Regresión de Datos de Vida

Transcripción

1 Regresón de Datos de Vda Resumen El procedmento Regresón de Datos de Vda está dseñado para ajustar un modelo estadístco paramétrco relaconado con tempos de falla a una o más varables predctoras. Los predctores pueden ser cuanttatvos o categórcos. Pueden ajustarse modelos de prmer o segundo orden, con o sn nteraccones. La dstrbucón de los tempos de falla puede tomar sete formas dferentes, ncluyendo Webull, exponencal, normal, lognormal, logístca, loglogístca, o la dstrbucón de valores extremos para mínmos. Los tempos de falla pueden ser censurados o no. Los resultados de este predctor ncluyen un estmador de la funcón de resgo y de los percentles del tempo de falla. Pueden hacerse predccones a partr del modelo ajustado, tambén pueden detectarse resduales nusuales. StatFolo muestra: lfedata reg.sgp Datos de muestra: El archvo capactors.sf3 contene datos de un expermento realzado para determnar el efecto del Voltaje y de la Temperatura en los tempos de falla de capactores de vdro, reportado por Meeker y Escobar (1998). Un total de n = 32 capactores fueron probados, cuatro a cada combnacón de 4 voltajes y 2 temperaturas. Una porcón del archvo se muestra abajo. Voltaje (voltaje) temperatura (Temperatura) horas (Horas) Todos los tempos de falla observados son no censurados por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 1

2 Entrada de Datos El cuadro de dálogo de entrada de datos pde nformacón sobre los tempos de falla y las varables predctoras: Varable Dependente: una varable numérca contenendo a Y, los tempos de falla (para datos no censurados) o tempos censurados (para datos censurados). (Censura): una columna opconal que ndca s cada valor ha sdo censurado o no. Ingrese un 0 s el valor de la varable dependente representa un tempo de falla no censurado. Ingrese un 1 s el valor ha sdo censurado por la derecha (el verdadero tempo de falla es mayor que el valor ngresado). Factores Cuanttatvos: columnas numércas que contengan valores de cualquer factor cuanttatvo que vaya a nclurse en el modelo. Factores Categórcos: columnas numércas o no-numércas que contenen los nveles de cualquer factor categórco que vaya a nclurse en el modelo. Seleccón: Subconjunto a selecconar por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 2

3 Modelo Estadístcos STATGRAPHICS ajusta dos tpos de modelos paramétrcos de regresón para tempos de vda: modelos de regresón de localzacón-escala y modelos de regresón de log-localzacón-escala. Modelos de Localzacón Escala Para este tpo de modelo, los percentles de la dstrbucón del tempo de vda están relaconados con las varables predctoras a través de una funcón lneal de la forma: ( p) σ = β + β X + β X Φ ( p)σ 1 1 Y P = μ + Φ (1) donde μ es un parámetro de localzacón que depende de las varables predctoras, σ es un parámetro de escala, y Φ -1 (p) es la cdf nversa estandarzada de la dstrbucón del tempo de vda,.e., Y μ F ( Y ) = Φ (2) σ Para tal modelo, se puede asumr que los tempos de vda sguen una dstrbucón ya sea normal, logístca, o de valores extremos para mínmos. Modelos de Log Localzacón Escala Para este tpo de modelo, los percentles de la dstrbucón del tempo de vda están relaconados con las varables predctoras a través de una funcón no lneal de la forma donde ( p) σ = β + β X + β X Φ ( p)σ 1 1 log( Y P ) = μ + Φ (3) log( Y ) μ F ( Y ) = Φ (4) σ Para tal modelo, se puede asumr que los tempos de vda sguen una dstrbucón ya sea lognormal, loglogístca, Webull, o exponencal por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 3

