UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS LENGUAJE ALGEBRAICO 1. Expresa en lenguaje algebraico: a) La mitad del cuadrado de un número. b) La suma de los cuadrados de dos números. c) El cuadrado de la suma de dos números. d) La mitad de un número menos el doble de dicho número. e) La mitad de un número más su quinta parte. f) La mitad de la suma de dos números. g) El cubo de un número. h) El número natural siguiente a n. i) El número natural anterior a n. j) La suma de tres números naturales consecutivos. k) El producto de dos números. l) La edad de una persona dentro de 5 años. m) La edad de una persona hace 4 años. n) Añadir 5 unidades al doble de un número. o) La suma de un número y el doble del mismo. p) El área de un triángulo de base b y altura la mitad de la base. q) La resta de un número par y su siguiente. r) La suma de dos números consecutivos es 1. s) Dos números pares consecutivos suman 10. t) El producto de tres números consecutivos es 10. u) El producto de dos números impares consecutivos es 3. v) La suma de los cuadrados de dos números es igual a 45. w) El cuadrado de la suma de dos números es igual a 144. x) La diferencia de los cuadrados de dos números es igual a 7. y) El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a 16. z) El precio de un pantalón de x después de aplicarle un IVA del 1%. aa) El precio de una entrada a un concierto de 56 con un descuento del x%. bb) Los años de Ana Belén dentro de 1 años 3) Años de Isabel hace tres años. cc) La cuarta parte de un número más su siguiente. dd) El perímetro de un cuadrado de lado x. ee) Un múltiplo de 7. ff) Dos números que se diferencian en dos unidades. gg) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. Página 1 de 1

2 . Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas: a b a) b) c) a b ab a d) ; b 0 b e) n 1 f) n 5 n 5 g) n 10 h) n 1 3 i) 4 n 8 j) 5 n n k) 3n l) x 3 x n 1 m), n 3 n 3 n) 0,8x o) x 5 1 x p) x 6 5 q) a b a b r) x x 4 10 x : s) 1,4x : 3. Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: Página de 1

3 MONOMIOS 4. Cuál es el grado de los siguientes monomios? a) -5xy z 3 b) 11xy c) -15 d) 0,3a e) (3x ) 4 f) 3xyz Escribe dos monomios semejantes a cada uno de ellos. 5. Escribe un monomio de 5 grado, con dos variables y cuyo coeficiente sea múltiplo de y Suma y resta de monomios: a) 3x + 4x 5x = b) 6x 3 x 3 + 3x 3 = c) x 5 + 4x 5 7x 5 = d) x 4 + 6x 4 + 3x 4 5x 4 = e) 7x + 9x 8x + x = f) y + 5y 3y = g) 3x y 6x y + 5x y = h) 4xy xy 7xy = i) a 6 3a 6 a 6 + a 6 = j) 7xy z xy z + xy z 6xy z = k) ab 3 + 3ab 3 5ab 3 + 6ab 3 4ab 3 = l) x 3 + 5x x + 3x 3 + x + x 3 = m) x 4 + x 3x + x 4 5x 4 + 8x = n) 3a b 5ab + a b + ab = o) 1x 5 x 5 4x 5 x 5 3x 5 = p) x + x = q) (ab 3 + a 3 b) 3a 3 b + 5ab 3 (a 3 b ab 3 ) r) x y 5x y (3x y 4x y ) 8x y = s) x + x + x 3 + 3x x 3 + x + 3x 3 = t) x + x 3 = u) 7 3 x x = v) 1 x3 5 x3 + 3 x3 = w) 7x 1 x 5 x + x + 3 x = x) a b + 5a b 3 a b a b + a b 7. Producto y cociente de monomios. a) 3x 4x 3 = b) x 3 4x 3 3x 3 = c) x 3 x 3 = d) x 4 3x 3 = e) 7x ( 8x ) = f) ( 3y ) ( y 3 ) = g) 3x y 6xy 3 = h) 4a 3 b a b 7ab = i) a 6 3a 6 a 6 = j) ab 3 ( 3a b) 5a 3 b = k) ab c 3 ( 3a bc) 3abc = l) (6x 4 ) : (x )= Página 3 de 1

