Tarea 1 - Vectorial

Transcripción

1 Tarea - Vectorial Part : Un cerro se queda en las montañas en la altura de 6 mil metros. El cerro tiene la forma del gráfico de la función z = f(x, y) = x 2 y 2. Observamos que plaquitas paralelas a los planos 2x + y = 0 y 5x y z = 0 no hacen sombra. Cuál es el punto más caliente del cerro? Solución: Como las plaquitas no hacen sombra, entonces los rayos del sol son paralelos a la recta de intersección de los planos. Un vector director de la recta es v = N N 2, donde N = ( 2,, 0) es un vector normal al plano 2x + y = 0 y N 2 = (5,, ) es un vector normal al plano 5x y z = 0. Entonces los rayos del sol son paralelos al vector v = (, 2, 3). El punto más caliente es donde el vector N normal al plano tangente al gráfico de la función f(x, y) es paralelo a los rayos. Pero en un punto (x, y, f(x, y) del gráfico de la función f(x, y) el vector N = ( 2x, 2y, ), entonces tenemos que ( 2x, 2y, ) (, 2, 3) = (0, 0, 0) 6y + 2 = 0 6x = 0 4x + 2y = 0 Entonces el punto es x = /6, y = /3, z = f( /6, /3) = 3/8. Respuesta: ( /6, /3, 3/8)..2. Sea Γ la curva con la ecuación paramétrica r(t) = (sin(t), sin(t) cos(t)), t (0, 2π). a) Graficar la curva Γ. b) Cuántas veces la curva G pasa por el punto (0, 0)? c) Hallar los puntos donde la curvatura k(t) de la curva Γ toma valor cero. d) Es verdadero que 0 k(t) < 24? Solución: a) b) La curva pasa por el punto (0, 0) si r(t) = 0. Pero r(t) = 0 si y sólo si t = π, pues t pertenece al intervalo (0, 2π), y por lo tanto la curva G pasa por el punto (0, 0) sólo una vez. c) Hallemos la curvatura de la curva. d dt r(t) = (cos(t), cos(2t)), d 2 dt2 r(t) = ( sin(t), 2 sin(2t)),

2 2 entonces d 2 dt 2 r(t) d dt r(t) = Luego sin(t) cos(t) 2 sin(2t) cos(2t) = sin t ( cos(2t) 4 cos 2 (t) ) = sin t ( 2 cos 2 (t) + ). d dt r = cos 2 (t) + cos 2 (2t) = 4 cos 4 t 3 cos 2 t + Por lo tanto, la curvatura de la curva Γ es, k(t) = d2 dt 2 r(t) d dt r(t) d dt r(t) 2 = sin(t) (2 cos2 (t) + ) 4 cos4 t 3 cos 2 t + 3. Ahora bien, k(t) = 0 si y sólo si sin t = 0, entonces t = π. d) Verdadero. Por la definición k(t) 0. Luego tenemos que sin(t) (2 cos 2 (t) + ) 3. 4 cos4 t 3 cos 2 t + 3 > /8, pues el valor mínimo de la función f(x) = 4x 2 3x +, donde x [0, ], es f(3/8) = 7/6 > /4. Entonces k(t) < 24. Respuesta: b) Sólo una vez; c) t = π; d) Verdadero..3. En cuales puntos la recta tangente a la curva parametrica r(t) = (t 2, t, ln t ), por t 0, es paralela al plano de ecuación x + 2y 4z = 3? Solución: Un vector normal al plano dado es (, 2, 4) y el vector tangente a la curva parametrica al tiempo t es r(t) = (2t,, ), por t 0. Los puntos son dados por las t soluciones de la ecuación: (, 2, 4) (2t,, t ) = 2t t = 0, o sea por t 0 y t 2 + t 2 = 0. Por lo tanto, los puntos donde esto se cumple están ubicados en los tiempos t = 2 y t =, o sea son (4, 2, ln 2) y (,, 0)..4. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 0, 0) a la curva obtenida como intersección de los cilindros x2 4 + y2 = y z = y 3 y la curvatura de esta curva en el mismo punto. Solución: Las ecuaciones paramétricas de la curva son: x(t) = 2 cos(t) r(t) : y(t) = sin(t) z(t) = sin(t) 3, 0 t 2π. Por lo tanto, r (t) = 2 sin(t), cos(t), 3 sin(t) 2 cos(t). Es cierto: r(π) = 2, 0, 0 y r (π) = 0,, 0. Sigue que la recta tangente a la curva dada en el punto ( 2, 0, 0) tiene ecuaciones paramétricas: x(t) = 2 y(t) = t z(t) = 0

