Ayudantía 7 Problema 1.

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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS533 Electricidad y Magnetismo Profesor: Máximo Bañados Ayudante: Felipe Canales, correo: facanales@uc.cl Ayudantía 7 Problema. La figura de abajo muestra dos capacitores en serie. La sección rígida de largo b entre las placas se puede mover verticalmente. El área de cada placa es A a 2 > b 2, de tal forma que se puedan despreciar efectos de borde. Demuestre que la capacitancia del sistema es independiente de la posición en la que se ubica la sección rígida. Si la diferencia de potencial entre las placas del condensador es V 0, Cuál es la energía disipada al remover la sección rígida? Sea d la distancia que separa la sección de la placa superior, y d 2 la distancia que la separa de placa inferior, podemos notar que: a = d + b + d 2 a b = d + d 2 Si introducimos una nueva placa conductora entre las originales, el condensador se divide en dos condensadores conectados en serie. La capacitancia del nuevo condensador superior es C = Aε 0 d, y la del condensador inferior es = Aε 0 d 2. La capacitancia total de este sistema satisface: = + = d + d 2 = d + d 2 a b = C eq C Aε 0 Aε 0 Aε 0 Aε 0 La energía de ese sistema La capacitancia del sistema sin la barra rígida es: C eq = Aε 0 a b U = Q2 2C = CV2 2 = Aε 2 2(a b)

2 C eq = Aε 0 a La energía almacenada en esa configuración La diferencia de energía entre las dos configuraciones U = C V2 2 = Aε 2 2a ΔU = U U = Aε 2 Aε 2 2a 2(a b) = Aε 2 ( 2 a a b ) = Aε 0V 2 0 b 2a(a b) Problema 2. Encuentre la capacitancia por unidad de largo de un condensador formado por dos cilindros conductores coaxiales de radios a y b como se muestra en la figura, y la energía almacenada (considere los cilindros muy largos). Primero por gauss calculamos el campo eléctrico entre los dos cilindros, considerando un cilindro de radio r y largo L: q q = E da = 2πErL E = ε 0 2πε 0 Lr r Calculamos la diferencia de potencial entre el radio exterior b y el radio interior a: ΔV = γ E dr = q b 2πε 0 L r dr a = q 2πε 0 L ln (b a ) Luego usando la definición de capacitancia: C = q ΔV = 2πε 0L ln(b a) La capacitancia por unidad de largo C L = 2πε 0 ln(b a) Ahora, para calcular la energía utilizamos la relación entre energía potencial eléctrica y potencial eléctrico en forma diferencial

3 du = V dq Pero de la definición de capacitancia tenemos: V = q C du = q C dq Integrando Reemplazando el valor obtenido anteriormente para C U = du = q q2 dq = C U = q2 4πε 0 L ln (b a ) Problema 3. Un condensador de capacidad C = 00mF se carga a una diferencia de potencial V = 00V (ver configuración inicial). Una vez cargada, se desconecta de la batería y se conecta en paralelo a otro condensador (ver configuración final). Si el voltaje final es V f = 30V, encuentre la capacidad del segundo condensador. En primer lugar, calculamos la carga almacenada en el condensador Q i = C V = 00mF 00V = 0C Luego se conecta en paralelo ambos condensadores. Por conservación de la carga Q i = Q + Donde Q y son las cargas almacenadas finales en cada condensador. La diferencia de potencial en ambos condensadores debe ser la misma De esta ecuación tenemos que V f = Q C = V f = Q = C Q + = C +

4 Luego Q i = C + V f = = Q i C + Entonces (C + )V f = Q i = Q i V f C Reemplazando = mf Problema 4. Calcule la capacitancia total del sistema y la carga almacenada. Cómo es la capacitancia total con respecto a la menor de las capacitancias del circuito (menor o mayor)?, Cómo es la capacitancia total con respecto a la mayor de las capacitancias del circuito? Para calcular la capacitancia total, consideramos partes del circuito para simplificarlo. Como C5 y C6 están en paralelo, la capacitancia de ese subsistema será: C 7 = C 5 + C 6 = 5μF + 7μF = 22μF Luego la capacitancia de C7 y de C4 estaría en serie, por lo que la capacitancia de ese subsistema sería: = + = C 8 C 7 C 4 22μF + 35μF = μF C 8 = μf Ahora para el subsistema formado por los condensadores C2 y C3

5 C8 y C9 es un subsistema en paralelo, por lo que: Ahora C, C7 y C0 están en serie = + = C 9 C 3 20μF + 20μF = 0μF C 9 = 0μF C 0 = C 8 + C 9 = μf + 0μF = μf = + + = C T C C 7 C 0 5μF + 5μF μF = μF C T = μf 5,7μF Vemos que la capacitancia del circuito total es menor que cualquiera de las capacitancias que conforman el circuito. La carga almacenada es: C = Q V Q = CV = 5,7μF 6V = 34,2μC