4 Resumen del Análss El Resumen del Análss desplega una tabla mostrando el modelo estmado y pruebas de razón de verosmltud para la sgnfcanca de los coefcentes del modelo. Regresón de Supervvenca - horas Varable dependente: horas Factores: voltaje temperatura Número de valores no censurados: 32 Número de valores censurados por derecha: 0 Modelo de Regresón Estmado - Webull Error LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Parámetro Estmado Estándar Límte de Conf. Límte de Conf. CONSTANTE Log verosmltud = voltaje Pruebas temperatura de Razón de Verosmltud SIGMA Factor J-Cuadrada Gl Valor-P voltaje temperatura La tabla ncluye: Resumen de Datos: Un resumen de los datos de entrada, ncluyendo el número de observacones n usadas para ajustar el modelo. Modelo de Regresón Estmado: Estmador de los coefcentes del modelo de regresón, con errores estándar e ntervalos de confanza aproxmados. Pruebas de Razón de Verosmltud: corrda de prueba para determnar s los coefcentes son sgnfcatvamente dferentes de 0 o no. Se desplegan P-valores bdrecconales. P- valores pequeños (menores a 0.05 s se opera a un nvel de sgnfcanca del 5%) corresponden a varables estadístcamente sgnfcatvas. La tabla de arrba muestra el resultado de ajustar un modelo de prmer orden a los datos del capactor, asumendo una dstrbucón Webull para los tempos de falla a valores fjos de las varables predctoras. El modelo estmado tene parámetros: μ = voltaje temperatura (5) σ = (6) basados en un modelo log-lneal. La ecuacón del p-ésmo percentl es horas = exp( voltaje temperatura log(-log(1-p) )) (7) Tanto voltaje como temperatura tenen un efecto negatvo en los tempos de vda de los capactores. Voltaje es altamente sgnfcatvo, mentras que temperatura es sgnfcatvo al nvel de 10% pero no al de 5% por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 4

5 Opcones de Análss El modelo estadístco a ajustarse se especfca usando Opcones de Análss. Tpo de Modelo: Seleccone Prmer Orden para ajustar un modelo que solo nvolucre efectos prncpales de cada factor. Seleccone Segundo Orden para nclur efectos cuadrátcos de factores cuanttatvos e nteraccones 2-factores entre todas las varables. Dstrbucón: la dstrbucón asumda para los tempos de falla a valores fjos de las varables predctoras. Nvel de Confanza: porcentaje de confanza para los estmadores de ntervalo de los coefcentes del modelo. Exclur: Presones este botón para exclur térmnos específcos del modelo. Un cuadro de dálogo se desplegará abajo: 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 5

6 Dé doble clc en un efecto para moverlo del campo Inclur al campo Exclur o vceversa. Ejemplo: Ajustar un Modelo con una Interaccón Para agregar una nteraccón al modelo, seleccone Segundo Orden en el cuadro de dálogo Opcones de Análss. Luego presone el botón Exclur para remover temperatura 2 y voltaje 2 del modelo, dejando los efectos prncpales y el producto cruz voltaje*temperatura. Los resultados del ajuste se muestran abajo. Regresón de Supervvenca - horas Varable dependente: horas Factores: voltaje temperatura Número de valores no censurados: 32 Número de valores censurados por derecha: 0 Modelo de Regresón Estmado - Webull Error LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Parámetro Estmado Estándar Límte de Conf. Límte de Conf. CONSTANTE voltaje temperatura voltaje*temperatura SIGMA Log verosmltud = por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 6

7 Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P voltaje temperatura voltaje*temperatura La prueba de razón de verosmltud para el térmno producto cruz tene un P-Valor grande, ndcando que no hay nteraccón sgnfcatva entre voltaje y temperatura por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 7

8 Gráfca del Modelo Ajustado El panel Gráfca del Modelo Ajustado desplega los percentles como funcón de cualquer varable X con todas las otras varables fjas a valores específcos Gráfca del Modelo Ajustado Webull percentles: 5%, 50%, 95% temperature=175.0 hours voltage Por ejemplo, la gráfca de arrba muestra cómo los percentles 5-to, 50-ésmo, y 95-ésmo varían como funcón de voltaje, con temperatura fja a 175. El tempo de falla medo decrece como crece el voltaje, con la varabldad tambén decrecendo. Panel de Opcones 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 8

