Tema 9: Otros temas de aplicación

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1 Tema 9: Otros temas de aplcacón. Introduccón Exsten muchos elementos nteresantes y aplcacones del Matlab que no se han comentado a lo largo de los temas. Se nvta al lector a que nvestgue sobre ellos según las líneas que sean más afnes a su entorno de trabajo o estudo. No obstante, se quere termnar este texto con un capítulo dedcado a ntroducr una varedad de conceptos más o menos usuales que no se han ncludo anterormente.. Polnomos El programa dspone de comandos específcos para realzar las operacones más comunes con polnomos, tal es el caso de búsqueda de raíces, evaluacón en determnados valores, dferencacón, nterpolacón y ajuste. Destacar que los polnomos en Matlab se ntroducen a partr de vectores cuyos elementos son los coefcentes del msmo. S alguno no aparece se ntroduce como. Así, x +x -5 será [,,,-5]. Los comandos son: - polyval(u,x), evalúa el polnomo de coefcentes ncludos en el vector u en el valor ndcado en x. - conv(u,v), da los coefcentes del polnomo resultado de multplcar los polnomos de coefcentes ncludos en los vectores u y v. - [p,q]deconv(u,v), devuelve los polnomos cocente y resto de la dvsón entre los polnomos u y v. - roots(u), calcula las raíces del polnomo u - polyder(u), nos da el polnomo resultado de dervar u. - polyft(x,y,n), polnomo de grado n que ajusta los puntos (x,y) en el sentdo mínmos cuadrados. 8

2 - poly(v), crea un polnomo cuyas raíces son las ndcadas en el vector v.. Ajuste de datos. Interpolacón Además de la búsqueda de un polnomo nterpolador, Matlab permte la nterpolacón a través de un gran número de técncas. Destacaremos algunos de los comandos que realzan este tpo de aplcacones: - ynterp(x,y,x), da como resultado un vector y tal que (x,y) es el conjunto total de puntos hallados por nterpolacón undmensonal del conjunto de puntos (x,y). - ynterp(x,y,x,método), realza nterpolacón medante el método elegdo (nearlest, lneal, cubc, v5cubc, splne o pchp). - znterp(x,y,z,x,y), da como resultado un vector z tal que (x,y,z) es el conjunto total de puntos hallados por nterpolacón bdmensonal del conjunto de puntos (x,y,z). - ysplne(x,y,x), da como resultado un vector y tal que (x,y) es el conjunto total de puntos hallados por nterpolacón cúbca splne del conjunto de puntos (x,y).. Matrces dspersas Exsten trabajos, especalmente en ngenería, donde es necesaro utlzar matrces de gran tamaño pero con un número mportante de ceros en su nteror (matrces dspersas). Operar con este tpo de matrces a través de métodos convenconales puede mplcar tempos muy grandes para el cálculo. Matlab dspone de funcones para trabajar con estas matrces dspersas que ahorra tempos de ejecucón. El programa almacena estas matrces dspersas guardando en memora solamente los elementos no nulos junto con la poscón que ocupan en la matrz. Así, utlza tres elementos, los valores de las flas de elementos no nulos, los valores de las columnas de estos elementos y el valor que tenen. Ejemplo: La matrz A se ntroducría como: 9 >> Asparse([,,,,],[,,,,],[,,-,9,]) A (,) (,) 8

3 (,) (,) - (,) 9 Para esto puede ser de utldad el comando fnd, [,j,v]fnd(a) tene como salda el vector de las flas y el de las columnas de los elementos no nulos de la matrz A así como el valor de dchos elementos. De gual forma, el programa permte convertr una matrz llena en dspersa a través de este comando: >> B[ ;,9,,,8,;,,,-,,] B >> Ssparse(B) S (,) (,) (,) 9 (,) - (,5) 8 (,6) El comando full realza la operacón contrara, el llenado de la matrz dspersa >>full(s) ans En el menú de ayuda matlab\sparfun - Sparse matrces se encuentran los comandos para trabajar con este tpo de matrces. El crtero general para trabajar con matrces dspersas en Matlab es que cas todas las operacones matrcales estándar funconan sobre ellas al gual que lo hacen sobre las llenas. 5. Álgebra lneal Se destacan algunos temas relaconados con álgebra que pueden ser de nterés y que se realzan con el programa a través de comandos específcos. 85