3 Es cierto: r (t) = 2 cos(t), sin(t), 6 sin(t) cos(t) 2 3 sin(t) 3 y r (π) = 2, 0, 0. Por lo tanto: Sigue: r (π) r (π) = 0,, 0 2, 0, 0 = 0, 0, 2. κ(π) = 0, 0, 2 0 3/2 = Encontrar la ecuacion del cilndro eliptico en R 3 paralelo al eje z que contiene el circulo que es la interseccion del plano z = y y la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. Solución: Eliminando z de las ecuaciones, obtenemos x 2 + 2y 2 = Encontrar la ecuacion de la superficie R 3 obtenida al rotar la hiperbola x 2 4z 2 = alrededor del eje x. Solución: La distancia al eje x en el plano xz es z, queremos reemplazarlo con la distancia al eje x en R 3, que es y2 + z 2 por lo que la ecuacion de la superficie es: x 2 4( y 2 + z 2 ) 2 =..7. Considere la funcion f(x, y) = x 2 y xe y. Encuentre una funcion g(x, y, z) tal que la grafica de f sea la superficie de nivel g(x, y, z) = 5 Solución: La grafica de f esta dada por la ecuacion z = x 2 y xe y, que se puede reescribir como x 2 y xe y z + 4 = 5 por lo que podemos escoger g(x, y, z) = x 2 y xe y z Verdadero o Falso? a) Si la curvatura de una curva es cero en todos los puntos entonces la curva es una recta. b) La curvatura de la curva dada por la ecuación paramétrica r(t) = 0 es cero. c) La curvatura de una parábola toma su valor máximo en el vértice de la parábola. d) La curvatura de una parábola toma valores menor que 0, 5. e) La curvatura de una elipse es una función acotada. Solución: a) Falso, es un segmento de la recta; b) Falso, la curvatura no es definida para esta curva; c) Verdadero; d) Verdadero; e) Verdadero.

4 4.9. Existe una función f(x, y) diferenciable tal que: () f x = e cos(y3), f y = ln(sin(x) 2 ); (2) f x = 6x 2 y y, f y = 2x 3 x; (3) f x = e x y, f y = e x ; (4) f x = 4xy, f y = 2x 2 + x? Solución: () y ecos(x3) x ln(sin(x)2 ), entonces tal f no existe. (2) y (6x2 y y) = 6x 2 = x (2x3 x), entonces, por el teorema de Clairaut existe f tal que f x = 6x 2 y y, f y = 2x 3 x. Ya que f y = 2x 3 x sigue que f(x, y) = (2x 3 x)y + h(x). Entonces, f x = 6x 2 y y + h (x). Sigue que h es constante. (3) y ex y = e x = x ex, entonces, por el teorema de Clairaut existe f tal que f x = e x y, f y = e x. Ya que f y = e x sigue que f(x, y) = e x y + h(x). Entonces, f x = e x y + h (x). Sigue que h es constante. (4) y 4xy x (2x2 + x), entonces tal f no existe..0. Probar que la función f(x, y) = x + g(xy), donde g(u) es una función diferenciable de una variable, es una solución de la ecuación diferencial parcial x z x y z y = x. Solución: Por la regla de la cadena tenemos que entonces x = + g (xy)y, x x y x = x. x = g (xy)x, 2. Part 2: La presión P (en Pascales), el Volumen V (en metros cúbicos) y la Temperatura T (en grados Kelvin) de un proceso adiabático satisfacen la relación V P T = () Encuentre la función V (P, T ) que expresa el volumen como función de P y T y úsela para calcular V (, ) P (2) Calcule V (P, T ) cuando (P, T ) = (, ) usando derivación implícita sobre la ecuación P V P T =. (3) Un modelo más realista nos dice que la presión el volumen y la temperatura satisfacen la relación 0.97V P T + 0.0V 4 P T V 3 P T =. Cuánto vale V (P, T ) cuando V =, P = y T =? P