4 m) 15x 4 : ( 3x) = n) 8x 4 : ( 4x 3 ) = o) ( 18x 4 ) : (6x 3 ) = p) x 4 6x 3 : (4x ) = q) 7x 4 : ( 9x 3 ) ( x ) = r) 1 a3 5 3 a4 = s) 3 4 x 5 x3 = t) 5 x3 ( 3 x) = u) x 1 3 x3 = v) 1a 6 3a 3 = w) y) 14x 7 7x = x) a 5 b 4 c 6 1a 3 b 4 c 5 = z) 5x 4 y 3 x y = 3a 5 b ( 1a 4 b ) 4a 3 b = aa) (x) bb) 8. Efectuar las siguientes operaciones combinadas con monomios: a) 15x 5 3x 3 4x = b) x 3 + 4x 3 5x x ( x ) = c) 3a ab a ( 4b) 8 (a b) = d) 3x + 4x x ( 3x) (4x 3 + x x x ) e) 3xy ( 4x 7y ) + 8x y 3 : (xy) = f) ( y ) ( y ) 5y ( y 3 ) + 3y 3 ( 4y) g) (3x 3 6x x x ) : (4x 3x 8x x 3 ) = h) 3x x 3 x3 = i) 4a b ( ab ) 5ab 8a 4 b 4 = j) a a3 3 5 a = k) 5x 6 x 6 3x 6 : ( x 6 ) = l) ( 7 3 x3 ) ( 4 7 x) + 3 x4 m) ab ( a 3 b) + ab ( 3a b) 5a 3 b ab + ab a b = n) x 1 3 x3 + 1x7 3x o) x y ( 3x 7y) + 16x y 3 z 4y z p) POLINOMIOS 9. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valor indicado de la indeterminada: a) P ( x ) = x + x + 1, para x = (Sol: 7) b) P ( x ) = x + x + 1, para x = (Sol: 3) Página 4 de 1

5 c) P( x ) = x x +, para x = 3 (Sol: 17) d) P( x ) = x x +, para x = (Sol: 1) e) P ( x ) = x 3x + 4, para x = 4 (Sol: 4) f) P ( x ) = x + 3x + 4, para x = 1 (Sol: 0) g) P ( x ) = x 3 + 3x + 1, para x = 0 (Sol: 1) h) P ( x ) = x 3 4x + x + 3, para x = 3 (Sol: 63) i) P ( x ) = x 4 4x 1, para x = (Sol: 1) j) P ( x ) = x 3 3x x +, para x = 4 (Sol: ) k) P(x) = x 3 3 x x + 10, para x = - (Sol: -1/6) 4 l) P(x) = x x + 5 x 1, para x = 5 (Sol: 619/6) m) P(x) = x 3 + x x + 7, para x = -3 (Sol: ) Realiza los siguientes apartados: a) Dado P(x) = x + x + k, hallar el valor de k para que P()=6 (Sol: K= ) b) Dado P(x) = x kx +, hallar el valor de k para que P( )=8 (Sol: K=1) c) Dado P(x) = kx 3 x + 5, hallar el valor de k para que P( 1)=1 (Sol: K=3) 11. Indica el grado, término independiente, coeficiente principal y número de términos de los siguientes polinomios: P(x) = x 3 3x + 4x Q(x) = x 4 x 3 + 3x + 4 R(x) = 3x 5x + 5 S(x) = 3x 1. Dados los polinomios de la actividad anterior, realiza las sumas y restas que se indican: a) P(x) + Q(x) = (Sol: x 4 +x 3 +4x+) b) P(x) + R(x) = (Sol: x 3 x+3) c) P(x) + S(x) = (Sol: x 3 3x +7x 4) d) S(x) + P(x) = (Sol: ídem) e) P(x) + P(x) = (Sol: 4x 3 6x +8x 4) f) Q(x) S(x) = (Sol: x 4 x 3 +3x 3x+6) g) Q(x) + R(x) = (Sol: x 4 x 3 +6x 5x+9) h) P(x) R(x) = (Sol: x 3 6x +9x 7) i) Q(x) + S(x) = (Sol: x 4 x 3 +3x +3x+) j) P(x) S(x) = (Sol: x 3 3x +x) Página 5 de 1

