CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES

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Rocío Cordero Pérez
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1 CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque Geometría) MATRICES - Conceptos básicos: Vector fila, vector columna, dimensión de una matriz, matriz traspuesta, matriz cuadrada, matriz opuesta. - Operaciones con matrices: Suma y resta Multiplicación de un escalar por una matriz Multiplicación. Propiedades de la multiplicación de matrices - Conceptos asociados a matrices cuadradas Diagonal principal y diagonal secundaria Traza de una matriz cuadrada: Suma de los elementos de la diagonal principal Dada una matriz A de orden n: Traza de A = tr(a) = a 11 + a a nn Matriz triangular Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matriz unidad o identidad Matriz inversa de otra Matriz regular (invertible, no singular): matriz que tiene inversa Matriz singular: no tiene inversa - Conceptos teóricos para el estudio de matrices Combinación lineal de vectores Dependencia e independencia lineal de vectores Obtención de un vector como combinación lineal de otros vectores - Resolución de ecuaciones matriciales - Rango de una matriz Definición: Es el número de líneas (filas o columnas linealmente independientes) Cálculo del rango de una matriz Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro - Cálculo de determinantes de orden 2 y 3 DETERMINANTES - Propiedades de los determinantes - Conceptos asociados al cálculo de determinantes de una matriz Submatriz: matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande Menor de una matriz: determinante de una submatriz cuadrada - Conceptos asociados a matrices cuadradas: Menor complementario de un elemento a ij : Valor del determinante de orden n 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Notación: α ij es el menor complementario del elemento a ij

2 Adjunto de un elemento a ij : Es el menor complementario con signo: + si i+j es par - si i+j es impar Notación: A ij =( 1) i+j α ij es el adjunto del elemento a ij a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a a 33 Matriz cofactor: Dada una matriz A =, cof (A) = Matriz singular: Una matriz A es singular cuando A =0. Por tanto, una matriz singular no tiene matriz inversa. - Cálculo de un determinante por los elementos de una línea (fila o columna) El determinante de una matriz cuadrada se puede obtener sumando los resultados de multiplicar cada elemento de una de sus líneas por su adjunto respectivo. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Dada la matriz A = ; A se puede calcular, por ejemplo: a 31 a a 33 Por los elementos de su primera columna: A =a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 31 A 31 Por los elementos de su tercera fila: A =a 31 A 31 +a 32 A 32 +a 33 A 33 Notas: 1 Este método es aplicable a determinantes de cualquier orden, pero su utilidad principal es para el cálculo de determinantes de orden mayor a 3. 2 Al utilizar este método, conviene hacer ceros en una de sus líneas para simplificar los cálculos 3 Para hacer ceros en una línea: Sumar a una línea una combinación lineal de otra línea paralela (el determinante no varía) EJERCICIOS RESUELTOS: Cálculo determinantes por una línea - Cálculo del rango de una matriz a partir de sus menores (por determinantes) El rango de una matriz es el orden (la dimensión) del mayor menor no nulo que se puede obtener de esta matriz (es decir: el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante no nulo). - Cálculo de la inversa de una matriz A 1 = 1 A (cof A)t siendo (cof A) t = - Conceptos: Sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.) Ecuaciones equivalentes Transformaciones válidas en un S.E.L. - Posibles soluciones de un S.E.L. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3 - Sistemas de ecuaciones lineales escalonados - Expresión de un S.E.L. en forma de matriz A: matriz de los coeficientes A : matriz ampliada - Transformación de un S.E.L. cualquiera en un S.E.L. escalonado por el método de Gauss Consiste en: 1º) Expresar el S.E.L. en forma de matriz 2º) Hacer ceros aplicando a las ecuaciones dos transformaciones elementales: Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número distinto de cero - Discusión de un S.E.L. según el valor de un parámetro k Consiste en identificar los valores del parámetro k para los cuales el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible. - Teorema de Rouché Dado un S.E.L. expresado en forma de matriz, la condición necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible es que Rango (A) = Rango (A ): Un S.E.L. es compatible Rg (A) = Rg (A ) Consecuencia: Rg (A) Rg(A ) El sistema es incompatible

4 - Producto escalar de dos vectores VECTORES Notación: u=(x 1,y 1,z 1 ) ; v=(x 2,y 2,z 2 ) ; w=(x 3,y 3,z 3 ) ; α= ^ ( u, v) Definición: u v= u v cosα Expresión analítica: u v=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 Criterio de perpendicularidad de dos vectores (ambos no nulos): u v u v=0 - Producto vectorial de dos vectores - Producto mixto de 3 vectores PRODUCTO MIXTO DE u, v y w :

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