9 Factores: seleccone un factor a grafcar en el eje horzontal, con límtes nferores y superores de la gráfca. Para los demás factores, especfque valores a los que estos deben quedar fjos. Percentles: porcentajes de percentles deseados. Gráfcar Meda: ncluye una línea al tempo de falla medo estmado. Sguente y Atrás: usado para desplegar otros factores cuando hay más de por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 9

10 Percentles El panel Percentles desplega una tabla de percentles estmados a una combnacón selecconada de varables predctoras. Tabla de Predccones Inversas para horas voltaje=275.0 temperatura=175.0 Error LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Porcentaje Percentl Estándar Límte Conf. Límte Conf Se 96.0 ncluyen ntervalos de confanza basados en una aproxmacón normal de muestra grande. Por ejemplo, 97.0 a un voltaje = y una temperatura = 175, se estma que el 50% de los capactores habrán 99.0 fallado luego de aproxmadamente horas El ntervalo de confanza del 95% para el 50-ésmo 99.5 percentl oscla entre horas y 593 horas por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 10

11 Panel de Opcones STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Nvel: valores de las varables predctoras a las que los percentles van a estmarse. Nvel de Confanza: porcentaje de confanza para los estmadores de ntervalo. Sguente y Atrás: usados para desplegar otros factores cuando hay más de 16. Gráfca de Percentles La Gráfca de Percentles grafca los percentles estmados a una combnacón selecconada de varables predctoras por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 11

12 1 0.8 Gráfca de Percentles con ntervalos de confanza del 95.0% voltage=275.0 temperature=175.0 prob. de falla hours Se ncluyen ntervalos de confanza basados en una aproxmacón normal de muestra grande. Panel de Opcones Nvel: valor de la varable predctora a la que se estmarán los percentles. Nvel de Confanza: porcentaje de confanza para los estmadores de ntervalo por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 12

13 Gráfca: seleccone F.D. Acumulada para grafcar los percentles o Funcón de Supervvenca para grafcar las probabldades estmadas de supervvenca. Sguente y Atrás: usados para desplegar otros factores cuando hay más de 16. Gráfca de Percentles de Probabldad Esta gráfca grafca los percentles estmados en un cuadro escalado de tal forma que la dstrbucón acumulatva es una línea recta. prob. de falla Gráfca de Percentles con ntervalos de confanza del 95.0% voltage=275.0 temperature= hours Panel de Opcones Las opcones son las msmas que en Gráfca de Percentles. Predccones El panel Predccones crea predccones usando el modelo ajustado. Por defecto, la tabla ncluye una línea para cada fla de la hoja de datos que tene nformacón completa en las varables X y un valor faltante para la varable Y. Esto le permte agregar columnas en la parte baja de la hoja de datos correspondente a nveles a los que quere las predccones sn afectar el modelo ajustado. Por ejemplo, suponga que se desea una predccón para un capactor sujeto a un voltaje de 275 y a una temperatura de 175. En la fla #33 de la hoja de datos, estos valores serían añaddos pero la columna horas se dejaría en blanco. La tabla resultante se muestra abajo: Predccones para horas 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 13

14 Observado Ajustado Error LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Fla Estándar para Meda para Meda STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Se ncluyen en la tabla: Fla el número de fla de la hoja de datos. Observado los valores observados, Y. Ajustado los valores ajustados, dados por μˆ para modelos de localzacón-escala y exp ( μˆ ) para modelos de log-localzacón escala. Error estándar los errores estándar correspondentes a μˆ. Límtes de Confanza límtes de confanza aproxmados para los valores ajustados. Panel de Opcones 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 14

