70 EJERCICIOS de PROBABILIDAD 2º BACH. CC. SS.

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1 70 EJERCICIOS de PROBABILIDAD 2º BACH. CC. SS. En los siguientes ejercicios se recomienda: Considerar previamente, cuando proceda, el espacio muestral. Utilizar siempre el lenguaje de sucesos convenientemente. Siempre que proceda, dar los resultados en forma de fracción (no es necesario pasarlos a forma decimal). Probabilidad elemental (regla de Laplace) 1. Una bolsa contiene 12 bolas verdes y 4 rojas, y otra bolsa contiene 20 bolas verdes y 10 rojas. En qué bolsa es más probable extraer una bola verde? (Soluc: en la 1ª bolsa) 2. En una bolsa se introducen 4 bolas azules, 4 rojas y 2 verdes. Se agita la bolsa y seguidamente se extraen tres bolas, de las que dos son rojas y una azul. A continuación, se extrae otra bola. Qué color es el que tiene mayor probabilidad de ser elegido? (Sol: el azul) 3. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que: a) Sea roja o verde. b) No sea roja. (Sol: 3/4; 3/5) 4. Se extrae al azar una carta de una baraja española. Hallar la probabilidad de que salga: a) Un as o una copa. (Sol: 13/40) b) Una figura o una copa. (Sol: 19/40) 5. Considerar el experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20. a) Indicar los sucesos elementales que componen el suceso A= extraer nº impar. Hallar la probabilidad de dicho suceso. (Soluc: 1/2) b) Ídem para el suceso B= extraer nº primo. (NOTA: Considerar el 1 primo) (Soluc: 9/20) c) Ídem para el suceso extraer nº impar y primo. Cómo es este suceso respecto a A y B? (Soluc: 2/5) d) Sea el suceso extraer nº impar o primo. Utilizando la fórmula adecuada y lo obtenido en los apartados anteriores ( no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de dicho suceso, razonando el porqué de la fórmula utilizada. (Soluc: 11/20) 6. En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda 4 veces, se pide: a) Formar el espacio muestral E (se recomienda utilizar un árbol). De cuántos elementos consta? (Soluc: 16 elementos) b) Hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara. Hallar también la probabilidad de obtener justo dos caras. Con los dos resultados anteriores, y utilizando la fórmula adecuada ( no mediante la regla de Laplace!), hallar la probabilidad de obtener una o dos caras. Razonar qué fórmula se ha utilizado. (Soluc: 1/4, 3/8, 5/8)

2 c) Hallar la probabilidad de obtener siempre cruz. (Soluc: 1/16) d) Hallar, utilizando la fórmula de la probabilidad del suceso contrario ( no mediante la regla de Laplace!), la probabilidad de obtener al menos una cara. (Soluc: 15/16) 7. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtenga al menos dos cruces. (Sol: 1/2) 8. Considerar el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española. a) Describir su espacio muestral E. Cuántos sucesos elementales lo componen? (Soluc: 40) b) Sea el suceso A= extraer un oro. Definirlo y hallar su probabilidad. (Soluc: 1/4) c) Ídem para el suceso B= extraer una figura. (Soluc: 3/10) d) Utilizando el resultado anterior y la fórmula adecuada ( no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de no extraer una figura. (Soluc: 7/10) e) Definir el suceso extraer una figura y que sea además oro ; hallar su probabilidad. Cómo es este suceso respecto a A y B? (Soluc: 3/40) f) Sea el suceso extraer figura u oro. Utilizando la fórmula adecuada y lo obtenido en los apartados anteriores ( no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de dicho suceso, razonando el procedimiento utilizado. (Soluc: 19/40) 9. Se lanzan dos dados y se suma la puntuación obtenida. Se pide: a) Indicar el espacio muestral. Cuántos casos posibles hay? (Soluc: 36) b) Hallar la probabilidad de obtener exactamente un 4 (Soluc: 1/12) c) Hallar la probabilidad de obtener puntuación 4 (Soluc: 1/6) d) Hallar la probabilidad de no sacar un 12 (Soluc: 35/36) e) Hallar la probabilidad de sacar un 4 o un 12 (Soluc: 1/9) f) Cuál es el número más probable de obtener? Y el menos? 10. Se lanzan dos dados. Considerar los siguientes sucesos: A= la suma de puntos es 5 B= en uno de los dados ha salido 4 C= en los dos dados salió el mismo resultado Se pide: a) P(A), P(B) y P(C) (Soluc: 1/9; 11/36; 1/6) b) P(A B) (Soluc: 1/18) c) P(AUB), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 13/36) d) P(A C) (Soluc: 0) e) P(AUC), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 5/18) f) P(B C) (Soluc: 1/36) g) P(BUC), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 4/9)

