CLAVES DE CORRECCIÓN SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA 2º

Transcripción

1 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) TEMA Ejercicio ( puntos) Dada la función f(x) = a sen(x + π). Hallar el valor de la constante a R sabiendo que f ( π ) = a + Se sabe que f ( π ) = a + Por otro lado f ( π ) = a sen (π + π) = a sen (3π ) = a( ) = a a + = a a + a = a + a = a = 3 a = 3 El valor de la constante es a = 3 Ejercicio (3 puntos) El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x +, g(x) = x + x Calcular el valor del área sombreada.

2 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) Primero debemos hallar los puntos en donde se cruzan las gráficas de las funciones. f(x) = g(x) x + = x + x x + + x x = 0 x 6x + = 0 Hallamos las raíces de la cuadrática x 6x + = 0 x, = ( 6) ± ( 6) = 6 ± 6 = 6 ± Para hallar el valor de y de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. f() = () + = 3 f() = () + = Los puntos donde se cruzan las funciones son: (; 3), (; ), el área es área = ( x + x) ( x + ) dx = x + x + x dx = x + 6x dx = x =, x = = ( x x x) = ( x x x) = ( ) ( ) = 3 3 Ejercicio 3 ( puntos) Hallar él o los puntos del gráfico de la función para los cuales la recta tangente sea horizontal f(x) = e x 3x El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. Debemos hallar los puntos de la forma (x 0 ; f(x 0 )) donde la recta tangente sea horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es nula. Sabemos que la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (x 0 ; f(x 0 )) es igual a la derivada de la función evaluada en x 0., debemos hallar los valores del dominio de la función donde su derivada se anule. La derivada de la función es: f (x) = e x 3x (x 3) f (x 0 ) = 0 e x 0 3x 0 (x 0 3) = 0 x 0 3 = 0 x 0 = 3 (recordar que la función exponencial no se anula). Para dar el punto debemos hallar el valor de f ( 3 )

3 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) El punto del gráfico de la función es ( 3 ; e 9 ) f ( 3 ) = e(3 ) 3( 3 ) = e (9 9 ) = e 9 Ejercicio (3 puntos) Dada la función g(x) = ln (x 3a), hallar el valor de a R si se sabe que el conjunto de negatividad de la función es el intervalo ( 3 ; ). Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante a. Sabemos que el conjunto de negatividad de la función ln (t) es el intervalo (0; ), si 0 < x 3a < 3a < x < + 3a 3a < x < + 3a El conjunto de negatividad de la función es el intervalo ( 3a ; +3a ) y por otro lado es igual a (3 ; ) 3a = 3 a = + 3a = + 3a = 3a = 3 a = g(x) = ln (x 3) El dominio de la función serán aquellos valores de x para los cuales x 3 > 0 x > 3 x > 3 Dominio de la función es el intervalo ( 3 ; + ) 3

4 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) TEMA Ejercicio ( puntos) Dada la función h(x) = 3 sen (x π ), hallar los valores x R para los cuales h(x) = Nos piden hallar los valores x R para los cuales h(x) =, que es lo mismo que pedir 3 sen (x π ) = 3 sen (x π ) = 3 sen (x π ) = Sabemos que sen(t) = si y solo si t = π + kπ, x π = π + kπ x = π + π + kπ x = π + kπ Los valores de x R para los cuales se verifica que h(x) = son los de la forma x = π + kπ, con. Ejercicio (3 puntos) El gráfico muestra el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x, g(x) = x y la recta x = Calcular el valor del área sombreada.

