CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 3. SUCESIONES Y SERIES. Sucesiones de números reales: monotonía, acotación y convergencia.

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1 Muel José Ferádez, CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. - TEMA. SUCESIONES Y SERIES.: Sucesioes umérics. Sucesioes de úmeros reles: mootoí, cotció y covergeci. Se llm sucesió de úmeros reles tod plicció f : N R. El elemeto f () se deomi primer térmio de l sucesió; el elemeto f () segudo térmio, etc. Llmmos térmio geerl de l sucesió l eésimo térmio f (). Cudo hblemos de l sucesió {,,,...,,...} se etederá que os referimos u ciert plicció f : N R co f (), f ( ),..., f ( ),... Pr brevir deotremos por l sucesió,,...,,.... { } {, } Dds dos sucesioes { } y { b }, deomimos sucesió sum l sucesió que tiee por térmio geerl l sum de los térmios geerles de ls sucesioes dds. Aálogmete se defie l sucesió producto y l sucesió cociete. { b } { } { b } ; { b } { }{ b } ; b { } { b } si b Defiicioes. { } es moóto creciete : { } es moóto decreciete : { } es estrictmete creciete : < { } es estrictmete decreciete : > { } está cotd superiormete : M R / M { está cotd iferiormete : m R / m } { } está cotd : está cotd superiormete e iferiormete Ejercicio: Estudir l mootoí y cotció de l sucesió { } Solució: 4 { },,,, Vemos que es estrictmete creciete, es decir, ( )( ) > > K R / K 94

2 Muel José Ferádez, Por tto está cotd iferiormete por que es el ífimo del cojuto de los elemetos de l sucesió. < ; sí pues l sucesió está tmbié cotd superiormete. U cot superior es el (que demás es el supremo y el límite de l sucesió). Ejercicio: Estudir l mootoí y cotció de l sucesió { } Solució: { },,,... {.57,.,.,...}, Vemos que es estrictmete decreciete, es decir, > ( ) ( ) ( )( ) 4 6 ( ) ( )( ) ( )( ) Por tto está cotd superiormete por 4 7 que es el supremo del cojuto de los elemetos de l sucesió. > ; sí pues l sucesió está tmbié cotd iferiormete. U cot iferior es el (que demás es el ífimo y el límite de l sucesió). Ejercicio: > Estudir l mootoí y cotció de l sucesió { } Defiició de límite de u sucesió. Se dice que u úmero rel l es límite de u sucesió { } { } l > N l < ε : ε /... { } l y se deot lim ó Se dice que l sucesió { } tiee límite y se deot lim { } ó { } M N / Se dice que l sucesió { } tiee límite m N / > M y se deot lim { } ó { } < m : : { }, { } { } 95

3 Muel José Ferádez, Defiició. U sucesió { } Defiició. Se dice que u sucesió que posee límite fiito se dice que es covergete, es decir, { } l R / lim { } l es divergete si lim ) { } es divergete ( tiee límite { } es divergete ( tiee límite ) { } ( {,,, 4, - 5,...} ) es divergete, uque o tiee límite. Defiició. U sucesió se llm oscilte si o es covergete i divergete. { } {,,,,,... } Defiició. Se dice que { } r úmeros turles. es u subsucesió de { } si { } r es u sucesió estrictmete creciete de Si u sucesió tiee límite, fiito o ifiito, es úico. Tod sucesió covergete es cotd. El reciproco, e geerl, es flso. Si u sucesió tiee límite, fiito o ifiito, tods sus subsucesioes tiee tmbié el mismo límite. Tod sucesió moóto creciete y cotd superiormete es covergete. Además el límite coicide co el supremo del cojuto de los térmios de l sucesió. Tod sucesió moóto decreciete y cotd iferiormete es covergete. Además el límite coicide co el ífimo del cojuto de los térmios de l sucesió. Tod sucesió moóto creciete y o cotd superiormete tiee límite. Tod sucesió moóto decreciete y o cotd iferiormete tiee límite L sucesió es creciete y cotd superiormete; por tto es covergete y su límite es u úmero rel (irrciol) que se llm el úmero e (bse de los logritmos eperios). e.78 Opercioes co límites de sucesioes. Si { } l R y { } { b} l {. } α. l { b } lm m b α α R m R se verific 96

