Capítulo 2. Marco teórico Características básicas de la fibra óptica

Transcripción

1 Capítulo 2 Marco teórico Este capítulo contiene la teoría necesaria para analizar el problema en cuestión. Para ello, se toman en cuenta las características básicas de la fibra óptica. Además, partiendo de las ecuaciones de Maxwell en medios no homogéneos se obtienen las ecuaciones para los modos TE y TM en guías de onda planas. Estas últimas serán finalmente empleadas para llegar a las ecuaciones correspondiente a los modos acoplados, las cuales serán posteriormente utilizadas para estudiar el cambio de la potencia en un acoplador óptico sin modulación y con diferentes tipos de modulación Características básicas de la fibra óptica En esta sección se indica cómo cambia el índice de refracción en en una guía de onda con índice escalonado y se presentan algunos valores típicos. Por otra parte, se habla brevemente de la condición a considerar para que un haz de luz sea guiado a través de la guía de onda. Una guía de onda óptica es una estructura que puede guiar un haz de luz de un lugar a otro con pérdidas de potencia mínimas, como se mencionó en el capítulo anterior. La guía de onda óptica más usada es la fibra óptica con índice escalonado, la cual 8

2 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 9 consiste en un núcleo dieléctrico central cilíndrico y una cobertura hecha con un material dieléctrico con índice de refracción ligeramente menor. Por lo tanto, de acuerdo Ghatak y Thyagarajan [14], la distribución del índice de refracción correspondiente en la sección transversal es: n 1 ; 0 < r < a núcleo n 2 ; r > a cobertura (2.1) En donde r representa la coordenada cilíndrica radial, y a representa el radio del núcleo. Aunque la cobertura sólo se extiende hasta una distancia b, con el fin de simplificar las ecuaciones se asumirá que se extiende hasta el infinito. La figura 2.1 es una ilustración de cómo se encuentran distribuidos el núcleo y la cobertura de la fibra óptica. Figura 2.1: Fibra óptica con un índice de refración igual a n 1 para el núcleo y a n 2 para la cobertura. Los valores típicos del diámetro del núcleo son de µm para fibras ópticas multimodales, de 5 10µm para fibras de un solo modo, mientras que el diámetro usual del la cobertura es de aproximadamente µm [14]. Para tener una idea de la diferencia que existe entre los índices de refracción, se considera una fibra de sílica de un solo modo y con un índice de refracción escalonado, si se emplea un haz de 1.5µm y considerando una apertura numérica de 0.1, el índice de refracción de la cobertura de sílica pura es de 1.444, mientras que el índice de refracción del núcleo es de , por lo que su diferencia es de , como indica Paschotta [12]. Además, las fibras

3 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 10 ópticas cuentan con velocidades de transmisión de información muy altas, en el caso monomodal pueden transmitir entre 2.5 y 10 Gbits por segundo, mientras que en el caso multimodal pueden transmitir cientos de Mbits y hasta 10 Gbits por segundo [14]. Para entender cómo es guiada la luz en una guía de onda es necesario considerar un rayo de luz que incida en el núcleo. El ángulo de incidencia será aquel que el rayo forma con el eje de coordenadas cilíndricas radiales, y si este es mayor que el ángulo crítico θ c = sin 1 ( n2 n 1 ) (2.2) el rayo sufrirá reflexión interna total en la interface. Debido a la simetría cilíndrica de la guía de onda, el rayo también sufrirá reflexión interna total en la interface de la parte inferior, siendo de esta forma guiado a través del núcleo por reflexiones internas repetidas. Este fenómeno fue demostrado en 1854 por John Tyndall. Aunque pudiera pensarse que la luz puede propagarse en una guía de onda con cualquier ángulo de incidencia siempre y cuando éste sea mayor al ángulo crítico, esta suposición es erronea como lo explica Marcuse [11]. Más adelante se verá que los modos guiados se encuentran asociados únicamente con ángulos de incidencia discretos de los haces de luz. La cobertura es importante en la guía de onda para proteger el rayo de luz. En un paquete de guías de onda, al no haber cobertura, la luz puede acoplarse de una guía de onda a otra adyacente. Debido a que el estudio que se realiza es para un acoplador óptico y éste tiene una longitud dada en centímetros, no se tomarán en cuenta las pérdidas de la potencia que pudieran haber, ya que en una longitud de este tamaño las pérdidas son muy pequeñas y por lo tanto pueden ser omitidas.