15 Mostrar: Todas las flas pueden ser desplegadas, o Sólo Pronóstcos (sólo aquellas flas con valores para la varable dependente). Nvel de Confanza: porcentaje de confanza de los estmadores de ntervalos. Observado vs. Predcho El panel Observado vs. Predcho grafca los tempos observados de falla Y contra μˆ para modelos de localzacón escala y exp ( μˆ ) para modelo de log localzacón escala Gráfca de hours observado predcho S el modelo ajusta ben, los puntos deben dspersarse aleatoramente alrededor de la línea dagonal. Gráfca de Probabldad Resdual En todas las aplcacones de regresón, es mportante calcular y grafcar los resduales. El procedmento Regresón de Datos de Vda crea tres dferentes tpos de resduales: 1. Resduales Ordnaros: Para modelos de localzacón escala: r = y (8) μˆ Para modelos de log localzacón - escala: r y exp( μˆ ) 2. Resduales estandarzados = (9) Para modelos de localzacón escala: y ˆ μ e = ˆ σ (10) ln y ˆ μ Para modelos de log localzacón escala e = exp ˆ σ (11) 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 15 ( )

16 3. Resduales Cox-Snell un tpo de resduales Cox-Snell forzados a caer entre 0 y 1, defndos por: ( ) uˆ = Fˆ (12) Y que es la dstrbucón acumulatva del tempo de vda estmado evaluada en el tempo de falla observado. Los resduales ordnaros cuantfcan la dferenca entre los datos observados y los valores ajustados. Los resduales estandarzados se escalan de tal forma que deben segur una forma estandarzada de la dstrbucón asumda del tempo de falla. Los resduales Cox-Snell pueden ser de utldad al dentfcar puntos lejanos. La Gráfca de Probabldad Resdual desplega resduales estandarzados en una gráfca dseñada para ayudar a determnar s las dstrbucones asumdas para los tempos de vda son razonables para los datos: Gráfca de probabldad Webull porcentaje acumulado Resduo estandarzado S la dstrbucón selecconada es adecuada para los datos, los puntos deben caer sobre la línea dagonal de referenca. Resduos Átpcos El panel de Resduos Átpcos lsta todas las observacones que tenen resduales nusualmente grandes. Resduos Atípcos para horas 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 16

17 Y Resduo Resduo Fla Y Predcha Resduo Estandarzado Cox-Snell STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy La tabla desplega: Fla el número de fla en la hoja de datos. Y los tempos de falla observados (posblemente censurados). Y Predcha los valores ajustados, dados por μˆ para modelos de localzacón escala y exp ( μˆ ) para modelos de log localzacón escala. Resduo los resduales ordnaros. Resduo Estandarzado los e estandarzados. Resduo Cox-Snell los resduales Cox-Snell forzados û. Se agrega una fla a la lsta correspondente a la lsta correspondente a todos los resduales Cox Snell que son menores que o mayores que 0.975,.e., cualquer resduales fuera del 95% de la dstrbucón del tempo estmado. Se le debe dar partcular atencón a cualquer resdual fuera del ntervalo u ˆ pues sería equvalente a estar más allá de tres desvacones estándar s la dstrbucón fue Gaussana. Gráfcas de Resduos Pueden crearse muchos otros tpos de gráfcas de resduales por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 17

18 Gráfco de Dspersón vs. Valor Predcho Esta gráfca es de utldad para vsualzar s la varabldad es constante o varía de acuerdo a la magntud de Y o no. 4.6 Gráfca de Resduos log resudal estandarzado predcho hours Gráfca de Probabldad Normal Esta gráfca puede ser usada para determnar s las desvacones alrededor de la línea sguen una dstrbucón normal. Gráfca de Probabldad Normal para hours porcentaje log resudal estandarzado Aunque esta gráfca es creada en todos los procedmentos de regresón la Gráfca Especal de Probabldad Resdual descrta anterormente es más útl para los resduales de datos de vda. Autocorrelacones Resduales Esta gráfca calcula la autocorrelacón entre resduales como funcón del número de flas entre ellas en la hoja de datos por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 18

