Tema I: Algebra Problemas de Programación Lineal Omar J. Casas

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1 Tema I: Algebra Problemas de Programación Lineal Omar J. Casas 1. Una industría fabrica dos tipos de productos, A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas, M 1 y M 2. El artículo A necesita 2 horas de trabajo de la máquina M 1 y 1,5 horas de la máquina M 2. El artículo B, 1,5 horas y 1 hora, respectivamente. Cada máquina está en funcionamiento, a lo sumo, 40 horas semanales. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 250 euros, mientras que por cada unidad del artículo B es de 150 euros. Cuántas unidades de A y cuántas de B deben fabricarse semanalmente para obtener un beneficio máximo? 2. Un inversionista dispone de dos millones de euros, puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento del 10 por cien, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por cien. Existen unos topes legales que impiden invertir más de euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo A, en los cuales la inversión mínima es de medio millón de pesetas. Por otra parte el inversionista desea colocar en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos del tipo B. Cuánto debe invertir en bonos de cada tipo para que el rendimiento obtenido sea máximo? 3. Un campesino posee un terreno rústico de 70m 2 que desea utilizar para dos tipos de cultivos, A y B. Cada m 2 del cultivo A le supone un gasto de 6000 euros y cada m 2 del B 3000 euros, también por m 2, el cultivo A supone tres días de trabajo, mientras que para el cultivo B son cuatro días. El agricultor dispone de euros para invertir en el terreno y cuenta con unos beneficios de euro por m 2 cultivado de A y con euros por m 2 cultivado de B. Si el agricultor puede trabajar los cultivos durante 120 días como máximo al año qué superficie debe dedicar a cada tipo de cultivo para obtener un beneficio máximo? 4. Una fábrica utiliza dos tipos de maquinarias para producir dos tipos de artículos. El artículo A del que deben salir diariamente de la fábrica al menos 500 unidades, se puede obtener de la máquina I a razón de 100 unidades diarias, y de la máquina II a razón de 80 unidades diarias. Las cifras correspondientes al artículo B son, 50 y 100, respectivamente, pero se requiere un mínimo de 800 unidades por día. El coste de una máquina del tipo I es de dos millones de euros, y el de una máquina del tipo II es de un millón de euros. el importador de la maquinaria no acepta pedidos que no incluyan un mínimo de dos máquinas I y cuatro II. En estas condiciones y si se quiere cubrir la producción, cuántas máquinas de cada tipo se deben comprar para que los costes de adquisición sean mínimos? 5. Una dieta alimenticia debe contener al menos 400 unidades de vitaminas, 500 unidades de minerales y 1400 calorías. El alimento A contiene 200 unidades de 1

2 vitaminas, 100 unidades de minerales y 400 calorías, por kg. El alimento B contiene 100, 200 y 400, también por kg respectivamente. Cada kg del alimento A cuesta 500 euros y cada kg de B cuesta 300 euros. Cuál debe ser la composición de la dieta para que el coste diario sea el menor posible? 6. La producción anual de una fábrica de cemento es de dos millones y medio de contenedores. La fábrica dispone de colectores mecánicos para controlar la contaminación del aire, pero pese a ello, por la fabricación de cada contenedor se emiten dos unidades de contaminación al aire. Por esta razón se propone a la industria que remplace sus colectores por precipitadores electrostáticos que pueden ser de dos tipos: el tipo A reduce la emisión de partículas contaminantes a la cuarta parte, y el tipo B a la décima parte. Los costes asociados al funcionamiento de los precipitadores, por contenedor, son de 0,14 dólares para el tipo A y de 0,18 dólares para el tipo B. si la contaminación debe reducirse en cuatro millones doscientas mil unidades, cuántos contenedores de cemento deben seguir tratamiento anticontaminante en cada tipo de precipitador para que el coste de la operación sea el menor posible? 7. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante chándales y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750m de tejido de algodón y 1000m de tejido de poliester. Cada chándal precisa de 1m de algodón y 2m de poliester y cada chaqueta de 1,5m de algodón y 1m de poliester. El precio de venta del chándal se fija en 50 euros y el de la chaqueta en 40 euros. Qué cantidad de chándales y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para obtener mayor beneficio? 8. Unos laboratorios disponen de 80 litros de un producto A y de 120 litros de otro B. Con ellos prepara dos compuestos α y β. El α se consigue con tres partes de B y una de A, en el compuesto β la proporción es al 50 por ciento. Los preparados se venden en frascos con un contenido de 4 litros, el α a 5 euros y el β a 6 euros. Cuántos litros de cada compuesto debe preparar para obtener mayor ganancia? 9. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3, los del tipo B, con igual capacidad total pero al 50 por ciento de refrigerado y no refrigerado. La contratan para transportar 3000 m 3 de un producto que precisa refrigeración y 4000 m 3 de otro producto que no necesita refrigeración. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 0,3 euros y el de B de 0,4 euros. Cuántos camiones de cada tipo se han de utilizar para que el coste total sea mínimo? 10. Para el tratamiento de una enfermedad hay que suministrar a los pacientes tres tipos de vitaminas: α,β y γ. Quincenalmente precisan, al menos de 875 mg de vitamina α, 600 mg de β y 400 mg de γ. En el mercado dichas vitaminas están en dos productos A y B, cada comprimido de A contiene 25 mg de la vitamina α, 20 2