4 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO Ecuaciones de Maxwell en medios no homogéneos: modos TE y TM en guías de onda planas A continuación, se parte de las ecuaciones de Maxwell para medios no homogéneos para obtener las ecuaciones que caraterizan los modos transversal eléctrico y transversal magnético. Siguiendo el procedimiento mostrado por Ghatak y Thyagarajanen [14], para empezar el análisis se deben tomar en consideración las ecuaciones de Maxwell para un medio no homogéneo, isotrópico, no conductor, no magnético. E = B t = µ H 0 t (2.3) H = D t = ɛ 0n 2 E t (2.4) D = 0 (2.5) B = 0 (2.6) En donde E, D, B y H representan el campo eléctrico, el desplazamiento eléctrico, la inducción magnética y la intensidad magnética respectivamente. µ 0 es la permeabilidad magnética,ɛ es la permitividad dieléctrica del medio, K es la constante dieléctrica del material, n es el índice de refracción y ɛ 0 es la permitividad en el vacío. Al combinar las ecuaciones de Maxwell se obtiene: ( E ) ( = µ 0 H t ) = µ 0 ɛ 0 n 2 2 E (2.7) t 2

5 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 12 Que puede reescribirse como ( E ) 2 E = ɛ0 µ 0 n 2 2 E (2.8) t 2 Por otra parte, considerando la relación que existe entre D y E ( D = ɛ E = ɛ 0 n 2 E) 0 = D = ɛ 0 ) [ (n 2 E = ɛ 0 n 2 E + n 2 E ] (2.9) por lo que al despejar E se obtiene Si se sustituye la ecuación 2.10 en la ecuación 2.8 ( ) E 1 = n 2 n E (2.10) 2 ( ) 2 E 1 + n 2 n2 E ɛ 0 µ 0 n 2 2 E t = 0 (2.11) 2 Procediendo de forma similar, se obtiene una ecuación para la intensidad magnética 2 H 1 ( + n 2 n2 H ) ɛ 0 µ 0 n 2 2 H t = 0 (2.12) 2 Si se considera que el índice de refracción es únicamente función de x y y ( es decir, n 2 = n 2 (x, y)), y que n 2 es despreciable debido a que el cambio de índice de refracción es muy pequeño, entonces la soluciones de las ecuaciones anteriores tienen la forma: E = E (x, y) e i(ωt βz) (2.13) H = H (x, y) e i(ωt βz) (2.14) En donde β es conocida como la constante de propagación. Estas ecuaciones definen los modos del sistema. Los modos son distribuciones que sufren un cambio de fase

6 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 13 solamente cuando se propagan en la guía de onda a lo largo del eje z. β representa la constante de propagación del modo. Si el índice de refracción dependiera únicamente de la coordenada x,y se considerara que la onda se propaga a lo largo de este eje, entonces los campos tendrían la forma E j = E j (x)e i(ωt βz) ; j = x, y, z (2.15) H j = H j (x)e i(ωt βz) ; j = x, y, z (2.16) Utilizando esta forma para los campos en las ecuaciones de las leyes de Ampère y Faraday y tomando sus componentes se llega a que: iβe y = iωµ 0 H x (2.17) E y x = iωµ 0H z (2.18) iβh x H z x = iωɛ 0n 2 (x)e y (2.19) iβh y = iωɛ 0 n 2 (x)e x (2.20) H y x = iωɛ 0n 2 (x)e z (2.21) iβe x E z x = iωµ 0H y (2.22) Las primeras tres ecuaciones involucran únicamente las componentes H x, H z y E y y dan origen a los modos transversales eléctricos TE, mientras que las últimas