6 k) S(x) P(x) = (Sol: x 3 +3x x) l) P(x) P(x) = (Sol: 0) m) R(x) S(x) = (Sol: 3x 8x+7) n) P(x) Q(x) + R(x) = (Sol: x 4 +3x 3 3x x 1) o) Q(x) [R(x) + S(x)] = (Sol: x 4 x 3 +x+1) p) S(x) [R(x) Q(x)] (Sol: x 4 x 3 +8x 3) 13. Efectuar los siguientes productos en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado: a) x (3x 4 x 3 + x 5) = b) ( x 5 + 3x 3 x 7x + 1) ( 3x 3 ) = c) 4a 3 ( a 3 + 3a a + 1) = d) ( y 4 + y 3 3y + ) ( y ) = e) 1x ( 3 x3 3 x + 4 x 5 ) = 5 4 f) ( 1 ab3 a a b + ab) 6a b = 14. Dados los siguientes polinomios, realiza los productos que se indican: P(x) = x 3 3x + 4x Q(x) = x 4 x 3 + 3x + 4 R(x) = 3x 5x + 5 S(x) = 3x a) P(x) R(x)= (Sol: 6x 5 19x 4 +37x 3 41x +30x 10) b) P(x) S(x)= (Sol: 6x 4 13x 3 +18x 14x+4) c) S(x) P(x)= (Sol: Ídem) d) P(x) P(x)= (Sol: 4x 6 1x 5 +5x 4 3x 3 +8x 16x+4) e) Q(x) S(x)= (Sol: 3x 5 5x 4 +11x 3 6x +1x 8) f) [Q(x)] = (Sol: x 8 x 7 +7x 6 6x 5 +9x 4 8x 3 +4x +16) g) Rx) S(x)= (Sol: 9x 3 1x +5x 10) h) [R(x)] = (Sol: 9x 4 30x 3 +55x 50x+5) i) P(x) Q(x)= (Sol: x 7 5x 6 +13x 5 15x 4 +x 3 18x +16x 8) j) Q(x) R(x)= (Sol: 3x 6 8x 5 +19x 4 0x 3 +7x 0x+0) k) [S(x)] = (Sol: 9x 1x+4) 15. Realizar las siguientes operaciones combinadas de polinomios: Página 6 de 1