3 mg de la β y 30 mg de la γ, y cada comprimido de B contiene 25 mg de la vitamina α, 30 mg de la β y 10 mg de la γ. El coste de cada comprimido de A es de 7,5 euros y el de B de 9 euros. Qué cantidad de comprimidos de cada producto hará más económico el tratamiento? 11. Una empresa que organiza viajes tiene dos tipos de vehículos: 19 microbuses, que pueden llevar a 18 turistas, y 17 autobuses que permiten trasportar a 45 turistas. La compañía emplea a 30 conductores y a 35 guías. Cada vehículo necesita un solo conductor, pero mientras en los microbuses basta con un guía, en los autobuses es necesario que vayan dos. Cuál es la máxima cantidad de turistas a los que se puede atender simultáneamente?. Cuántos vehículos de cada tipo hay que tener en servicio para alcanzar esa cifra de clientes? 12. En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pesetas. El segundo tipo 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los gastos de fabricación son de 650 ptas. para el primer tipo y de 1900 ptas. para el segundo, siendo los precios respectivos de venta de 5000 y 6600 ptas. Sabemos que a la semana no se pueden fabricar más de 100 jerseys y, que por las limitaciones de la tecnología empleada, por cada jersey del segundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero. Cuál debe ser la cantidad de jerseys de cada tipo, fabricados a la semana para obtener el máximo beneficio? 13. Para el tratamiento de cierta enfermedad hay que administrar tres vitaminas, que designaremos por a, b y c, a la semana es preciso consumir al menos 432 mg de la a, 270 de la b y 180 de la c. Estas vitaminas se presentan en dos preparados : el A con comprimidos de 80 mg que cuestan 25 ptas y cuya composición es 20 % de a, 40 % de b y 40 % de c y el B cuyos comprimidos pesan 90 mg, cuestan 30 ptas. y de composición es 30 % de a, 60 % de b y 10 % de c. Qué cantidad de comprimidos de cada preparado harán más económico el tratamiento? 14. Una empresa de productos farmacéuticos fabrica un complejo vitamínico en ampollas que debe contener, al menos, 18 unidades de la vitamina p y 24 de la vitamina q, en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de los compuestos A y B; A contiene una unidad de vitamina p y ocho unidades de vitamina q, por cada gramo, y B, seis de p y tres de q, también por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 ptas/g y el B 30 ptas/g, determinar las cantidades de cada producto que se deben tomar para cada ampolla, con el fin de que el coste sea mínimo. 15. Un estudiante universitario decide a principio de curso, durante el periodo de matriculación, las materias que estudiará durante el curso. El plan de estudios está estructurado por créditos, bloques de diez horas lectivas. Al matricularse el estudiante debe indicar cuántos créditos quiere cursar y a qué materias corresponden 3

4 éstos. Pueden diferenciarse dos tipos de créditos, los que corresponden a materias teóricas y los que tienen contenido eminentemente práctico. El estudiante sabe que por cada crédito teórico del que se matricule deberá dedicar 15 horas al estudio (aparte de las 10 horas lectivas). Las horas de estudio que requiere cada crédito práctico son sólo 5. Él está dispuesto a estudiar al menos 400 horas durante el próximo curso, pero no más de 600. Por otra parte, las normas de matriculación le obligan a que el número de créditos de los cuales se matricula no sea superior a 60, ni inferior a 45. Además, al menos dos terceras partes de los créditos elegidos han de ser de carácter teórico. El estudiante quiere maximizar el número de créditos de los que se matricula. Plantea y resuelve su problema de optimización. 16. Una compañía que recicla papel usa papel y tela desechados para fabricar dos tipos distintos de papel reciclado. Cada tanda de papel reciclado de clase A requiere 20 kg de tela y 180 kg de papel y produce un beneficio de 500 euros, mientras que cada tanda de papel reciclado de clase B requiere 10 kg de tela y 150 kg de papel y produce un beneficio de 250 euros. La compañía dispone de 100 kg de tela y 660 kg de papel. Cuántas tandas debe fabricar de cada tipo? 17. La empresa Animales Salvajes S.A. cría faisanes y perdices para repoblar el bosque y dispone de sitio para criar 100 pájaros durante la temporada. Criar un faisán cuesta 20 euros y criar una perdiz cuesta 30 euros. La fundación Vida Animal paga a Animales Salvajes S.A. por los pájaros de forma que se obtiene un beneficio de 14 euros por cada faisán y 16 euros por cada perdiz. La empresa dispone de 2400 euros para cubrir costes. Cuántas perdices y cuántos faisanes debe criar? 18. Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para elaborar dos tipos de pasteles (A y B). Cada caja de pasteles de tipo A requiere 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y su venta le reporta un beneficio de 20 unidades monetarias (UM). Cada caja de pasteles de tipo B requiere 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y su venta le reporta un beneficio de 30 UM. (a) Cuántas cajas de cada tipo debe elaborar el pastelero de manera que se maximicen sus ganancias? Resolver el problema gráficamente. (b) Supongamos que la cantidad de harina disponible aumenta en un kg. Cuánto aumenta el beneficio del pastelero? Contestar a la misma cuestión para un aumento de un kg en la cantidad de azúcar y mantequilla. 19. Una fábrica usa tres máquinas para producir dos tipos de productos. La siguiente tabla indica el número de horas que cada máquina necesita para producir una unidad de cada producto y el tiempo total de disponibilidad para cada máquina durante el período de producción. Los directivos de la fábrica quieren maximizar el número 4

