemos
Más detallesUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Revisió, Cambios y Ampliació: Ig. José Alejadro Marí Fuete Primaria: Ig. César Augusto Zapata Urquijo 1. M U E S T R E O S I S T E M
Más detallesUniversidad Simón Bolıvar. Departamento de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluación No. 1 MA2115 Enero 2009
Uiversidad Simó Bolıvar. Departameto de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluació No. MA25 Eero 2009 I. Evaluació Teórica.. Diga la defiició de ua sucesió covergete, la defiició de ua sucesió divergete
Más detallesANALISIS CONVEXO CAPITULO CONVEXIDAD
CAPITULO 2 ANALISIS CONVEXO 2.1 CONVEXIDAD Bajo este título geérico, se itroduce e esta secció las ocioes de cojuto covexo, fució cócava y fució covexa. Coceptos todos ellos que juega u destacado papel
Más detallesTEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN Objetivo: El objetivo de la estimació putual es usar ua muestra para obteer úmeros (estimacioes putuales) que sea la mejor represetació de los verdaderos parámetros de la població.
Más detallesT ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos:
T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: defiició y tipos: Ua variable aleatoria es ua fució que asiga u úmero real, y sólo uo, a cada uo de los resultados de u eperimeto aleatorio.
Más detallesbc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a
1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio
Más detalles