3 11. Se lanzan tres dados al aire. Calcular la probabilidad de que se obtenga: a) 3 seises (Soluc: 1/216) b) Una suma de puntos total igual a 8 (Soluc: 7/72) 12. En un juego tenemos que elegir una tarjeta de cada una de las dos cajas que hay sobre la mesa. En una de ellas hay tres tarjetas con las letras S, S, N, y en la otra tres con las letras O, O, I Cuál es la probabilidad de formar SÍ? Y la palabra NO? Cuál es la probabilidad de no formar ninguna de estas dos palabras? (Soluc: 2/9; 2/9; 5/9) 13. Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que se lanzó al azar sea múltiplo de 5. (Soluc: 1/3) 14. Supongamos una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara es triple que la de cruz. Hallar la probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz. (Soluc: 3/4 y 1/4) 15. Se ha trucado un dado de tal forma que la probabilidad de obtener número par es doble que impar. Hallar: a) Probabilidad de obtener un número par, y probabilidad de obtener impar. (Soluc: 2/3 y 1/3) b) Probabilidad de cada suceso elemental. (Soluc: 1/9 cualquier número impar y 2/9 cualquier par) c) Probabilidad de obtener puntuación 3 (Soluc: 4/9) 16. Una caja contiene cuatro bombillas, de las cuales una es defectuosa: a) Describir el espacio muestral del experimento que consiste en probar las bombillas hasta encontrar la defectuosa. b) Si las bombillas se eligen al azar, asignar probabilidades a los sucesos elementales del apartado a. (Soluc: E={DCCC,CDCC,CCDC,CCCD}; todos tienen probabilidad 1/4) 17. Una caja contiene una bola blanca, una verde y una roja. a) Describir el espacio muestral correspondiente a este experimento: se extrae una bola de la caja, se devuelve a la caja y se extrae otra bola. b) Hallar la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. (Soluc: E={BB,BV,BR,VV,VB,VR,RB,RV,RR}; 1/3) 18. Un test consta de cuatro preguntas con dos posibles respuestas cada una, una cierta y otra falsa. Si un estudiante contesta al azar, calcular: a) Probabilidad de acertar las cuatro preguntas. b) Probabilidad de acertar al menos dos preguntas. Ayuda: formar el espacio muestral mediante un diagrama en árbol (Soluc: 1/16; 11/16) 19. En una caja hay 100 bolas numeradas del 1 al 100. Si se extrae una bola, hallar la probabilidad de que el número extraído sea: a) Múltiplo de 3. b) Múltiplo de 5.

4 c) Múltiplo de 3 sabiendo que es múltiplo de 5. (Soluc: 33/100; 1/5; 3/10) 20. Se lanzan dos dados y se observa que la suma obtenida es impar. Calcular la probabilidad de que dicha suma sea menor que 8. (Soluc: 2/3) 21. Se tiran dos dados. Sea A el suceso de que la suma de los puntos obtenidos sea impar. Sea B el suceso de que por lo menos uno de los dados muestre un 1. Calcular P(A B) y P(A B). (Soluc:1/6 y 23/36) Operaciones con sucesos 22. Siendo A y B sucesos incompatibles de un cierto espacio probabilístico tales que P(A)=1/5 y P(B)=2/5, hallar P(A C B C ). (Soluc: 2/5) 23. Sean A y B dos sucesos arbitrarios independientes con probabilidades respectivas P(A) y P(B). Expresar en función de P(A) y P(B) la probabilidad del suceso (A C B C ) (A C B C ). (Soluc:[1-P(A)][1-P(B)]) 24. Sean A y B dos sucesos con P(A)=0,3, P(B)=0,7 y P(A B)=0,1. Se pide calcular las siguientes probabilidades: P(A C ), P(A C B C ), P(A B C ) y P(A C B C ). (Soluc: 0,7, 0,1, 0,2 y 0,9) Probabilidad de la de sucesos independientes: 25. Hallar la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas de una baraja, si una vez extraída la primera se devuelve al mazo. (Soluc: 1/100) 26. En una población la probabilidad de nacer varón es de 0,46. De una familia con tres hijos, calcular la probabilidad de que (se recomienda hacer un árbol): a) Los tres sean varones. (Soluc: 0,097) b) Ninguno sea varón. (Soluc: 0,15) c) Al menos haya un varón. (Soluc: 0,84) d) Al menos haya una mujer. (Soluc: 0,90) 27. Sean A, B y C tres sucesos independientes tales que P(A)=0,2, P(B)=0,8 y P(C)=0,7. Hallar la probabilidad de los sucesos siguientes: A U B, A U C. (Soluc: 0,84; 0,76) 28. Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. Sea A el suceso de que la carta seleccionada sea un as. Sea B el suceso de que la carta seleccionada sea de oros. Calcular P(A), P(B), P(A B). A y B son sucesos independientes? Razonarlo. (Soluc: 1/10, 1/4, 1/40; sí son independientes) 29. Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad ha padecido determinada enfermedad. Si se examinan tres personas al azar, cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya padecido esta enfermedad? (Soluc: 0,27) 30. Dos estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen. (Soluc: 3/5)