19 Autocorrelacones Resduales para hours autocorrelacón retraso Esto es relevante sólo s los datos se han recolectado secuencalmente. Cualquer barra más allá de los límtes ndcaría dependenca sgnfcatva entre resduales separados por el retraso ndcado por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 19

20 Panel de Opcones STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Grafcar: el tpo de resduales a grafcar. Tpo: el tpo de grafca a crear. Un Dagrama de Dspersón es usado para curvatura. Una Gráfca de Probabldad Normal es usada para determnar s los resduales del modelo venen de una dstrbucón normal o no. Una Funcón de Autocorrelacón es usada para probar dependenca entre resduales consecutvos. Grafcar Versus: para un Dagrama de Dspersón, la cantdad a grafcar en el eje horzontal. Número de Retrasos: para una Funcón de Autocorrelacón el número máxmo de retrasos. Para números pequeños de datos, el número grafcado de retrasos puede ser menor que este valor. Nvel de Confanza: para una Funcón de Autocorrelacón, el nvel usado para crear los límtes de probabldad. Matrz de Correlacones La Matrz de Correlacones desplega estmadores de la correlacón entre los coefcentes estmados. Matrz de correlacón para los coefcentes estmados 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 20

21 CONSTANTE voltaje temperatura CONSTANTE voltaje temperatura STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Esta tabla puede ser de ayuda para determnar qué tan ben se han separado entre sí los efectos de varables ndependentes dferentes. Guardar Resultados Los sguentes resultados pueden ser guardados en las hojas de datos. 1. Valores Predchos los valores ajustados correspondentes a cada una de las n observacones: 2. Errores Estándar de Medas los errores estándar de los n valores ajustados. 3. Límtes Inferores para las Medas Pronostcadas los límtes nferores de confanza para los valores ajustados. 4. Límtes Superores para las Medas Pronostcadas los límtes nferores de confanza para los valores ajustados. 5. Resduos los n resduales r. 6. Resduos Estandarzados los n resduales estandarzados e. 7. Resduos Cox-Snell - los n resduales Cox-Snell û. 8. Coefcentes los coefcentes estmados del modelo. 9. Porcentajes los porcentajes a los cuales fueron calculados los percentles. 10. Percentles los percentles estmados. 11. Errores Estándar de Percentles los errores estándar de los percentles estmados. 12. Límtes de Conf. Inferores de Percentles límtes nferores de confanza para los percentles. 13. Límtes de Conf. Superores de Percentles límtes superores de confanza para los percentles por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 21

22 Cálculos STATGRAPHICS Rev. 4/d/yyyy Dstrbucones Estandarzados Logístca, log logístca: ( z ) = exp( z) /[ 1+ exp( z) ] Φ (13) z 2 Normal, lognormal: Φ( z) = ( 1/ 2 ) exp( z / 2) π (14) Menor valor extremo, Webull, exponencal: ( z) = 1 exp[ exp( z) ] Φ (15) Funcones de Verosmltud Sea δ = 1 para un tempo exacto de falla y 0 para una observacón censurada por la derecha. Modelos de Localzacón Escala: L δ 1 δ n 1 y μ y μ ( β, σ ) = φ = σ σ 1 Φ σ (16) 1 Modelos de Log Localzacón Escala: L δ 1 δ n 1 log( y ) μ log( y ) μ ( β, σ ) = φ = σ σ 1 Φ σ (17) 1 Errores Estándar para Coefcentes Determnados a partr de las dervadas parcales evaluados en los EMV s. Los ntervalos de confanza están basados en una aproxmacón normal de muestra grande. Tempos Medos de Falla Dstrbucón E(Y) Normal μ Lognormal exp(μ + σ 2 /2) Logístca μ log logístca exp(μ)γ(1+σ)γ(1 σ) Menor Valor Extremo μ σ Webull exp(μ)γ(1+σ) Exponencal exp(μ)γ(2) 2006 por StatPont, Inc. Regresón de Datos de Vda - 22