Sucesiones I Introducción

Transcripción

1 Temas Qué es ua sucesió? Notacioes y coceptos relacioados. Maeras de presetar ua sucesió. Gráfico de sucesioes. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de sucesió. Coocer y maejar las diferetes maeras de presetar ua sucesió: fórmula geeral, sus primeros térmios y por recurrecia. Coocer y maejar las otacioes y coceptos relacioados co sucesioes. Coocer y determiar gráficos de sucesioes. 0.1 Itroducció Leoardo Fiboacci. Italiao. ( ) Como se recordará, e el curso de Cálculo I, se estudiaro las fucioes de D e R, dode D R, geeralmete ha sido u itervalo. Co estas fucioes hemos trabajado hasta el mometo. E esta uidad estudiaremos, desde el puto de vista del Cálculo, uas fucioes especiales llamadas sucesioes. Las sucesioes, tiee la particularidad que su domiio so los úmeros aturales. 139

2 0. Defiició de sucesió Iformalmete, ua sucesió, a, es ua secuecia ifiita ordeada de úmeros. Formalmete, a : a 1, a, a 3,..., a,... Ua sucesió a es ua fució de N e R, es decir: a : N R a() = a Nota 0.1 Co respecto a las sucesioes, se tiee: 1) La image de a través de la sucesió a : N R, se desiga por a, y recibe el ombre de térmio geeral o térmio -ésimo de la sucesió. Así por ejemplo: a 1 es su primer térmio, a es su segudo térmio, etc. ) La sucesió a : N R, usualmete se desiga por (a ) IN, o simplemete (a ), o bié (a 1, a, a 3,..., a,...). 3) Como ua sucesió es ua fució, todos los coceptos estudiados sobre fucioes, se aplica tambié a las sucesioes. Así, por ejemplo: a) El rago o recorrido de (a ), es {a R / N} b) (a ) es ua sucesió acotada superiormete, si su rago es u cojuto acotado superiormete, es decir, si existe u K IR tal que, para todo N: a < K c) (a ) es ua sucesió acotada iferiormete, si su rago es u cojuto acotado iferiormete, es decir, si existe u k IR tal que para todo IN: a > k d) (a ) es ua sucesió acotada, si su rago es u cojuto acotado, es decir, si existe u M R tal que para todo N: a < M e) (a ) es ua sucesió creciete, si a medida que crece, a tambié, es decir, cuado para todo se cumple: a a +1 Istituto de Matemática y Física 140 Uiversidad de Talca

3 f) (a ) es ua sucesió decreciete, si a medida que crece, a decrece, es decir, cuado para todo se cumple: a a +1 g) (a ) es ua sucesió moótoa si (a ) es creciete o decreciete. Ejemplo 0.1 A cotiuació se revisa alguos ejemplos de sucesioes. 1) a = 1. E este caso, es claro que: a 1 = 1 = 1, a 1 = 1, a 3 = 1, a 3 4 = 1, a 4 5 = 1, a 5 6 = 1,... 6 es decir: ) b = ( 1). E este caso: +1 (a ) = ( 1, 1, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,...) b 1 = ( 1) = 1, b = ( 1) +1 = 3, b 3 = ( 1) = 3 4,... es decir: (b ) = ( 1, 3, 3 4,...) 3) c = ( 1) +1. Aquí: c 1 = ( 1)1 +1 = 0, c = ( 1) +1 = 1, c 3 = ( 1)3 +1 = 0, c 4 = ( 1)4 +1 = 1,... es decir, (c ) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,...) 4) d =!. Aquí: d 1 = 1 =, d 1! = =, d! 3 = 3 = 4, d 3! 3 4 = 4 =,... 4! 3 es decir: (d ) = ( 4,,,,...) 3 3 Ejercicio 0.1 Determiar el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) 0.9, 0.99, 0.999, ,... b), 4 3, 6 5, 8 7,... Ejercicio 0. Dada la sucesió: (y ) = (1, 16, 81, 56,...). Cuál de los dos térmios geerales que sigue la represeta?. y = 4 y = Qué coclusió se puede extraer de esta situació? Istituto de Matemática y Física 141 Uiversidad de Talca