5 31. Dos personas A y B organizan el siguiente juego. Tiran un dado tres veces. Si sale algún 1, gana A. Si no sale ningún 1, gana B. Cuál de las dos personas tiene más probabilidades de ganar? (Soluc: tiene más probabilidades B, ya que la probabilidad de que no salga ningún 1 es 0,58) 32. Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces. Se pide: a) Construir el espacio muestral. b) Suponiendo que la moneda está cargada y que la probabilidad de cara es 0.6, Cuáles son las probabilidades de los sucesos elementales? c) Cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos una cara? (Soluc: E={CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}; 0,216, 0,144, 0,144, 0,096, 0,144, 0,096, 0,096 y 0,064 respectivamente; 0,936) 33. Se tiran dos dados: a) Calcular la probabilidad de obtener dos números pares. (Soluc: 1/4) b) Calcular la probabilidad de obtener un número par y un número impar. (Soluc: 1/2) 34. Se tiran tres dados. Calcular la probabilidad de obtener: a) 3 seises b) algún seis c) ningún seis b) 2 seises 35. Supongamos que la probabilidad de meter un penalti un determinado jugador es 5/6. Supongamos tres lanzamientos. Hallar la probabilidad de: a) Meter los tres penaltis. b) Meter al menos un penalti. (Soluc: 125/216; 215/216) Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes 36. Repetir el ejercicio 25 suponiendo ahora que la primera carta extraída no se devuelve al mazo. 37. Repetir el ejercicio 16 aplicando probabilidad condicionada. 38. En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos/as de esa clase. Calcular la probabilidad de que (se recomienda hacer un árbol): a) Los dos sean chicos. (Soluc: 8/35) b) Sean dos chicas. (Soluc: 98/35) c) Sean un chico y una chica. (Soluc: 18/35) 39. Después de tirar muchas veces un modelo de chincheta, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? (Soluc: 0,47) 40. En un centro escolar hay 1000 alumnos/as repartidos como indica la tabla adjunta. Se elige al azar uno de ellos. Hallar la probabilidad de que: a) Sea chico. USAN GAFAS NO USAN GAFAS CHICOS CHICAS

