Clase No. 18 (Segunda parte): Cuadratura Gaussiana MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

Transcripción

1 Clse No. 18 (Segund prte): MAT 251 Cudrtur Gussin Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

2 Introducción Se un función f : [, b] R continu. Dd un prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b, ls fórmuls vists de integrción numéric son de l form b f (x) dx W 0 f (x 0 ) + W 1 f (x 1 ) W n f (x n ). Pr usr un fórmul sólo hy que especificr los nodos x i y los pesos W i. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

3 Introducción Se un función f : [, b] R continu. Dd un prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b, ls fórmuls vists de integrción numéric son de l form b f (x) dx W 0 f (x 0 ) + W 1 f (x 1 ) W n f (x n ). Pr usr un fórmul sólo hy que especificr los nodos x i y los pesos W i. Un form de determinr los pesos es usndo interpolción. Por ejemplo, usndo los polinomios de Lgrnge, se tiene n x x j p(x) = f (x i )L i (x), donde L i (x) = x i x j Si ocurre que p es un buen proximción de f, entonces b b b f (x) dx p(x) dx = f (x i ) L i (x) dx = W i f (x i ) Pr qué tipo de funciones f l fórmul es exct? j=0 j =i Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

4 Ejemplo Pr obtener l fórmul de cudrtur en el intervlo [ 2, 2] usndo los nodos, 0, 1, clculmos Así, L 1 (x) = 1 2 x(x 1) = W 1 = 8 3 L 2 (x) = (x + 1)(x 1) = W 2 = 4 3 L 3 (x) = 1 2 x(x + 1) = W 3 = f (x) dx 4 [2f () f (0) + 2f (1)] 2 3 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

5 Cmbio de intervlo Supongmos que tenemos l fórmul b f (x) dx W i f (x i ) Pr clculr l integrl de f en el intervlo [c, d] podemos plicr l trnsformción Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

6 Cmbio de intervlo Supongmos que tenemos l fórmul b f (x) dx W i f (x i ) Pr clculr l integrl de f en el intervlo [c, d] podemos plicr l trnsformción Entonces d c x(t) = d c (t ) + c b f (x) dx = d c b f (x(t)) dt d c b b W i f (x(t i )) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

7 Distribución de los nodos Usr nodos equiespcidos yud obtener fórmuls de integrción compuests o recursivs. Est tipo de discretizción en generl no yud reducir el error de l proximción de l integrl. Por ejemplo, pr regl de trpecio: Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

8 Nodos y pesos Gussinos (I) Guss demostró que escogiendo los nodos de un mner especil er posible mejorr l exctitud del cálculo de l integrl numéric. Teorem de cudrtur Gussin Se q un polinomio de grdo n + 1 tl que b x k q(x) dx = 0 pr k = 0, 1,..., n. Sen x 0, x 1,..., x n los ceros de q. Entonces l fórmul b b f (x) dx W i f (x i ), con W i = L i (x) dx, (1) es exct pr polinomios de grdo lo más 2n + 1. Además, x i (, b). Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

9 Nodos y pesos Gussinos (II) Pr l demostrción, hy que plicr el lgoritmo de l división f = pq + r, y puesto que x i es ríz de q, tenemos que f (x i ) = p(x i )q(x i ) + r(x i ) = r(x i ), y como el grdo de p es lo más n, debemos tener que b b b b f (x) dx = p(x)q(x) dx + r(x) dx = r(x) dx = W i r(x i ) = W i f (x i ) En resumen, si usmos nodos rbitrrios, l fórmul (1) es exct pr polinomios de grdo lo más n. Si se usn los nodos Gussinos, (1) es exct pr polinomios de grdo lo más 2n + 1. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

10 Ejemplo (I) Pr clculr l fórmul de l cudrtur Gussin con tres nodos pr estimr l integrl f (x) dx, necesitmos determinr un polinomio q de l form q(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3, tl que q(x) dx = xq(x) dx = x 2 q(x) dx = 0. Si hcemos c 0 = c 2 = 0, entonces q(x) = c 1 x + c 3 x 3, y por ser un función impr, xq(x) dx = x 2 q(x) dx = 0. Queremos que c1 0 = xq(x) dx = (c 1 x 2 + c 3 x 4 ) dx = 3 x3 + c x5 Podemos elegir c 1 = 3 y c 3 = 5. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

11 Ejemplo (II) Así, q(x) = 5x 3 3x, y sus ríces son 3/5, 0, 3/5. Tenemos que f (x) dx W 1 f ( 3/5) + W 2 f (0) + W 3 f ( 3/5) es exct pr polinomios de grdo lo más 2. Pr determinr W i podemos proponer lgunos de éstos polinomios y obtener un sistem de ecuciones: f f (x) dx Cudrtur 1 2 W 1 + W 2 + W 3 x 0 3/5W 1 + 3/5W 3 x 2 2/3 (3/5)(W 1 + W 3 ) De quí que W 1 = W 3 = 5/9 y W 2 = 8/9. Así, l fórmul de l cudrtur Gussin pr tres nodos en [, 1] es f (x) dx 1 3/5) 9 [5f ( + 8f (0) + 5f ( 3/5) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

12 Ejemplo (III) Est fórmul es exct pr polinomios de grdo lo más 5. Ejemplo: Pr clculr numéricmente 3x 4 + 2x 2 dx = 38 15, tenemos 3x 4 + 2x 2 dx 1 3/5) 9 [5f ( + 8f (0) + 5f ( 3/5) = (0) + 5 = Otro ejemplo, tenemos que (2 x 10 6 x 6 x x 2 ) dx = Aplicndo l cudrtur Gussin, tenemos (2 x 10 6 x 6 x x 2 ) dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10