4 Nota 0. Como se ha visto, ua sucesió se puede defiir por su fórmula geeral o por sus primeros térmios. Existe otra maera, de presetar ua sucesió: por recurrecia. Por ejemplo, la siguiete sucesió (de Fiboacci ) está defiida por recurrecia: f 1 = 1, f = 1, y f = f 1 + f, para 3 claramete, sus primeros térmios so: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,... Nota 0.3 Jacques Philippe Biet (Fracés, ), descubrió ua fórmula geeral para la sucesió de Fiboacci: f = ( 1+ 5 ) ( ) El úmero 1+ 5 que iterviee e la fórmula de Biet, es el llamado úmero dorado. 0.3 Gráfico de sucesioes Como es de supoer el gráfico de ua sucesió (a ) es el cojuto de putos del plao dado por {(, a ) / N} A cotiuació se etrega los gráficos de dos fucioes: Gráfico de a = 3 U hombre poe u par de coejos, u macho y ua hembra, e u lugar rodeado por murallas. Los coejos puede aparearse a partir del primer mes de vida, y las hembras da a luz luego de u mes de gestació. Supogamos que igú coejo muere e u año, y que las hembras siempre da a luz ua pareja de coejos, u macho y ua hembra, cada mes a partir de su segudo mes de vida. Etoces, cuátos pares de coejos habrá e u año? Istituto de Matemática y Física 14 Uiversidad de Talca

5 Gráfico de b = ( 1) Defiició de fució asociada a ua sucesió Sea (a ) ua sucesió. Si y = f(x) es ua fució que cumple: [1, + [ Dom(f) N : f() = a etoces, y = f(x) recibe el ombre de fució asociada a la sucesió a. Nota 0.4 Sea y = f(x) la fució asociada a la sucesió a. Si para x 1, y = f(x) es creciete (decreciete, acotada superiormete, acotada iferiormete, acotada), etoces a tambié es creciete (decreciete, acotada superiormete, acotada iferiormete, acotada). Por ejemplo, la fució asociada a la sucesió a = 5 es a(x) = 5. Observar las x diferecias etre los gráficos de la sucesió (a ) y su fució asociada. Gráfico de a Gráfico de la fució asociada Istituto de Matemática y Física 143 Uiversidad de Talca

6 Ejemplo 0. Verificar que la sucesió a = l es decreciete para 3. Solució:Sea f(x) = l x, para x 3, la fució asociada a (a x ). Como f (x) = 1 l x x y f (x) < 0 para x 3, se tiee f es decreciete para x 3. Luego, (a ) es decreciete. Nota 0.5 Observar que, e el ejemplo precedete se ha usado que, si la fució asociada es decreciete, etoces la sucesió correspodiete tambié lo es. Es válido el recíproco?. 0.5 Autoevaluació 1) Ecotrar ua fórmula para el térmio geeral de la siguiete sucesió defiida por recurrecia: a 1 = a +1 = a, 1. ) Verificar que la sucesió a = +1 es creciete. 3) Comprobar que la sucesió (b ) defiida por recurrecia: b 1 = ; b +1 = + b, 1, es creciete y acotada superiormete. Solució:1) a = 1 1 ) Si f(x) = x x+1 es la fució asociada, f (x) > 0, para x > 1. Luego, f es creciete. Por lo tato, a es creciete. E este caso, se puede chequear directamete que a < a +1. Hágalo!. 3) Verificar, usado iducció que N : b +1 b (creciete) y b (acotada superiormete). 0.6 Desafío Sobre ua recta se costruye, uo a cotiuació de otro, ua sucesió de triágulos. Cada uo de ellos tiee como base u segmeto de logitud 1 cm y como altura los 4 5 de la altura del triágulo imediatamete aterior. Si el primer triágulo tiee ua altura de L cm, determiar ua fórmula (reducida) para el área del -ésimo triágulo y ua fórmula (reducida) para la suma de las áreas de los primeros triágulos. Istituto de Matemática y Física 144 Uiversidad de Talca