5 total de productos fabricados, pero quieren que la cantidad de producto 1 sea al menos un tercio del total de la producción. Tiempo necesario Máquina Producto 1 Producto 2 Tiempo disponible Torno Lijadora Enceradora Plantear el correspondiente problema de optimización. 20. Se dispone de dos complejos vitamínicos (marcas 1 y 2) cuyos costes por unidad de peso son 30 y 40 pesetas, respectivamente. Se desea asegurar la ingesta de un mínimo de 36 unidades de vitamina A al día, 28 unidades de vitamina C y 32 de vitamina D. Supongamos que la marca 1 proporciona (por unidad de peso) 2 unidades de vitamina A, 2 de vitamina C y 8 de vitamina D. La marca 2 proporciona 3, 2 y 2 unidades respectivamente. Plantear el problema de optimización para calcular la combinación de coste más bajo que garantice la ingesta mínima diaria de las tres vitaminas. 21. Una fábrica de cervezas produce cuatro variedades distintas de esta bebida (Light, Dark, Ale y Premium). En la siguiente tabla se indican las cantidades de malta, lúpulo y levadura necesarias para producir una unidad de volumen de cada una de las cuatro modalidades. También se indica la cantidad total disponible de cada una de estas tres materias primas y el beneficio en euros producido por la venta de una unidad de volumen de cada una de las cuatro modalidades de cerveza. Plantear el problema de optimización adecuado para determinar la producción x i, i = 1,..., 4 (en unidades de volumen) de cada tipo de cerveza de manera que se maximice el beneficio del fabricante. Light Dark Ale Premium Disponible Malta Lúpulo Levadura Beneficio Una compañía minera produce lignito y antracita. Por el momento, es capaz de vender todo el carbón producido, siendo la ganancia por tonelada de lignito y antracita 4 y 3 unidades monetarias, respectivamente. El procesado de cada tonelada de lignito requiere 3 horas de trabajo de la máquina de cortar carbón y otras 4 horas de la de lavado. Por otra parte, el procesado de una tonelada de antracita requiere para las mismas tareas 4 y 2 horas, respectivamente. El tiempo disponible diariamente para cada una de estas actividades es de 12 horas y 8 horas, respectivamente. Además, se desea producir diariamente al menos cuatro toneladas de 5

6 carbón. Plantear un problema de programación lineal para determinar el número de toneladas de lignito y antracita que deben producirse diariamente con el fin de maximizar la ganancia. 23. Un fabricante de muebles desea determinar cuantas mesas, sillas, escritorios y estanterías deberá fabricar, con el objetivo de optimizar los recursos disponibles. En estos muebles se utilizan dos tipos de madera, contando con 1500 m del tipo A y 250 m del tipo B, del tipo A cada mueble requiere 5, 1, 9 y 12 m respectivamente, del tipo B cada metro de madera permite producir 2 mesas ó 3 sillas ó 4 escritorios ó 1 estantería. Se requieren de 3 horas/hombres, 2 h/h, 5 h/h y 10 h/h para producir una unidad de cada mueble, en total se disponen de 800 h/h. Se desea maximizar la utilidad, teniendo en cuenta que la ganancia por cada mueble está estimada en 12, 5, 15 y 10 euros respectivamente. 24. Una compañía aérea está considerando la compra de nuevos aviones, existiendo tres tipos de ofertas: tipo A para vuelos largos, tipo B para vuelos medianos y tipo C para vuelos cortos. Los precios de compra por avión de cada tipo son: los del tipo A, del B y del C. La compañía cuenta con un fondo de para este propósito. Los beneficios netos por avión son de para A, para B y para C. La compañía cuenta con pilotos para atender hasta 30 aviones nuevos. Si solamente se adquieren aviones del tipo C, las facilidades de mantenimiento alcanzarían para 40 aviones, sin embargo cada avión de tipo A equivale a 5/3 de avión del tipo C y el B equivale a 4/3, en términos de facilidades de mantenimiento. Se desea saber como debe estructurarse la compra de nuevos aviones con el objetivo de obtener el máximo beneficio. 6