4 Muel José Ferádez, b m b y b es divergete si, l m si m y b l m y b Si lguo o mbos de los límites l y m es ifiito se verific álogos resultdos los vistos pr límites de fucioes Se verific { } l R { l} { } { } { l }. E prticulr, L sucesió ( ) es covergete cero y que lo es. Ejercicio: Justificr que l sucesió de úmeros reles { } divergete? es oscilte? Rzor ls respuests. ( ) o es covergete. es Teorem de l sucesió itermedi. Supogmos que pr todo suficietemete grde b c. Si lim b lim c l etoces lim l ( l R ó l ó l ) Ejercicio. Clculr el límite de l sucesió... 97

5 Muel José Ferádez, Solució: ; ; 5 6 > >... >. Por tto lim. Corolrio. Si { } y { b es cotd, etoces { } } b E efecto, b b K y bst plicr el teorem de l sucesió itermedi. Alguos límites importtes. * Si l etoces * Si p >, lim p log * Si p >, lim p * Si <, lim * lim e R l. Así, por ejemplo, lim lim p ( p > ) es u ifiito de orde superior log Sucesioes recurretes. L form recurrete de represetr u sucesió cosiste e dr uo o vrios térmios iiciles de l sucesió e idicr l fórmul pr clculr los térmios sucesivos prtir de los ddos.,. N {,,, 6, 4,...},, N {,,,,, 5, 8,...} Fibocci 98

6 Muel José Ferádez, Pr clculr el límite de u sucesió defiid de este modo, u posibilidd es itetr demostrr l existeci de dicho límite medite técics de mootoí y cotció, usdo pr dichs técics geerlmete el pricipio de iducció, y cotiució, pr ecotrr su vlor se puede tomr límites e l expresió que defie l sucesió. Por ejemplo, pr demostrr que u sucesió recurrete es estrictmete creciete medite iducció comprobmos e primer lugr que < ; cotiució supoemos, por hipótesis de iducció, que < y demostrmos que tmbié <. Pr demostrr que es cotd superiormete, por iducció, teemos que ecotrr u costte M que cumpl e primer lugr que < M ; cotiució supoemos, por hipótesis de iducció, que < M y demostrmos que tmbié < M. Ejercicio. Se cosider l sucesió { de úmeros reles defiid recurretemete por: }, Demostrr, por iducció, que es moóto y cotd. Clculr su límite. Solució:,, , 4. 75, , Demostrremos, por iducció, que es estrictmete creciete, es decir, < Si cierto Supogmos, por hipótesis de iducció, que < y demostrremos que < ª posibilidd < < < ª posibilidd Por hipótesis de iducció >, es decir, < >, es decir, < Por ser creciete está cotd iferiormete por. Vemos que está cotd superiormete, es decir, M R / M ; lo demostrremos por iducció. Si ; supogmos, por hipótesis de iducció, que < y demostrremos que < < < < <, es decir, < 99

7 Muel José Ferádez, { } creciete y cotd superiormete { } covergete, es decir, lim { } l R lim l lim{ } lim, es decir, l ; sí pues l Ejercicio. Se cosider l sucesió { de úmeros reles defiid recurretemete: } / ; 7 6, si Estudir l mootoí y cotció. Es covergete? E cso firmtivo hllr el límite. Es covergete si 5/? Rzor ls respuests..: Series umérics. Se { } u sucesió de úmeros reles y formemos u uev sucesió s s... s... { s } de l form: k k L sucesió sí formd se llm serie y se represet. El úmero s es l sum prcil -ésim de l serie y el úmero Covergeci y sum de u serie. Se dice que l serie es el térmio -ésimo de l serie. es covergete, divergete u oscilte segú que l sucesió de sums prciles { s } se covergete, divergete u oscilte respectivmete. Si { } coverge, diremos que l es l sum de l serie y escribiremos: s l l Si { s }, se deot ; si { s }, se deot El crácter de u serie o se lter si se suprime u úmero fiito de sumdos. Ejemplos: * ( )( ) s... k ( k )( k ) k k k 4 4 5

8 Muel José Ferádez, ( ) ( ) * oscilte ; s k pr - impr k L serie geométric. Si <, etoces. Si > ó es divergete. Si l serie es oscilte. Demostrció. s k... k ( ) s. Así pues, si, ;. s s... Si <, etoces y por tto s Si >, etoces es divergete y por tto s es divergete Si, s divergete. Si, * * * Si < s - pr impr Codició ecesri de covergeci. Codició ecesri (o suficiete) pr que u serie se covergete es que el térmio geerl de l mism coverj cero. * L serie o es covergete, puesto que * L serie rmóic es divergete puesto que s...