6 b) No use gafas. c) Sea una chica con gafas. d) No use gafas sabiendo que es chica. e) Sea chica sabiendo que no usa gafas. f) Use gafas sabiendo que es chica. 41. En una empresa hay 200 empleados, la mitad de cada sexo. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. Si elegimos un empleado/a al azar, calcular la probabilidad de que sea hombre y no fume (Se recomienda hacer una tabla de contingencia como la del ejercicio anterior). Si sabemos que el elegido/a no fuma, cuál es la probabilidad de que sea mujer? 42. En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones. Calcular la probabilidad de que el número formado por las tres bolas, y en el orden de extracción, sea el 121, suponiendo que: a) La bola se reintegra a la bolsa. (Soluc: 1/8) b) La bola no se devuelve a la bolsa. (Soluc: 1/6) 43. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de los tiros libres. Supongamos que si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcular la probabilidad de que haga dos puntos, de que haga un punto, y de que no anote ningún punto. (Soluc: 9/16; 3/16; 1/4) 44. En el lanzamiento de un dado se consideran los tres sucesos siguientes: A=sale un número impar; B=sale un número par; C=sale el 1 o el 2. Se pide: a) Son independientes A y B? b) Son independientes A y C? c) Calcular P(A/C) (Soluc: no; sí; 1/2) 45. Una caja contiene 10 tornillos de los cuales 3 son defectuosos. Se extraen sin reemplazamiento 4 tornillos. Se pide: a) Probabilidad de extraer 4 buenos. b) Probabilidad de extraer al menos uno defectuoso. (Soluc: 1/6; 5/6) 46. En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcular el número de bolas blancas que debe tener la caja. (Soluc: x=3 bolas blancas) 47. En una urna hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Hallar la probabilidad de que al extraer dos bolas resulten de la misma paridad. (Soluc: 4/9) 48. De las 40 cartas de una baraja se extraen 4 sucesivamente sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que sean del mismo palo. (Soluc: 0,0094) 49. En el programa de Matemáticas hay 29 temas. Un estudiante prepara solamente 20 de ellos. En el examen se sacan tres temas al azar. Calcular la probabilidad de que por lo menos dos de ellos esté entre los 20 preparados. (Soluc: 0,78)

7 50. Se tiene una urna con 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Se realizan tres extracciones con reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos bolas blancas y una negra? Hallar la probabilidad del mismo suceso, pero suponiendo que las tres extracciones se realizan sin reemplazamiento. (Soluc: 0,41; 0,45) 51. En una urna con 4 bolas blancas y 6 negras, se extraen sin reemplazamiento 3 bolas. Se pide: a) Describir el espacio muestral. b) Probabilidad de los sucesos elementales. c) Probabilidad del suceso "al menos una bola es blanca". (Soluc: E={BBB,BBN,BNB,BNN,NBB,NBN,NNB,NNN}; 1/30, 1/10, 1/10, 1/6, 1/10, 1/6, 1/6, 1/6; 5/6) 52. En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra sin reemplazamiento. a) Calcular la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo. b) Calcular la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo. (Soluc: 2/5; 3/5) 53. Un sistema está formado por dos componentes A y B. El sistema funciona si funciona alguno de sus componentes. La probabilidad de que funcione A es P(A)=0,8, la de que funcione B es P(B)=0,7 y P(A B)=0,6 a) Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? b) Cuál es la probabilidad de que funcione el componente A, sabiendo que el componente B no funciona? (Soluc: 0,9; 2/3) 54. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) Son las pruebas sucesos independientes? d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera. (Soluc: 0,9; 0,1; no; 0,75) 55. En una baraja de cartas españolas (40 cartas) se consideran los sucesos A: extraer figura; B: extraer una sota; C: extraer una espada. Hallar las probabilidades siguientes: P[(A B)/C], P(A/B), P(B/C), P[(A B)/C] Compruébese que P[(A B)/C]=P(A/C)+P(B/C)-P[(A B)/C]. (Soluc: 2/5; 1; 1/10; 1/10) 56. Hallar la probabilidad de extraer sucesivamente rey, as y sota de una baraja española, sin devolución de las cartas extraídas. (Soluc: 0,001) 57. Hallar la probabilidad de obtener 4 caras en 4 lanzamientos de una moneda. (Soluc: 1/16) 58. En una clase de 25 alumnos hay tres amigos. El profesor decide sacar es día a la pizarra a tres alumnos diferentes. Hallar la probabilidad de que no le toque a ninguno de los tres.