7 a) (x 3 + ) [(4x + ) (x + x + 1)] = (Sol: x 5 x 4 +x 3 +4x x+) b) (x 3) (x + 1) (x + 5) (x ) = (Sol: 3x 8x+7) c) (4x + 3) (x 5) (6x 10 x 1) = (Sol: x 4x 3) d) (x 3 + ) (4x + ) (x + x + 1) = (Sol: 4x 5 +x 3 +6x x+3) e) (x + x ) (x 3x + ) (5x 3 3x + 4) = (Sol: x 4 10x 3 +x +8x 8) f) (x 3x + ) [(5x 3 3x + 4) (x + x )] = (Sol: 5x 5 0x 4 +4x 3 x 0x+1) g) x + x (x 3x + ) (5x 3 3x + 4) = (Sol: 5x 5 +18x 4 19x 3 +4x +13x 10) h) ( x + x ) ( x + 1) (x 5 x 4 + x + x 1) = (Sol: x 5 +3x 4 x 3 x x 1) i) x ( x 4 ) x3 x (x 4 + 5x 1) (x 3) = 16. Dados los polinomios del ejercicio 14, hallar las siguientes operaciones combinadas: a) [P(x) + Q(x)] R(x) = (Sol: 3x 6 x 5 +17x 3 14x +10x+10) b) [Q(x) R(x)] S(x) = (Sol: 3x 5 5x 4 +x 3 +15x 13x+) c) [P(x) + Q(x) S(x)] R(x) = (Sol: 3x 6 x 5 +8x 3 +7x 15x+0) d) [P(x) Q(x)] [R(x) + S(x)] = (Sol: 3x 6 +11x 5 7x 4 +33x 3 44x +4x 18) e) P(x) + Q(x) = (Sol: x 4 +3x +4x+6) f) P(x) 3 [Q(x) + R(x)] = (Sol: 3x 4 +5x 3 1x +19x 9) g) P(x) Q(x) + 3R(x) = (Sol: x 4 +4x 3 11x+5) h) P(x) Q(x) R(x) = (Sol: 4x 7 10x 6 +6x 5 30x 4 +44x 3 39x +37x 1) i) Q(x) [R(x) 3S(x)] = (Sol: 6x 6 5x 5 +53x 4 73x 3 +7x 76x+64) j) - [Q(x) + R(x)] S(x) = (Sol: 3x 5 +5x 4 9x 3 +48x 6x+8) k) P(x) x Q(x) = 17. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) x b) x 4 c) x y d) x 3 e) x f) 3x 5 g) a 1 h) a b i) a b j) 5x k) x 7y l) m 4n 18. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) b 1 b 1 b) 4 x 4 x c) m 4 m 4 d) x 1 x 1 e) x 3y x 3y f) 3z 3z Página 7 de 1

8 g) x y x y h) 5n m 5n m i) y 3z y 3z 19. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) (x + x ) b) (a a 3 ) c) (3x + 5) (3x 5) d) (8 + x) e) ( b) f) (5x ) ( + 5x) g) (9a + b) h) (x 1) g) (x + 6) (6 x ) 0. Efectuar los siguientes cocientes en los que intervienen monomios, simplificar, y comprobar el resultado: a) 3x 4 + 6x 3 1x 3x = b) (8x8 6x 4 4x 3 ): ( 4x 3 ) = c) 1x9 + x 5 x 4 4x 4 = d) ( 18x3 yz 3 ): (6xyz 3 ) = 1. Efectuar (en el cuaderno) las siguientes divisiones de polinomios, y comprobar mediante la regla D=d C+R: a) (x 4 x 3 +7x +x+15) : (x +) (Soluc: C(x)=x x+5; R(x)=3x+5) b) (x 5 x 3 +x 3x 3) : ( x 3) (Soluc: C(x)=x 3 +x+1; División exacta) c) (6x 4 10x 3 +x +11x 6) : ( x 4x+3) (Soluc: C(x)= 3x +11x 7; R(x)= 130x+75) d) (x 3 +x +x 1) : (x 1) (Soluc: C(x)=x+; R(x)=x+1) e) (8x 5 16x 4 +0x 3 11x +3x+) : (x 3x+) (Soluc: C(x)=4x 3 x +3x+1; División exacta) f) (x 4 +3x 3 x+5) : (x 3 +) (Soluc: C(x)=x+3; R(x)= 4x 1) g) (x 5 x 4 +3x 6) : (x 4 +1) (Soluc: C(x)=x ; R(x)=3x x 4) h) (x 4 +3x 3 x+5) : ( x 3 +) (Soluc: C(x)= x 3; R(x)=11) i) x : (x +1) (Soluc: C(x)=1; R(x)= 1) j) (3x 6 +x 4 3x +5) : (x 3 x+4) (Soluc: C(x)=3x 3 +8x 1; R(x)=13x 56x+53) k) (x 3 4x +5x 8) : (x ) (Soluc: C(x)=x x+1; R= 6) l) (x 5 +3x 6) : (x +3) (Soluc: C(x)=x 4 6x 3 +18x 51x+153; R(x)= 465) m) (x 4 7x 3 +8x ) : (x 1) (Soluc: C(x)=x 3 6x +x+; División exacta) n) (x +1) : (x 4x+13) (Soluc: C(x)=1; R(x)=4x 1) Página 8 de 1