5 Solución: () Despejando V obtenemos V (P, T ) = V asi que =. Evaluando en P = T = P T P P 2 T obtenemos V (, ) = metro cúbico / Pascal. P (2) Sabemos que V (P, T ) satisface V (P, T )P T = asi que si P = y T = concluimos que V =. Derivando parcialmente contra P a ambos lados de la igualdad obtenemos, V P P T + V T = 0 y evaluando en V = P = T = concluimos V V (, ) + = 0 asi que (, ) = P P metros cúbicos / Pascal. (como debe ser, ambos métodos dan el mismo resultado). (3) Ahora, suponga que las variables V, P, T satisfacen la relación 0.97V P T + 0.0V 4 P T V 3 P T =. y pensemos que el volumen es una función de P y T llamada V (P, T ). Sabemos que satisface 0.97V (P, T )P T + 0.0V (P, T ) 4 P T V (P, T ) 3 P T =. Derivando implícitamente contra P obtenemos 0.97 V 3 V P T V T V P P P T + 0.0V 4 T V 2 V P P T V 3 T = 0. Evaluando en V = P = T = obtenemos 0.97 V (, ) V (, ) V (, ) = 0 P P P asi que V V (, ) +.07 = 0 luego (, ) =.07 metros cúbicos por Pascal. P P Defina la función F (x, y) = y sin(xt 2 ) dt t () Demuestre que F x (x, y) = sin(xy2 ) sin(x). 2x (2) Calcule F (x, y) y (3) Si la función g(x) esta definida por la fórmula Calcule g (x). g(x) = sin(x) sin(xt 2 ) dt t Solución:

6 6 () y y F sin(xt 2 ) (x, y) = dt = x x t y la última integral es fácil de calcular, y [ sin(xt cos(xt 2 2 ) )tdt = 2x cos(xt 2 )t 2 dt = t ] t=y t= y = sin(xy2 ) sin(x) 2x cos(xt 2 )tdt (2) Por el teorema fundamental del cálculo, la derivada con respecto al límite superior de integración se obtiene sustituyendo la variable de integración por éste límite, es decir F y (x, y) = sin(xy2 ) y (3) Note que g(x) = F (x, sin(x)) asi que podemos usar la regla de la cadena para encontrar g (x) = F F (x, sin(x)) + (x, sin(x)) cos(x) x y asi que g (x) = sin(x sin(x)2 ) sin(x) 2x 2.3. a) Sean f(x, y) una función tal que f(, ) =, + sin(x sin(x)2 ) sin(x) g(t) = f(t, t 2 ). Hallar g() y g (). b) Consideramos una función h(u, v) tal que h(, 0) = 0, h f(u, v) = ue h(u,v) v. Hallar (, 0), (, 0). v Solución: a) Tenemos que g() = f(, ) =, y Entonces, b) Tenemos que Entonces, g (t) = x (t, t2 ) + y (t, t2 ) (2t). g () = (, ) + (, ) 2 = 0. x y = eh(u,v) + ue v = h(u,v) h ue v. (, 0) = 2, Respuesta. a) g() =, g () = 0; b) h(u,v) h cos(x) x (, ) = 2, (, ) =, y y (, 0) = 4. (, 0) = 2, (, 0) = 4. h (, 0) =, (, 0) = 3. Sea v