7 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 14 tres únicamente involucran las componentes E x, E z y H y, dando origen a los modos transversales magnéticos TM Modos TE de una guía de onda plana con índice simétrico escalonado En esta sección se obtienen, basándose en el trabajo de Ghatak y Thyagarajanen [14], los modos TE para una guía de onda plana con índice simétrico escalonado. Para ello, se despejan H x y H z de las ecuaciones 2.17 y 2.18,respectivamente, y son sustituidas en la ecuación 2.19 con lo que se llega a la ecuación en donde se ha usado la relación d 2 E y dx 2 + [ k 2 0n 2 (x) β 2] E y = 0 (2.23) k 0 = ω ɛ 0 µ 0 = ω/c (2.24) con k 0 el número de onda de la luz en el vacío y c la velocidad de la luz en el vacío. La ecuación 2.23 tiene la misma forma que la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo para un pozo potencial, con lo que se reafirma la analogía existente entre este sistema de la mecánica cuántica y el sistema óptico. Por esta razón, las soluciones obtenidas para el sistema estudiado tendrán la misma forma que aquellas del sistema cuántico. Como se indica en [15] de Eisberg y Resnick o en cualquier otro libro de mecánica cuántica, la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo y en una sola dimensión tiene la forma

8 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 15 h2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) = i h 2m x 2 t (2.25) Las soluciones Ψ(x, t) son las funciones de onda asociadas con el movimiento de una partícula de masa m que se encuentra bajo la influencia de fuerzas que están descritas por la función de energía potencial V (x, t). En esta ecuación, h es la constante de Planck normalizada, mientras que i corresponde a la unidad imaginaria. Si se considera la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo, entonces ésta puede escribirse de la siguiente forma d 2 Ψ(x) dx 2 En donde E es la energía total de la partícula. + 2m 2 [E V (x)] Ψ(x) = 0 (2.26) h Si se comparan las ecuaciones 2.23 y 2.26 se observa que ambas tienen la misma forma, por lo que al indentificar los términos análogos se tiene que E y corresponde a Ψ, k0n 2 2 a 2mE, y β 2 a 2mV h 2 h 2 en mecánica cuántica. Para continuar, es necesario seleccionar el perfil del índice de refracción, en este caso ha sido seleccionado de forma que con n 1 > n 2. n 1 ; x < d/2 n(x) = n 2 ; x > d/2 (2.27) Tomando esto en cuenta, y considerando las condiciones de frontera, es posible solucionar la ecuación Debido a que E y y H z representan a componentes tangenciales en los planos x = ±d/2, entonces estas componentes deben ser continuas en x = ±d/2. Además, ya que de y /dx es proporcional a H z, entonces se debe cumplir que tanto E y como de y /dx sean continuas en x = ±d/2.

9 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 16 Si ahora se reescribe la ecuación 2.23 con el perfil del índice de refracción seleccionado se tiene que d 2 E y /dx 2 + (k 2 0n 2 1 β 2 ) E y ; x < d/2 núcleo d 2 E y /dx 2 + (k 2 0n 2 2 β 2 ) E y ; x > d/2 cobertura (2.28) Los modos que son guíados deben permanecer en la región correspondiente al núcleo, y decaer en aquella que corresponde a la cobertura, por lo que se debe tener que β 2 > k0n (2.29) De lo contrario, se obtienen soluciones que oscilan en la región del la cobertura, lo cual se conoce como modos de radiación, estos corresponden a que un rayo en vez de sufrir una reflexión interna total sea refractado en la interface. Para que las condiciones de frontera puedan satisfacerse en x = ±d/2, es también necesario que β 2 < k 2 0n 2 1 (2.30) Por lo tanto, para obtener modos guiados se debe cumplir que n 2 2 < β2 k 2 0 < n 2 1 (2.31) Para simplificar la ecuación 2.28 y poder encontrar las soluciones se han definido dos nuevas variables γ 2 = β 2 k 2 0n 2 2 (2.32) κ 2 = k 2 0n 2 1 β 2 (2.33)