9 o) (x +1) : (x 4x+13) (Soluc: C(x)=1; R(x)=4x 1) p) (8x 5 16x 4 +0x 3 11x +3x+) : ( x 3x+) (Soluc: C(x)= 4x 3 +14x 35x+7; R(x)=89x 14) q) (5x 4 x 3 +x 7) : (x 1) (Soluc: C(x)=5x x+5; R(x)= x ) r) (4x 5 3x 3 +5x 7) : ( x 3x+5) (Soluc: C(x)= x 3 +3x 8x+17; R(x)=91x 9) s) (9x 3 +3x 7x+) : ( 3x +5) (Soluc: C(x)=3x+1; R(x)= x 3) t) (4x 4 3x +5x 7) : ( x +x 3) (Soluc: C(x)=x x+; R(x)= 1). Efectuar (en el cuaderno) las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini 1, y comprobar mediante la regla D=d C+R: a) (x 3 4x +5x 8) : (x ) (Soluc: C(x)=x x+1; R= 6) b) (x 4 7x 3 +8x ) : (x 1) (Soluc: C(x)=x 3 6x +x+; División exacta) c) (x 4 +3x 3 4x +x 18) : (x ) (Soluc: C(x)=x 3 +7x +10x+1; R=4) d) (x 4 +x 3 x 1) : (x +) (Soluc: C(x)=x 3 3x +4x 8; R=15) e) (x 5 +3x 6) : ( x+3) (Soluc: C(x)=x 4 6x 3 +18x 51x+153; R= 465) f) (3x 4 10x 3 x 0x+5) : ( x 4) (Soluc: C(x)=3x 3 +x +7x+8; R=37) g) (x 4 10x+8) : ( x+) (Soluc: C(x)=x 3 4x +8x 6; R=60) h) (10x 3 15) : ( x+5) (Soluc: C(x)=10x 50x+50; R= 165) i) (x 3 +x +3x+1) : ( x 1) (Soluc: C(x)=x +3x+6; R=7) j) (x 4 x 3 +x +3x+1) : ( x ) (Soluc: C(x)=x 3 +x+5; R=11) k) (x 4 7x 3 +4x 5x+6) :(x 3) (Soluc: C(x)=x 3 x +x ; División exacta) l) (x 5 +1) : (x 1) (Soluc: C(x)=x 4 +x 3 +x +x+1; R=) m) (x 4 +x 3 x +x 1) : ( x+) (Soluc: C(x)=x 3 x +x 1; R=1) n) (x 3 7x / 10x/3 70) : ( x 6) (Soluc: C(x)=x +5x/+35/3; División exacta) o) (x 4 x3 + x + 3x + 1) (x + 3) (Soluc: c(x) = 3 p) (x 3 +3x 1) :(x 1/) (Soluc: C(x)=x +4x+; División exacta) q) (3x 3 +x +x 1) : ( x 1/3) (Soluc: C(x)=3x +3x+3; División exacta) r) (ax 3 3a x +a 3 x+1) : ( x a) (Soluc: C(x)=ax a x; R=1) Página 9 de 1