5 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) Primero debemos hallar el punto en donde se cruzan las gráficas de las funciones f(x) = g(x) x = x 3x = 6 x = Para hallar el valor de y de los puntos donde se cruzan evaluamos en cualquiera de las dos funciones. f() = () = 0 El punto donde se cruzan las rectas es el (; 0), el área es área = (x ) ( x) dx = x + x dx = 3x 6 dx = ( 3x 6x) = ( 3() 6 ) ( 3() 6 ) = 6 Ejercicio 3 ( puntos) Dada la función f(x) = e x x 8 hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debe analizar el signo del a derivada primera. La derivada de la función es f (x) = e x x 8 (x ) El dominio de la función derivada también es el conjunto de todos los números reales. Buscamos en primer los valores para los cuales se anula la derivada primera de la función f (x) = 0 e x x 8 (x ) = 0 x = 0 x = Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos ( ; ), ( ; + ) En el intervalo ( ; ) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en 0 ( ; ) tenemos que f (0) = e 8 < 0 En el intervalo ( ; + ) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 3 ( ; + ) tenemos que f (3) = e > 0, la función es creciente en el intervalo, ( ; + ) y decreciente en el intervalo( ; )

6 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) Ejercicio (3 puntos) Dada la función f(x) = ln (3a x), hallar el valor de a R si se sabe que el conjunto de positividad de la función es el intervalo ( ; ). Hallar el dominio de la función teniendo en cuenta el valor hallado de la constante a Sabemos que el conjunto de positividad de la función ln (t) es el intervalo (; + ), si 3a x > x > 3a x < 3a El conjunto de positividad de la función es el intervalo ( ; 3a ) y por otro lado es igual a ( ; ) 3a = 3a = 0 3a = a = 7 f(x) = ln ( x) El dominio de la función serán aquellos valores de x para los cuales x > 0 x > x < Dominio de la función es el intervalo ( ; ) 6

7 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) TEMA 6 Ejercicio ( puntos) Dada la función f(x) = sen (x + π ) + hallar todos los valores de x R para los cuales se verifica que f(x) = 3 Nos piden hallar los valores x R para los cuales f(x) = 3, que es lo mismo que pedir sen (x + π ) + = 3 sen (x + π ) = sen (x + π ) = Sabemos que sen(t) = si y solo si t = 3 π + kπ, x + π = 3 π + kπ k Z x = 3 π π + kπ x = π + kπ x = π + kπ Los valores de x R para los cuales se verifica que f(x) = 3 son los de la forma x = π + kπ, con. 7

8 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) Ejercicio (3 puntos) Hallar el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x) = x, la recta de ecuación x = y el eje de las abscisas. Primero debemos hallar el punto en donde la parábola cruza al eje x f(x) = 0 x = 0 x = Porque el área pedida está en el primer cuadrante donde los valores de x son mayores o iguales a cero., el área es área = (x ) (0) dx = (x ) dx = ( x3 3 x) = ( ()3 ) (()3 3 3 ) = = 3 Ejercicio 3 ( puntos) Dada la función g(x) = x a hallar los valores de a R para los cuales g( ) = 3 6 Debemos hallar los valores para los cuales g( ) = 3 6 Tenemos que g( ) = ( ) a 8

9 SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICA º Cuatrimestre 07 PRIMER TURNO (//07) ( ) a = = a + 3 = a a = a = a = a = ( ) a = o a = Ejercicio (3 puntos) Dada la función f(x) = ln (a x + x + 3), determinar el valor de a R si f tiene un mínimo cuando x. Hallar en qué intervalo o unión de intervalos f es creciente Si la función tiene un mínimo cuando x = tenemos que Calculamos la derivada de la función f ( ) = 0 f (x) = a x (ax + ) + x + 3 f ( ) = a ( ) (a( ) + ) = 0 + ( ) + 3 a( ) + = 0 a = f(x) = ln ( x + x + 3) La derivada de la función no tiene más ceros, entonces para hallar el conjunto donde la función es creciente debemos analizar en que intervalo la derivada primera es positiva. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales ya que su argumento siempre es positivo (la cuadrática del argumento no tiene ceros). Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos ( ; ), ( ; + ) Recordamos la expresión de la derivada f (x) = x (x + ) + x + 3 En el intervalo ( ; ) la derivada primera es negativa ya que si evaluamos en ( ; ) tenemos que f ( ) < 0 En el intervalo ( ; + ) la derivada primera es positiva ya que si evaluamos en 0 ( ; + ) tenemos que f (0) > 0, la función es creciente en el intervalo, ( ; + ) 9