7 2.4. Considere la función f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 z 2. Encontrar el plano tangente y la recta normal al superficie S dado por f(x, y, z) = 0 en el punto (3, 2, 5). Hay algun punto en el superficie S en que el plano tangente no existe? Solución: Sea P = (3, 2, 5). f(p ) = (2x, 8y, 2z) (3,2,5) = (6, 6, 0) Una ecuación parametrica de la recta normal a S en P es La ecuación del plano tangente a S en P es r(t) = (3, 2, 5) + t(6, 6, 0), t R. (6, 6, 0) (x 3, y 2, z 5) = 0 6(x 3) + 6(y 2) 0(z 5) = 0. Si el f(q) = (0, 0, 0), no existe el plano tangente en el punto Q. f = ( 2x, 8y, 6z) = (0, 0, 0) (x, y, z) = (0, 0, 0). Q = (0, 0, 0) es un punto en la superficie porque satisface la ecuación f(x, y, z) = 0. Entonces el plano tangente no existe en el punto (0, 0, 0) en la superficie Considere la función f(x, y) = cos(x 2 4y 2 ). () Encuentre los puntos en que f tiene valor maximo. (2) Calcule la derivada direccional de f en P (, ) en la dirección del vector 2i + j. (3) Supongamos que g(t) = f(t, t 2 ). Calcule g () usando la regla de la cadena. Solución: (a) cos(x 2 4y 2 ) = x 2 4y 2 = 2kπ, k es un número Si k = 0, la curva de nivel tiene ecuación paramétrica Por lo deḿas, la ecuación es x = 2t, y = ±t x = 2kπ cosh t, y = 2 2kπ sinh t entero. 7 (b) f = (f x, f y ) = ( 2x sin(x 2 4y 2 ), 8y sin(x 2 4y 2 )) Entonces f(p ) = ( 2 sin( 3), 8 sin( 3)) = (2 sin(3), 8 sin(3)). El vector unitario en la dirección de 2i + j es u = 2 5 i + 5 j. La derivada direcciónal buscada es 4 sin(3) D u (P ) = f(p ) u = 5 (c) g(t) = f(x(t), y(t)) donde x(t) = t y y(t) = t 2. Entonces t = x =, y =. Entonces g () = f x (, )x () + f y (, )y () = (2 sin(3))() + ( 8 sin(3))(2) = 4 sin(3)

8 El domo de una planetaria tiene la ecuación x 2 + 2y 2 + z = 20 donde z = 0 corresponde al nivel del suelo. () A qué tasa cambia la altura del domo en la dirección de v = i j en el punto P (2, 2, 8)? (2) Encuentre la ecuación paramétrica de la trayectoria de una planeta que se mueve a traves del punto P en la dirección v a lo largo del domo bajo la condición que la trayectoria pertence a un plano vertical. Solución: (a) Altura z(x, y) = 20 x 2 2y 2 y el vector unitario en la dirección de v es u = 2 (, ). Entonces la tasa buscada es D u z(2, 2) = z(2, 2) u = ( 2x, 4y) (2,2) u = 2 2. (b) Una ecuación paramétrica de la trayectoria es x = 2 + t, y = 2 t, z = 20 (2 + t) 2 2(2 t) 2, es decir, r(t) = (2 + t, 2 t, 8 + 4t 3t 2 ) Considere la función f(x, y, z) = 4 xy + 3z. () A qué tasa cambia f en el punto P (, 2, ) en la dirección del punto Q(2,, 2)? (2) En qué dirección f crece lo más rapido posible en el punto P? Cuál es la máxima tasa de cambio de f en el punto P? (3) En qué direcciones f se mantiene constante (ni crece ni decrece) en el punto P? Solución: (a) El vector unitario en la dirección de u = 3 (,, ). P Q = (2,, 2) (, 2, ) = (,, ) es La tasa de cambio f(p ) = ( y, x, 3) (,2,) = ( 2,, 3). = D u f = f(p ) u = ( 2,, 3) (,, ) = (b) f crece lo más rapido posible en P en la dirección f(p ) f(p ) = ( 2,, 3). 4 La máxima tasa de cambio de f en el punto P es f(p ) = 4. (c) f mantiene constante en P las direcciones u = (u, u 2, u 3 ) tal que D u f(p ) = 0 ( 2,, 3) (u, u 2, u 3 ) = 0 2u u 2 + 3u 3 = 0.

