I.- Límite de una función

Transcripción

1 I.- Límite de una función a) En un punto En la mayoría de las funciones que vas a encontrarte, el límite, cuando tiende a un número real c, coincide con el valor numérico f(c), siempre que c pertenezca al dominio de la función. Esto se debe a que trabajamos con funciones que son continuas ecepto en algunos puntos concretos. Es precisamente en esos puntos donde se requiere aplicar un procedimiento particular a cada caso. a.1-) Puntos donde la función es continua Ejemplos: 1º.- Hallar 1. 1 º.- log ( 1) 5 log5 ( 1) log 5 º ( 1) ( 1) 1 a.-) Puntos donde la función no es continua CASOS Indeterminación Esta indeterminación se resuelve factorizando, numerador y denominador, simplificando por (-c) y hallando el límite de la función racional resultante. Ejemplos 1º.- Hallar.( 1) ( 1 )

2 En este modelo, la interpretación gráfica es como se muestra en la figura adjunta. La función presenta dos ramas que convergen hacia el punto (, -1) pero dicho punto no pertenece a la gráfica porque f() no está definida en él Los dos ejercicios que se proponen a continuación tienen un interpretación geométrica similar a esta. 1 5 o y(-)/ y(-)/ Fig- 1 Figura - 1 º.- Hallar ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( 1) º.- Hallar ( )( ) ( ) ( ) k Modelo ±, siendo k. Asíntotas verticales En este caso se hace necesario calcular los límites laterales en c, averiguando el signo que tomará. Esto se hace estudiando el signo que toma la función para valores cercanos a c, tanto por la izquierda (valores menores que c ) como por la derecha ( valores mayores que c ). La función presenta una asíntota vertical de ecuación c. - -

3 Ejemplos 1º.- Hallar 1 ± 1 Por la izquierda: Por la derecha: - 1 Como el límite de esta función, cuando tiende a 1, nos ha dado infinito, diremos que la función presenta una asíntota vertical de ecuación 1. La interpretación geométrica del resultado obtenido se muestra en la figura adjunta. La función, en, presenta un salto infinito. Salto y(^-)/(-1) 1 Figura -- º.- Hallar Por la izquierda: Por la derecha: ± - Como el límite de esta función, cuando tiende a, nos ha dado infinito, diremos que la función presenta una asíntota vertical de ecuación. La interpretación geométrica del resultado obtenido se muestra en la figura adjunta. La función, en, presenta un salto infinito. Salto Figura y /(-) asintota

4 1 º.- Hallar 1 ) ( ) ( 1 1 En este caso no es necesario hallar los límites laterales porque el signo será siempre. Notemos que numerador y denominador son siempre positivos. Como el límite de esta función, cuando tiende a 1, nos ha dado infinito, diremos que la función presenta una asíntota vertical de ecuación 1. La interpretación geométrica del resultado obtenido se muestra en la figura adjunta 5 Figura y1/(-1) asíntota vertica 1 Modelo: función definida a trozos Ejercicios 1.- Hallar Por la izquierda: Por la derecha: f(), siendo f() 1 ( 6) 1 ( - ) 1 6 si si < 1 > 1 Los límites laterales coinciden. Diremos que f() tiene límite en -1 y que su valor es. La interpretación geométrica aparece en la figura adjunta. Observemos que las dos ramas ( con diferentes colores) convergen hacia un Figura - 5 mismo punto: ( -1, ) pero notemos que este punto no pertenece a la gráfica de la función porque f() no eiste para

5 º.- Hallar Por la izquierda: f(), siendo f() (- ) -1 si < si Fig - 6 Por la derecha: ( - ) - Los límites laterales no coinciden. Diremos que f() no tiene límite cuando tiende a La interpretación geométrica aparece en la figura adjunta. Observemos que las dos ramas ( con diferentes colores) convergen hacia puntos diferentes. Por la izquierda punto (, -1) y por la derecha al punto (, -). La función presenta un salto de valor - Figura (-) 1. b) En el infinito En el caso de una función polinómica (a a 1... a n. n ) ± a n. n ± ± El signo depende del coeficiente a n, de que n sea par o impar y del signo del infinito. Para el caso de funciones racionales ± a b a1... an b... b 1 m n m ± an b m n m ± a n. n m b Si este límite nos diera como resultado un número real l diremos que la función presenta una asíntota horizontal de ecuación y l. m Como ejercicios de aplicación retomaremos alguno de los ejercicios ya propuestos. Ejercicios 1º-. Hallar a) 1. ( - ) -. La curva presenta un rama

6 parabólica. b) 1. ( ). La curva presenta una rama parabólica. Las interpretaciones geométricas aparecen en la figura anterior. º.- Hallar a) b) ±. La curva presenta una asíntota horizontal de ecuación y.. La curva presenta una asíntota horizontal de ecuación y. Cuál es sus interpretación geométrica? El ejercicio siguiente puede servirte como ayuda para contestar a esta pregunta. º.- Hallar a) ±. La curva presenta una asíntota horizontal de ecuación y. b). La curva presenta una asíntota horizontal de ecuación y y/ (-) asíntota vertical - asíntota vertical así nt ot a horizont al y La interpretación geométrica se muestra en la figura adjunta La posición de la curva, respecto de la asíntota, puedes obtenerla viendo que: Para valores muy positivos de > > ( curva por encima de la línea y ) Para valores muy negativos de > > ( curva por encima de la línea y ) Puedes comprobar que esta función presenta también dos asíntotas verticales y Figura - 7 Asíntota horizontal - 6 -

