PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción B Junio, Ejercicio, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

2 Se sabe que la función f : ( 1, ) definida por continua en( 1, ). a) Halla el valor de a. Es f derivable en 0? b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. si f ( ) a si 0 es a) Como la función es continua en ( 1, ) debe serlo en 0, luego: lim lim 0 a 3 a 1 1 a a Vamos a ver si es derivable en 0. Calculamos la función derivada: 4 si 1 0 f '( ) 3 si 0 ( 1) f f '(0 ) 4 f '(0 ) f '(0 ) '(0 ) 3 No derivable b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. 4 si 1 0 f '( ) 3 si 0 ( 1) 1,0 0,1 1, Signo f ' + Función D D C

3 Considera la función f : definida por f ( ) ( 1)( 1)( ). a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 1. b) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La ecuación de la recta tangente será: y f ( 0) f '( 0) ( 0) f 3 ( ) ( 1)( 1)( ) 3 f (1) f f '( ) '(1) luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y 0 ( 1) y La ecuación de la normal será: 1 1 y 0 ( 1) y b) Calculamos la segunda derivada. f ''( ) , 3, 3 Signo f '' + Función Cn C 0 P.I., 3 7

4 Sea f :[0, ] la función definida por f ( ) e (cos sen). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los etremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3 y ' e cos 0 ; 0, 3, 3, Signo y ' + + Función C D C Máimo, e mínimo 3, e 3 El máimo absoluto es,e y el mínimo absoluto es 3, e 3

5 Se sabe que la función f : ( 1,1) definida por: c si 1 0 f( ) 1 si es derivable en el intervalo ( 1,1). a) Determina el valor de la constante c. b) Calcula la función derivada f. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Si la función es derivable en 0, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: 1 lim c c c 1 lim b) La función derivada es: f 1 4 si 1 0 '( ) 1 si c) Si son paralelas a la recta y m 1, luego: ; y Luego, la recta tangente es: Luego, la recta tangente es: 35 1 y 1 3 3y ; y y 1 4 4y 5 0 4

6 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 4 y 3 0. que es paralela a la recta b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y que pasan por el punto (,0). MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. y a) La ecuación de la recta tangente será: y f ( 0) f '( 0) ( 0) Como tiene que ser paralela a la recta 4 y 3 0 m f '( 0) 4 0 0, y f, luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: ( 0) 4 y 4 4 ( ) y 4 4 b) La ecuación de todas las rectas tangentes será: por el punto (,0), tenemos: a 0 y 0 0 ( 0) y 0 y a a a ( ) ; y como queremos que pasen a 0 0 a a ( a) a 4a 0 a 4 a 4 y 16 4 ( 4) y 8 16

7 Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 3 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. y a) La función que queremos que sea mínimo es: Superficie y min 4 b) Relación entre las variables: 3 3 y y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable min 4 Superficie d) Derivamos e igualamos a cero S' Luego, las dimensiones son: 4 dm ; y dm

8 Sea f : la función definida por f ( ). a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en 0. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Lo primero que hacemos es abrir la función y dibujarla f ( ) si 0 si 0 b) Calculamos la función derivada: f si 0 '( ) si 0 Vamos a estudiar la derivabilidad en 0 f f '(0 ) 0 '(0 ) 0 Si es derivable en 0 c) La ecuación de la recta tangente será: y f () f '() ( ) f () f '() 4 luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y 4 ( ) y 4 6

9 1 a Se sabe que lim 0 e 1 es finito. Determina el valor de a y calcula el límite. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. 1 a ae a 0 ae lim lim lim 0 0 ae a 1 0 ( 1) 0 0 e e ( e 1) e 1 a ae a 0 ae 0 ae a 1 lim lim lim lim ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 e e e e e e e 4

10 Sea f : la función definida por f ( ) e a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) La función f ( ) e, no tiene asíntota vertical ya que su dominio es. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal lim lim lim 0 e e e 4 e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y 0. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3 e e y ' 0 0 ; 1 ; 1 ( e ) e (, 1) ( 1,0) (0,1) (1, ) Signo y ' + + c) Función C D C D 1 1 Máimo 1, mínimo (0, 0) Máimo 1, e e

11 Halla una función f : tal que su gráfica pase por el punto M (0,1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta y 3 0 y que f ''( ) 3. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. La función que queremos averiguar será de la forma: 4 3 f ( ) a b c d e Calculamos la primera y segunda derivada. 3 f '( ) 4a 3b c d ; f ''( ) 1a 6b c Aplicamos las condiciones del problema: 1 1a 3 a 4 f ''( ) 1a 6b c 3 6b 0 b 0 c 0 c 0 f a b c d d 3 '(0) Pasa por M f a b c d e e 4 3 (0,1) (0) Luego, la función pedida será: 4 f ( ) 1 4

12 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 /cm y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. y a) Función que queremos que sea mínimo es: Coste y y min 1' ' b) Relación entre las variables: 80 y y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable '5 30 min '5 4 '5 Coste d) Derivamos e igualamos a cero '5 ' C' Luego, las dimensiones son: 4 cm ; y 5cm

13 De una función f :[0,4] se sabe que f (1) 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función su máimo absoluto. c) Estudia la concavidad y conveidad de f. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) De la gráfica de la función f '( ), vemos que f '(1) 1, luego, la ecuación de la tangente será: y f (1) f '(1) ( 1) y 3 1 ( 1) y b) De la gráfica de la función f '( ), vemos que siempre es positiva, luego, la función f ( ) es creciente en el intervalo 0,4 y, por lo tanto no tiene máimos ni mínimos relativos. Como es creciente el máimo absoluto está en 4. c) (0,1) f '( ) es creciente f ''( ) 0 Convea (1,3) f '( ) es decreciente f ''( ) 0 Cóncava (3,4) f '( ) es creciente f ''( ) 0 Convea Luego, 1 y 3 son puntos de infleión.