10 s) (x 4 - x 3 / + x - 1/) : (x+) (Soluc: C(x) = x 3-9/ x + 9x - 17); R=63/ t) (6x 4 1x 3 15x 5) : ( x 3) (Soluc: C(x)=6x 3 +6x +3x+9; R=) 3. Extraer el máximo factor común posible (y comprobar mentalmente aplicando la propiedad distributiva): a) 4x 6x + x 3 = (Soluc: x(x +x 3)) b) 3x 3 + 6x 1x = (Soluc: 3x(x +x 4)) c) 1x 4 y + 6x y 4 15x 3 y = (Soluc: 3x y(4x y+y 3 5x)) d) 1x 3 8x 4 + 4x +4x 6 = (Soluc: 4x (x 4 x 3x+1)) e) 3xy xy 10x yz = (Soluc: xy(3+y+10xz)) f) - 3x + 6x + 1x 3 = (Soluc: 3x(4x +x 1)) g) ab 4a 3 b + 8a 4 b 3 = (Soluc: ab(b a +4a 3 b )) h) x 5 4x 4 6x 3 + x = (Soluc: x (x 3 x 3x + 1) i) 6x 3 y 3x yz + 9xy 3 z = (Soluc: 3xy(x y xz+3y z )) j) k) 15x y 5x y + 5x y 3 = (Soluc: 5x y (3y 1 + 5y ) 4x (x 3) x(x 3) = (Soluc: x(x 3)(x+3)) 4. Factorizar utilizando la regla de Ruffini: a) x 3 7x + 6 Soluc: (x 1) (x )(x + 3) b) x 4-7x x - 17x + 6 Soluc: (x 1) (x )(x 3) c) x 3 +5x x 4 Soluc: (x )(x + 3)(x + 4) d) x 4 6x 3 + 8x + 6x 9 Soluc: x 1 x 1 x 3 e) x 4 7x 3 17x 17x + 6 f) x 4 + 4x 3 + 3x - 4x - 4 Soluc: (x )(x + 3)(x + 4) g) 3x 3 16x 3x 6 Soluc: x x 3 3x 1 h) x 3 3x Soluc: x 1 x i) x 4 + x 3-11x - 9x + 18 j) x 5 + 3x 4-5x 3-15x + 4x + 1 k) x 4 + 9x x - 9x - 0 Página 10 de 1

11 PIENSA Y RESUELVE 5. Si P(x) tiene grado 5 y Q(x) tiene grado, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) c) P(x) Q(x) d) Cociente y resto de P(x) : Q(x) 6. Expresa algebraicamente: a) El área del triángulo azul. b) El área del trapecio amarillo. c) La longitud de l. 7. Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada. 8. Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio: 9. Simplifica esta expresión: a (a + 1) (a 1). Utiliza el resultado obtenido para hallar cuánto vale sin usar la calculadora. 30. Simplifica esta expresión: (a + 1) (a 1). Utiliza el resultado obtenido para hallar cuánto vale sin usar la calculadora. 31. Averigua cuánto debe valer a para que en cada apartado, las dos expresiones sean idénticas: a) (3x + a) (3x a) y 9x 18 b) (x a) + xa 46 y x Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos. 33. Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base. Página 11 de 1

12 34. Expresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles: 35. Un fabricante produce mesas elaboradas a mano. El dueño de la fábrica a observado que los costes de fabricación de una unidad varían excesivamente dependiendo del números de mesas producidas. Además sabe que el coste total en euros, de producir x mesas (siempre que produzca como mínimo 10), viene dado por la expresión: 36. C(x) = x3 + 5x Teniendo en cuenta esto, contesta a las siguientes preguntas: a) Cuánto cuesta fabricar 10 mesas? Y 1 mesas? Y 15 mesas? b) Si fabrica 40 mesas, cuánto cuesta producir una unidad? Y si fabrica 0? Le han hecho un pedido de 18 mesas y tiene dos opciones: Fabricar 18 mesas y vendérselas a su cliente a precio de catálogo (1.700 la unidad) Ofrecerle a su cliente una oferta de 0 mesas a cada una. c) Qué opción le ofrece mayor beneficio? Página 1 de 1