10 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 17 con esto, la ecuación se simplifica a d 2 E y /dx 2 + κ 2 E y = 0; x < d/2 núcleo d 2 E y /dx 2 γ 2 E y = 0; x > d/2 cobertura (2.34) Ahora, de la ecuación 2.34 deja ver fácilmente que sus soluciones son funciones armónicas, que en el caso general pueden ser escritas de la siguiente forma E y (x) = A cos(κx) + B sin(κx); x < d/2 (2.35) para la región del núcleo, en donde A y B son constantes. Mientras que para las regiones x > d/2 y x < d/2 las soluciones son de forma exponencial, e γx. Si se omite la solución de la exponencial creciente, entonces Ce γx ; x < d/2 E y (x) = De γx ; x > d/2 (2.36) Si la distribución del índice de refracción es simétrica alredor de x = 0, entonces las soluciones pueden ser funciones simétricas o antisimétricas de x. Si se tienen funciones simétricas, es decir, si entonces se tiene que la solución está dada por E y ( x) = E y (x) (2.37) A cos(κx); x < d/2 E y (x) = Ce γ x ; x > d/2 (2.38) Y debido a que E y (x) y de y /dx son continuas en x = ±d/2, entonces A cos(κd/2) = Ce γd/2 (2.39)

11 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 18 κa sin(kd/2) = γce γd/2 (2.40) Si se divide la ecuación 2.40 entre la ecuación 2.39, se obtiene que en donde ξ ha sido definido de la siguiente manera ξ tan ξ = γd/2 (2.41) ξ = κd 2 = ( k0n β 2) 1/2 d 2 (2.42) Por otra parte, se tiene que ( ) 1/2 γd 1 2 = 4 V 2 ξ 2 (2.43) en donde V = k 0 d ( n 2 1 n 2 2) 1/2 (2.44) el cual es el parámetro adimensional de la guía de onda. Combinando las ecuaciones 2.41 y 2.44 se obtiene que ξ tan ξ = ( ) 1/2 1 4 V 2 ξ 2 (2.45) Cuando las soluciones son funciones antisimétricas, es decir, que los modos antisimétricos son E y ( x) = E y (x) (2.46)

12 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 19 B sin(κx); x < d/2 E y (x) = xde γ x / x ; x > d/2 (2.47) Y si se sigue un procedimiento similar al realizado para el caso de los modos simétricos, se llega a que Debido a que ξ cot ξ = ( ) 1/2 1 4 V 2 ξ 2 (2.48) (V ) 2 η = ξ 2 2 (2.49) corresponde a la ecuación de un círculo para valores positivos de ξ, entonces los valores permitidos de éste parámetro son aquéllos en donde el valor de η coincide con el de ξ tan ξ o ξ cot ξ, es decir, en donde las gráficas de estas funciones se intersectan. Debido a que los valores de β son determinados a partir de los de ξ, entonces β únicamente puede tomar valores discretos. En el caso de los modos TM se procede de manera similar a la empleada en esta sección, sin embargo, estos resultados no serán abordados en el presente trabajo Ecuaciones para modos acoplados A continuación se emplean las ecuaciones de la sección anterior para obtener las ecuaciones que describen el cambio de la amplitud del campo en el caso de un acoplador óptico, en donde se tienen modos acoplados. Las ecuaciones para modos acoplados describen la variación de la amplitud de las ondas propagándose en cada una de las guías de onda de un acoplador direccional.