9 Muel José Ferádez, Opercioes co series. * Si l y b m, etoces ( b ) l m ( α. ) α l. * Si u serie es covergete, su crácter y su sum o vrí l sustituir grupos de t érmios cosecutivos por sus sums. * Si u serie es divergete, lo sigue siedo l sustituir grupos de térmios cosecutivos por sus sums. * Pr series osciltes lo terior, e geerl, o se verific. ( ) oscilte ( ) ( )... ( )... ( ) ( )... ( )... Series co térmios o egtivos. * U serie co térmios o egtivos es covergete l sucesió de sums prciles es cotd. " " s... covergete y por tto cotd. cosecueci, s es covergete. " " s... cotd(por hipótesis), moóto creciete(por ser ) y e * U serie co térmios o egtivos es covergete o bie divergete, pero uc es oscilte. E efecto, l ser s moóto creciete, se verific que s es covergete o bie divergete. Ejemplo. L serie llmd serie rmóic geerlizd coverge si α > y diverge si α. α * Teorem de comprció e el límite ] Se [ y [ dos series co térmios positivos / b ] lim l. Se verific: b ) Si l > y l ls dos series coverge o diverge simultáemete. [ ] ] l [ ] diverge etoces l serie [ ] ] b) Si l y l serie [] coverge etoces l serie diverge etoces l serie [ tmbié diverge. c) Si y l serie coverge etoces l serie [ tmbié coverge. tmbié coverge. Si y l serie l [ ] tmbié diverge. Si y l serie l [ ]

10 Muel José Ferádez, * ( 7 ) *. / ( 7) es divergete y que / /(. ) es covergete y que / y l serie es diverg. 7 y es covergete Criterio de l ríz. Se covergete. Si u serie de térmios o egtivos tl que lim l. Si l < l serie es l > l serie es divergete. Si l el criterio o decide. ( / / ) es covergete y que lim ( ) lim( ) Criterio del cociete. Se u serie co térmios positivos tles que lim l. Si l < l serie es covergete. Si l > l serie es divergete. Si l el criterio o decide.!! es covergete y que ( )! Criterio del Rbe. Se u serie co térmios positivos tles que l lim. Si l > l serie es covergete. Si l < l serie es divergete. Si l el criterio o decide. Ejercicio: Comprobr que l serie ( )! o decide y se h de usr el criterio de Rbe). ( )( )...( ) es covergete (el criterio del cociete Series de térmios rbitrrios: series lterds. Se llm series lterds quells e ls que dos térmios cosecutivos tiee sigos opuestos, es decir,.. L form más comú que preset ls series lterds es: ( ) ;

11 Muel José Ferádez, Criterio de Leibiz. Se { }... u sucesió moóto decreciete de úmeros o egtivos, es decir, y, demás, covergete cero. Se verific que l serie lterd: es covergete. ( ). ( ) es covergete. * A cotiució cosiderremos series rbitrris, es decir, series que o so ecesrimete i de térmios o egtivos i lterds. Defiició. L serie es bsolutmete covergete : l serie * Si es bsolutmete covergete es covergete. es covergete. E efecto: - es covergete ( ) es covergete ( ) ( ) es covergete. * El recíproco del resultdo terior, e geerl, o es cierto. Así, por ejemplo, l serie ( ) es covergete y o es bsolutmete covergete y que es divergete. Defiició. Ls series que so covergetes, pero o bsolutmete covergetes, se llm codiciolmete covergetes. Sum de lgus series. * Serie geométric. Si < 4

12 Muel José Ferádez, * Series ritmético- geométrics. L serie P ( ), siedo P() u poliomio, se deomi ritmético- geométric. Si < es covergete. Si llmmos S su sum, se verific S S k Q( ) dode k es u costte y Q u poliomio de grdo meor que P. Reiterdo el proceso se obtiee u serie geométric. * Series telescópics. L serie es telescópic si puede escribirse e l form: y por tto l sum prcil es s b b. L serie terior coverge si l sucesió { } b lim b b b b coverge y e este cso: 5