8 Probabilidad total 59. Javier tiene en su bolsillo 4 monedas de cinco céntimos, 3 de 20 céntimos y 2 de 50 céntimos. Saca dos monedas al azar. Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos (se recomienda hacer un árbol): a) Que las dos sean de 5 céntimos. (Soluc: 1/6) b) Que ninguna sea de 50 céntimos. (Soluc: 2/3) c) Que sumen 70 céntimos. (Soluc: 1/6) 60. Se tienen dos urnas del mismo aspecto exterior. La primera contiene 6 bolas blancas y 8 bolas negras. La segunda, 4 bolas blancas y 3 negras. Una persona se aproxima al azar a una de las urnas y extrae una bola. Cuál es la probabilidad de que sea blanca? (Soluc: 1/2) 61. Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene 4 bolas blancas y 3 bolas negras. La caja 2 contiene 3 bolas blancas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y seguidamente se toma una bola de la caja seleccionada. Se pide: a) Probabilidad de que la bola extraída sea blanca. b) Probabilidad de que la bola extraída sea negra. (Soluc: 1/2; 1/2) 62. Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen dos bolas, sin devolución a la urna de la 1ª bola. Se pide: a) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras. b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas. c) Probabilidad de que la 1ª sea roja y la 2ª negra. d) Probabilidad de que una sea roja y otra negra. (Soluc: 10/91; 36/91; 45/182; 45/91) 63. Consideremos cuatro cajas A 1, A 2, A 3 y A 4. La caja A 1 contiene diez piezas, de ellas tres defectuosas; la A 2, siete piezas, de las que una es defectuosa; la A 3, ocho piezas, dos de ellas defectuosas, y la A 4 tiene seis piezas, de las que la mitad son defectuosas. Se extrae al azar una pieza de una de las cajas; calcular la probabilidad de que sea defectuosa. (Soluc: 0,298) Teorema de Bayes 64. Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene 4 bolas blancas y tres negras. La caja 2 contiene 3 bolas blancas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y seguidamente se toma una bola al azar de la caja seleccionada. Se pide: a) Probabilidad de que la bola extraída sea blanca. (Soluc: 1/2) b) Si se extrae una bola y resulta ser blanca, cuál es la probabilidad de que sea de la caja 1? (Soluc: 4/7) 65. En una universidad el 70% de los alumnos que acuden a la PAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumnos de centros públicos, el 25% obtiene una nota superior a 7 puntos. De los alumnos de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un alumno al azar y se pide: a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos. b) Sabiendo que su nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que proceda de un centro público? c) Son incompatibles los sucesos "alumno de centro público" y "alumno con nota menor o igual que 7 puntos"?. Razonar la respuesta. (Soluc: 0,74; 0,68; no)

9 66. En el proceso de fabricación de circuitos impresos, un fabricante asegura que el 5% de los circuitos son defectuosos. Supongamos que un dispositivo para comprobar los circuitos defectuosos detecta un 90% de ellos, pero también califica como defectuosos el 2% de los que en realidad son correctos. Calcular la probabilidad de que un determinado circuito que ha sido calificado de incorrecto sea en realidad correcto, y también la de que sea incorrecto un determinado circuito que fue calificado de correcto. (Soluc: 0,296; 0,005) 67. Elegido un individuo al azar y observado por rayos X, se diagnosticó que estaba tuberculoso. La probabilidad de que en la población de la que se eligió el individuo uno de ellos sea tuberculoso es de 0,01. La probabilidad de que un aparato de rayos X detecte un individuo tuberculoso siéndolo es 0,97 y no siéndolo es de 0,001. Cuál es la probabilidad de que sea tuberculoso habiéndolo detectado los rayos X?. (Soluc: 0,907) 68. Se tienen dos urnas U 1 y U 2 con las siguientes composiciones: U 1 : 10 bolas blancas y 7 negras U 2 : 24 bolas blancas y 5 negras Se saca una bola al azar de U 1 y se introduce sin mirarla en U 2, y a continuación se extrae una bola de U2 que resulta ser negra. Cuál es la probabilidad de que la bola pasada de U 1 a U 2 hubiese sido blanca? (Soluc: 25/46) 69. Se introducen al azar 6 bolas, unas de color blanco y otras de color negro, en una bolsa y en proporción desconocida. Se extrae una bola al azar y resulta ser blanca. Cuál es la probabilidad de que la bolsa contuviera tres bolas blancas y tres negras? Interpretar el resultado obtenido. (Soluc: 1/5) 70. Se tienen 3 urnas con las siguientes composiciones: A 1 : 3 bolas blancas y 1 negra A 2 : 2 bolas blancas y 2 negras A 3 : 1 bolas blanca y 3 negras Elegimos una urna al azar y sacamos una bola de ella. Cuál es urna que nos da una probabilidad mayor para que la bola extraída sea blanca? Interpretar el resultado obtenido. (Soluc: A 1, ya que las probabilidades de extraer una bola blanca procedente de cada urna son 1/2, 1/3 y 1/6 respectivamente)