13 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 20 A continuación se obtendrán estas ecuaciones siguendo el procedimiento mostrado por Ghatak y Thyagarajan en [14]. Sean n 1 (x, y), la variación en el plano transversal del índice de refracción de la guía de onda 1, en ausencia de la guía de onda 2, n 2 (x, y) variación en el plano transversal del índice de refracción de la guía de onda 2 en ausencia de la guía de onda 1, n(x, y) la variación en el plano transversal del índice de refracción del acoplador direccional, el cual está formado por las guías de onda 1 y 2. Si β 1 y β 2 son las constantes de propagación de los modos de las guías de onda 1 y 2 en ausencia de la otra, y ψ 1 (x, y) y ψ 1 (x, y) son los campos de modo transverso de las guías de onda 1 y 2 en ausencia de la otra, entonces, de acuerdo con la ecuación 2.23 las ecuaciones de para cada guía de onda son: 2 t ψ 1 + [k 2 0n 2 1(x, y) β 2 1]ψ 1 = 0 (2.50) En donde, 2 t ψ 2 + [k 2 0n 2 2(x, y) β 2 2]ψ 2 = 0 (2.51) 2 t = 2 2 z 2 = 2 x y 2 (2.52) Si ψ(x, y, z) representa el campo total del acoplador direccional, entonces se tiene: 2 t ψ + 2 ψ z 2 + k2 0n 2 (x, y)ψ = 0 (2.53) Si se considera que las dos guías de onda no interactúan fuertemente, entonces ψ se puede aproximar de la siguiente forma: ψ(x, y, z) = A(z)ψ 1 (x, y)e iβ 1z + B(z)ψ 2 (x, y)e iβ 2z (2.54)

14 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 21 En donde A(z) y B(y) son amplitudes complejas. Éstas son dependientes de z debido al acoplamiento de las guías de onda. Considerando la forma de ψ(x, y, z) en la ecuación del acoplador direccional se llega a: A [ e iβ1z 2 t ψ 1 β1ψ 2 1 e ] iβ 1z + ψ 1 e iβ 1z d2 A dz 2iβ 1ψ 2 1 e iβ 1z da dz + B [ e iβ 2z 2 t ψ 2 β 2 2ψ 2 e iβ 2z ] + ψ 2 e iβ 2z d2 B dz 2 + k 2 0n 2 Aψ 1 e iβ 1z + k 2 0n 2 ψ 2 e iβ 2z = 0 2iβ 2ψ 2 e iβ 2z db dz (2.55) Si A(z) y B(z) son funciones que varían lentamente con respecto a z, entonces la segundas derivadas pueden omitirse, simplificando la ecuación a : Ae iβ1z ( 2 t ψ 1 β1ψ k0n 2 2 ψ 1 ) + Be iβ2z ( 2 t ψ 2 β2ψ k0n 2 2 ψ 2 ) 2iβ 1 ψ 1 e iβ 1z da dz 2iβ 2ψ 2 e iβ 2z db (2.56) dz = 0 Si se consideran las ecuaciones para cada una de las guías de onda, en ausencia de la otra, entonces la ecuación anterior puede simplificarse aún más y reducirse a: En donde k0 n 2 2 1Aψ 1 + k0 n 2 2 2Bψ 2 e i βz da 2iβ 1 ψ 1 dz 2iβ i βz db 2ψ 2 e dz = 0 (2.57) n 2 1 = n 2 (x, y) n 2 1(x, y) (2.58) n 2 2 = n 2 (x, y) n 2 2(x, y) (2.59) β = β 1 β 2 (2.60)