7 Asíntotas oblicuas Asíntotas Oblicuas Son rectas de ecuación y m n, a las que se acerca la curva cuando tiende a más o menos infinito. P( ) Sea la función y Q( ) Para que eista asíntota oblicua (A.O.) es necesario que: Grado P() Grado Q() 1 Se divide P() entre Q() resultando que La asíntota tiene por ecuación y C() P( ) y C() Q( ) resto Q() resto La epresión nos da la diferencia entre curva y asíntota y que, para valores grandes de, Q() nos permite averiguar la posición de la curva respecto de la asíntota. Ejercicios 1º.- Hallar la asíntota oblicua de Realicemos la división ( ) 1 y 1 > y c y a.o 1 Ecuación asíntota oblicua y Diferencia entre curva y asíntota d() 1 1 a) Cuando d() y c > y a.o La curva está por encima de la asíntota. b) Cuando d() - y c < y a.o La curva está por debajo de la asíntota. La interpretación geométrica se muestra en la figura adjunta y(-)/(-1) asíntota 1 asíntota y - 7 -

8 Continuidad 1º.- Hallar la asíntota oblicua de Realicemos la división y Ecuación asíntota oblicua y - Diferencia entre curva y asíntota d() Cuando d() y c > y a.o La curva está por encima de la asíntota. a) Cuando d() - y c < y a.o La curva está por debajo de la asíntota. La interpretación geométrica se muestra en la figura adjunta y(-)/ y- II.-Continuidad de una función en un punto Diremos que una función f() es continua en c si: f() f (c) c De esta definición se deduce que: El valor c debe pertenecer al dominio de la función. La función ha de tener límite cuando tiende a c. Esto requiere que f() f() L c c Finalmente f ( c ) L. En la mayoría de los ejercicios, propuestos para este nivel, los puntos donde la función es discontinua deben buscarse entre aquellos que no pertenecen al dominio de la función. En otras ocasiones, como en las funciones definidas a trozos, debemos estudiar el comportamiento de la función en cada uno de los puntos que unen o separan a cada uno de los trozos Al estudiar las discontinuidades que presenta una función f() es necesario matizar sobre la discontinuidad que presenta. Ello requiere en todas las ocasiones hallar el límite en los puntos donde es discontinua. Por esta razón retomaremos alguno de los ejercicios anteriores

9 Continuidad Ejercicios 1º.- Estudiar la continuidad de la función Esta función racional es discontinua para el valor que anula el denominador. El valor no pertenece al dominio de la función o lo que es lo mismo: f() no eiste. En el ejercicio 1º, página 1, hemos visto que -1 La función presenta, en, una discontinuidad denominada evitable. Su interpretación gráfica, ver fig-1, es la de una función con dos ramas que convergen al mismo punto (, -1) que no pertenece a la gráfica de la función. º.- Estudiar la continuidad de la función y 1 Esta función racional es discontinua para el valor 1 que anula el denominador. El valor 1 no pertenece al dominio de la función o lo que es lo mismo: f(1) no eiste. En el ejercicio 1º, página, hemos visto que: - 1 La función presenta una discontinuidad de salto infinito La interpretación gráfica aparece el la página, fig- º.- Estudiar la continuidad de y 1 1 Esta función racional es discontinua para los valor 1 y - 1 que anulan el denominador. Los dos valores no pertenecen al dominio de la función. Analicemos el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de estos puntos

10 Continuidad a) En La función tiene límite pero no eiste f(-1). Presenta una discontinuidad evitable. La interpretación geométrica es la de una gráfica a la que le falta el punto (-1, ) (marcado en rojo en la fig-1) 1 b) En 1 1 ±. 1 Es necesario hallar los límites laterales en ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) Figura En 1, la función presenta una discontinuidad de salto infinito. Ver fig o ( 1) 1 ( 1) y(1)/(-1) a.vert ical a.oblicua y si < º.- Estudiar la continuidad de la función f(), siendo f() si Es una función definida a trozos, estando cada uno de ellos definido por una función polinómica. La posible discontinuidad debemos buscarla en los puntos de separación de cada trozo. En este caso. La función esta definida en, siendo f() - - Estudiemos los límites laterales Por la izquierda: (- ) -1 Por la derecha: ( - ) - Los límites laterales no coinciden. La función presenta una discontinuidad con un salto - -1-(-) 1. La interpretación geométrica aparece en la fig-6, pág 5. Observemos que las dos ramas ( con diferentes colores) convergen hacia puntos diferentes. Por la izquierda punto - 1 -

11 Continuidad (, -1) y por la derecha al punto (, -). 5º.- Dada la función f(), cuya gráfica aparece en la figura 11, se pide estudiar su continuidad. La función será discontinua para aquellos valores de en los que la gráfica de la función aparezca rota. Esto se verifica cuando - y cuando. En - tenemos que: f() - f() - La función es discontinua en - y presenta una asíntota vertical de ecuación -. En tenemos que: f() f() Figura La función es discontinua en. Presenta un salto de valor - La función tiene una asíntota horizontal ( eje de abscisas ) de ecuación y, cuando la tiende hacia menos infinito