4 Valores propos: El trabajo con valores y vectores propos es esencal en numerosas dscplnas. Matlab permte trabajar con esta matera con comandos entre los que destacamos: eg(a): Halla los autovalores de la matrz cuadrada A. [P,D]eg(A): Determna la matrz dagonal D de los autovalores de A y la matrz P de columnas los autovectores correspondentes de forma que APPD. Jordan(A): Halla la matrz canónca de Jordan de la matrz A. [P,J] Jordan(A): Halla la matrz canónca de Jordan de la matrz A y la matrz de paso P de forma que P - APJ. poly(a): Devuelve el polnomo característco de la matrz A Descomposcón de matrces: Matlab trabaja con métodos de descomposcón matrcal como el LU, Cholesky, qr,... [L,U]lu(A): Descompone la matrz A en el producto ALU, sendo L una matrz trangular nferor y U una superor. [L,U,P]lu(A): Da una matrz trangular nferor L, una superor U y una de permutacón P de forma que PALU. Rchol(A): Devuelve la matrz trangular superor R tal que R RA sempre que A sea defnda postva. En caso contraro devuelve un error. [Q,R]qr(A): Devuelve la matrz trangular superor R de gual dmensón que A y la matrz ortogonal Q de forma que AQR.(Puede aplcarse a matrces no cuadradas) [Q,R,E]qr(A): devuelve la matrz trangular superor R de gual dmensón que A, la matrz ortogonal Q y la matrz de permutacones E de forma que de forma que AEQR. son: Resolucón de ecuacones: Matlab permte resolver ecuacones. Algunos de los comandos para realzarlo solve( ecuacón, x ): Resuelve la ecuacón en la varable x. solve( ecuacón,ecacón,...ecuacónn, x,x,...xn ): Resuelve el sstema de ecuacón en las varables x,...xn. xfzero(funcón,x): Halla un cero de la funcón ceca de x. 86

5 [x,feval]fzero(funcón,x): Da tambén el valor de f en x. Nota: Exsten numerosos comandos que ntentan resolver ecuacones y sstemas según dversos métodos numércos. 8

6 Práctca 9: Otros temas de aplcacón. Determnar las raíces del polnomo x -6x -x-, evaluarlo en alguna de ellas para verfcar que lo son.. Introducr el polnomo x +x +, se pde: a. Calcular sus raíces. b. Evaluarlo en x. c. Crear un polnomo de raíces,,5. d. Multplcar ambos polnomos.. Determnar el cocente y el resto de dvdr los polnomos 5x 5 +x -x +x- y x - x+. Dervar el prmero.. Construr una funcón que sume polnomos de cualquer grado y utlzarla para sumar los polnomos del ejercco anteror. 5. Determnar el polnomo nterpolador de segundo grado que pasa por los puntos (-,), (,), (,6). Dbujar los puntos y el polnomo en el ntervalo [-,]. 6. Determnar el polnomo de ajuste de grado en el sentdo mínmos cuadrados para los puntos (,), (-,), (-,6). Dbuja los puntos y el polnomo en un ntervalo adecuado.. Los drectores de una empresa se reúnen para analzar la stuacón fnancera de la msma. Al estudar la tabla: AÑO Benefcos prevén que la curva que mejor representa los benefcos durante los próxmos años es un polnomo de segundo grado. Determnar los benefcos que esperan obtener el próxmo año. 8. Hallar y representar puntos de nterpolacón (x,y) de la funcón sen(x) para valores de x gualmente espacados entre y. 9. Repetr el problema 8 para nterpolacón splne y comparar las gráfcas obtendas.. Se consdera un conjunto de temperaturas meddas sobre las cabezas de los clndros de un motor para utlzar en coches de carreras. Los tempos de 88

7 89 funconamento del motor en segundos y las temperaturas en grados Fahrenhet son las sguentes: Tempo 5 Temperatura 6 68 Realzar una regresón lneal que ajuste la temperatura en funcón del tempo. Repetrlo para regresones polnómcas de grados, y, representando los resultados.. Defnr las sguentes matrces de forma que sólo se guarden los elementos no nulos: 8 B A Se pde: a. Recuperar la matrz A con todos sus elementos b. Calcular A+B, A*B c. Determnar los elementos no nulos de A*B junto con la poscón que ocupan.. Dada la matrz A se pde: a. Sus autovalores. b. Sus autovectores. c. Su polnomo característco.. Sea la matrz 5 A, se pde su descomposcón LU, QR y Cholesky comprobando los resultados.. Resolver las ecuacones: a. xsen(x)/ b. x 5. Resolver el sstema de dos ecuacones dado por: ) ( 5 ) cos( 6 x sen y y e x x +

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