15 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 22 Si a la Ecuación 2.57 se le multiplica por ψ 1 y este resultado se integra en su sección eficaz se obtiene da dz = iκ 11A(z) iκ 12 B(z)e i βz (2.61) en donde se toman en cuenta las siguientes definiciones κ 11 = k2 0 2β 1 ψ 1 n 2 1ψ 1 dxdy ψ 1ψ 1 dxdy (2.62) κ 12 = k2 0 2β 1 ψ 1 n 2 2ψ 2 dxdy ψ 1ψ 1 dxdy (2.63) Para esto, se ha considerado que se tiene un acoplamiento débil de las guías de onda, lo cual conduce a que ψ1ψ 2 dxdy ψ1ψ 1 dxdy (2.64) Por otra parte, si a la Ecuación 2.57 se le multiplica por ψ 2 y posteriormente se le integra se obtiene que en donde db dz = iκ 22B(z) iκ 21 A(z)e i βz (2.65) κ 22 = k2 0 2β 2 ψ 2 n 2 2ψ 2 dxdy ψ 2ψ 2 dxdy (2.66) κ 21 = k2 0 2β 2 ψ 2 n 2 1ψ 1 dxdy ψ 2ψ 2 dxdy (2.67) κ 11 y κ 22 son contantes de acoplamiento que representan las correcciones a las constantes de propagación de cada uno de los modos de las guías de onda debidas a la presencia de la otra guía de onda. Estos serán omitidos para simplificar el análisis. Tomando esto en cuenta, las Ecuaciones 2.61 y 2.65 se simplifican a :

16 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 23 da dz = iκ 12B(z)e i βz (2.68) db dz = iκ 12A(z)e i βz (2.69) Para resolver este sistema de ecuaciones se deriva la Ecuación 2.68 con respecto a z. De donde, al eliminar el término dependiente de B se obtiene en donde d 2 A da i β dz2 dz + κ2 A = 0 (2.70) La solución general de la Ecuación 2.70 está dada por κ 2 = κ 12 κ 21 (2.71) en donde A(z) = e i βz/2 ( a 1 e iγz + a 2 e iγz) (2.72) γ 2 = κ 2 + β 2 /4 (2.73) La solución correspondiente a B(z) se puede obtener al sustituir el valor de A(z) en la Ecuación 2.68 : B(z) = i [( ) ( ) ] β β e i βz/2 κ γ a 1 e iγz + 2 γ a 2 e iγz (2.74) en donde a 1 y a 2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Por otra parte, si se considera el caso en el que para el punto z = 0 la luz se hace incidir únicamente en la guía de onda 1 entonces las condiciones iniciales son:

17 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 24 A(0) = A 0 ; B(0) = 0 (2.75) Asumiendo que κ 12 κ 21 es posible calcular la potencia en cada una de las guías de onda para cualquier valor de z mediante las ecuaciones P 1 (z) P 1 (0) = 1 κ2 γ 2 sin2 (γz) (2.76) P 2 (z) P 1 (0) = κ2 γ 2 sin2 (γz) (2.77) en donde P 1 (0) es la potencia lanzada inicialmente en la guía de onda 1. La potencia en la guía de onda 1 es proporcional a AA, mientras que aquella de la guía de onda 2 es proporcional a BB. Debido a que el sistema considerado tiene un cambio pequeño de índices de refracción (correspondientes al núcleo y a la cobertura) y a que los ángulos de reflexión son pequeños, entonces no existe una diferencia significativa entre las componentes transversal y longitudial, por lo que es posible visualizar el sistema como si tuviera un único modo. En el sistema óptico estudiado, la cercanía de las dos guías de ondas que conforman el acoplador óptico permite que las vibraciones electromagnéticas de los campos evanescientes sean recogidas por la segunda guía de onda y puedan propagarse en ésta. De esta manera, se obtiene el fenómeno conocido como reflexión interna total frustrada. En mecánica cuántica esto corresponde a atravesar la barrera que existe entre dos pozos potenciales, es decir, al fenómeno de tunelaje. En la cercanía de otras guías de onda, el fenómeno de reflexión interna total frustrada provoca que la luz oscile entre las guías de onda utilizadas, lo cual puede ser observado en las ecuaciones 2.76 y No obstante, este efecto puede ser limitado, e incluso

18 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 25 eliminado, si se considera el uso de una modulación del índice de refracción, obteniéndose de esta forma la inhibición del tunelaje de la luz. Sin embargo, debe tomarse en cuenta que al agregar una modulación, se agrega un término a las ecuaciones diferenciales 2.68 y 2.69, por lo que no existe una solución análitica, y para obtener una solución deberá recurrirse al empleo de métodos numéricos.