9 2.8. El punto (,, 2) está en la superficie S: x 2 + z 2 2xy y 2 = 6. Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie S en (,, 2). Solución: Calcule el gradiente de g(x, y, z) = x 2 + z 2 2xy y 2 g = (2x 2y, 2x 2y, 2z) Entonces g(,, 2) = (4, 0, 4) es un vector normal a la superficie S dada por g(x, y, z) = 6 en (,, 2). La ecuacion del plano tangente a S en (,, 2) es x + z = Verifique que la equación xyz = sin(x + y + z) define implícitamente una función diferenciable z = f(x, y) en una vecindad del punto x = 0, y = 0, tal que f(0, 0) = 0. Enquentre las derivadas parciales f x (0, 0), f y (0, 0), f xx (0, 0), f yy (0, 0),f xy (0, 0). Solución: Ya que = sin( ) el putno (0, 0, 0) pertenece a la superficie S definida por la ecuación xyz = sin(x + y + z). Sea F (x, y, z) = xyz sin(x + y + z). Entonces, la superficie S está dada por la equación F (x, y, z) = 0. Tenemos: F z (0, 0, 0) = xy cos(x + y + z) x=y=z=0 = 0 Por el teorema de la fonción implícita existe una función diferenciable f(x, y) definida alrededor del punto (x, y) = (0, 0) tal que Tenemos: F (x, y, f(x, y)) = 0. F x (0, 0, 0) = yz cos(x + y + z) x=y=z=0 = F y (0, 0, 0) = xz cos(x + y + z) x=y=z=0 = F xx (0, 0, 0) = sin(x + y + z) x=y=z=0 = 0 F xz (0, 0, 0) = y + sin(x + y + z) x=y=z=0 = 0 Ya que la fonción F (x, y, z) es simétrica en x, y, z y estamos evaluando en el punto con x = y = z = 0, sigue por simetría que todos las derivadas parciales de segundo orden son iguales a cero en el punto x = y = z = 0. La equación F (x, y, f(x, y)) = 0 implica () (2) En el punto (x, y) = (0, 0) tenemos Por lo tanto f x (0, 0) = f y (0, 0) =. F x (x, y, f(x, y)) + F z (x, y, f(x, y)) f x (x, y) = 0 F y (x, y, f(x, y)) + F z (x, y, f(x, y)) f y (x, y) = 0 + ( )f x (0, 0) = 0 + ( )f y (0, 0) = 0

10 0 La equación () implica F xx (x, y, f(x, y)) + F xz (x, y, f(x, y)) f x (x, y)+ (F zx (x, y, f(x, y)) + F zz (x, y, f(x, y)) f x (x, y)) f x (x, y) + F z (x, y, f(x, y)) f xx (x, y) = 0 En el punto (x, y) = (0, 0) tenemos ( )f xx (0, 0) = 0, entonces f xx (0, 0) = 0. Sigue por simetría que f yy (0, 0) = 0. La equación () implica F xy (x, y, f(x, y)) + F xz (x, y, f(x, y)) f y (x, y)+ (F zy (x, y, f(x, y)) + F zz (x, y, f(x, y)) f y (x, y)) f x (x, y) + F z (x, y, f(x, y)) f xy (x, y) = 0 En el punto (x, y) = (0, 0) tenemos tenemos ( )f xy (0, 0) = 0, entonces f xy (0, 0) = 0. Respuesta: f x (0, 0) = f y (0, 0) =, f xx (0, 0) = f yy (0, 0) = f xy (0, 0) = Se sabe que las curvas r (t) = 2 + 3t, t 2, 3 4t + t 2 y r 2 (u) = + u 2, 2u 3, 2u + se encuentran en la superficie S. Encuentra una ecuación del plano tangente a S en el punto P (2,, 3) Solución: Tenemos r (t) = 2,, 3 si y solamente si t = 0, r 2 (u) = 2,, 3 si y solamente si u =. Entonces, r (0) = 3, 0, 4, r 2 () = 2, 6, 2. Un vector normal al plano tangente a S en el punto P es r (0) r 2 () = 24, 4, 8. Pues, la equación del plano tangente a S en el punto P (2,, 3) es 24x 4y + 8z = = 88