Aplicaciones de la derivada

Transcripción

1 Aplicaciones de la derivada º) Calcula los máimos y mínimos de la función f() = Máimo en P( 6, ) ; Mínimo en Q(0, 0) º) Determina el parámetro c para que la función f() = + + c tenga un mínimo igual a 8. f () = + ; f () = 0 + = 0 = ; f ( ) = > 0 Mínimo en = f( ) = + c = 8 c = 9 º) Dada la función f() = + a + 5, halla el valor de a para que tenga un etremo relativo en =. a = 4º) Obtener los valores de a y b para que la función f() = + a + b tenga un mínimo relativo en el punto P(,). a = y b = 7 5º) La segunda derivada de un polinomio de segundo orden que pasa por el punto A(, 7) es 4. Hallar el polinomio si se sabe que tiene un mínimo en =. Sea P() = a + b + c el polinomio de segundo grado que buscamos y P () = a + b y P () = a su primera y segunda derivada respectivamente. P() pasa por el punto A(, 7) : P() = 7 a + b + c = 7 [] La derivada segunda de P() es 4: P () = a = 4 a = [] P() tiene un mínimo en = : P () = 0 a + b = 0 [] El sistema de ecuaciones con las epresiones [], [] y [] es: a + b + c = 7 { a = a + b = 0 de donde a = ; b = 4; c = 9 y el polinomio es P() = º) Dada la función f() = a + b + c, calcula a, b, c para que el punto A(,5) y el punto de abscisa = sean etremos relativos. a + b + c = 5 De las condiciones del ejercicio obtenemos el sistema { a + b + c = 0 a + 4b + c = 0 cuya solución es a = ; b = 9 ; c = 7º) Halla a y b para que la función f() = al + b + tenga etremos en los puntos = y =. Para esos valores de a y b, qué tipo de etremos tiene la función en = y en =? a = ; b = 6 + f () = [ f () = > 0 Mínimo en el punto de abscisa = f () = < 0 Máimo en el punto de abscisa = 6

2 8º) Calcula las rectas tangentes a la curva f() = + en los puntos de infleión. Punto de infleión: P(,0). Recta tangente en P: t y = + 9º) Halla el valor de b y m para que la curva f() = + b + m + tenga en el punto A(0,) una infleión y la pendiente de la recta tangente valga. b = 0 ; m = 0º) Qué valores deben tomar b y c para que f() = + b + c + tenga un punto etremo en = y un punto de infleión en = 0? El etremo que se obtiene en =, es un máimo o un mínimo? b = 0 ; c = ; Mínimo en P(, ) º) La función f() = a b corta al eje de abscisas en = y tiene un punto de infleión en = /. Halla a y b. f () = a + 4 ; f () = 6 a f() = a b corta al eje de abscisas en = f() = 0 7 9a + + b = 0 f() tiene un punto de infleión en = f ( ) = 0 4 a = 0 a = Sustituyendo en 7 9a + + b = 0, obtenemos b =. a= La función es f() = + 4 º) Estudia el crecimiento y decrecimiento, la curvatura y puntos de infleión de las funciones: a) f() = + b) f() = + a) Creciente: (,0) (, + ) ; Decreciente: (-, ) (0,) c) f() = L d) f() = ( ) e Convea: (-, 0) ; Cóncava: (0, + ) b) Decreciente en su dominio. Convea: (-, ) ; Cóncava: (, + ) c) Decreciente: (0, ) ; Creciente: (, + ). Cóncava en su dominio. e e d) Creciente: (, ) ; Decreciente: (, + ). Convea: (, ) ; Cóncava: (, + ). Punto de infleión P (, e ) º) Determina en qué puntos no son derivables las funciones siguientes: a) f() = b) f() = 4 a) f() no es derivable en = b) f() no es derivable en = y = 4º) El coste de producción de unidades diarias de un determinado producto viene dado por C() = y el de venta de una de ellas es (50 4 ) euros. Halla el número de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máimo.

3 El beneficio viene dado por B() = (50 4 ) ( ) = Hallamos el máimo de esta función: B () = + 5; B () = = 0 = 5 B (5) = < 0 máimo en = 5 Por tanto deben venderse 5 unidades diarias para obtener un beneficio máimo de B(5) = 87 5 euros. 5º) Se considera la función real de variable real definida por: f() = a) Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. Determínense las asíntotas de f. b) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. a) Puntos que anulan el denominador: = 0 = ± Dominio de la función: D(f) = R {± } Corte de la gráfica de f con el eje OX: y = f() = 0 Corte de la gráfica de f con el eje OY: = 0 y = f(0) = 0 Asíntotas verticales: = ± Asíntota horizontal: y = 0 [ lim = 0 ] b) = f() = : P(, ) = 0 = 0 = 0. O(0,0) Función derivada: f () = ( +) ( ) ; Pendiente: m = f () = 9 La recta tangente a la gráfica de f en P es: t y + = 9( ) ; t y = º) Se considera el rectángulo (R) de vértices BOAC con B(O, b), 0(0, 0), A(a, 0), C(a, b), a > 0, b > 0, y cuyo vértice C está situado en la parábola de ecuación y = +. a) Para a =, determínense las coordenadas de los vértices de (R) y calcúlese el área de (R). b) Determínense las coordenadas de los vértices de (R) de manera que el área de (R) sea máima. c) Calcúlese el valor de dicha área máima. a) a = : Como el punto C(a, b) está situado en la parábola de ecuación y = +, se tiene que b = a + = 9 + =. Así, las coordenadas de los vértices del rectángulo R son A(,0), B(0,)y C(,), además del origen O(0,0) y el área de éste 9 u. b) Como el punto C(a, b) está situado en la parábola, b = a +. El área del rectángulo de vértices B(O, a + ), 0(0, 0), A(a, 0) y C(a, a + ) viene dado por la función f(a) = a ( a + ) que tenemos que maimizar. Buscamos el máimo de la función área: Derivando, f (a) = a + ; f (a) = 0 a = ±; f (a) = 6a; f () = < 0 Por tanto, la función área alcanza su máimo en a = y las coordenadas de los vértices de (R) que hacen máima su área son B(O, 8), 0(0, 0), A(, 0), C(,8). c) El valor del área máima es f() = 6 u. 7º) Se considera la función real de variable real definida por f() = ( ) a) Determínense los etremos relativos de f. b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. a) Función derivada: f () = 4( ) = 4 4 Valores que anulan la derivada: f () = 0 4( ) = 0 { = 0 = ±

4 Determinamos los etremos relativos con el criterio de la segunda derivada: f () = 4 [ f ( ) = 8 > 0 f (0) = 4 < 0 f () = 8 > 0 b) = f() = 64 ; pendiente: m = f () = 96 Mínimo en el punto P(,0) Máimo en el punto Q(0,) Mínimo en el punto R(,0) La ecuación de la recta t tangente a la gráfica de f en el punto P(, 64) es: t y 64 = 96( ) o, lo que es lo mismo t y = 96 8º) Se considera la función real de variable real definida por f() = a) Determínense sus asíntotas. b) Determínese el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. 9º) Dada la función f() = ln, definida para >, hallar un punto P(a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje de abscisas. [ Sol: P(, ln] 0º) La derivada de una función polinómica f es la función cuadrática g() = + 5. Qué podemos afirmar sobre los etremos de la función f? º) Se considera la función real de variable real definida por f() = ++6 a) Determínense su dominio y sus asíntotas b) Calcular lim EvAU. Madrid. Junio07. Opción A f() º) Dada la función f() L = { si > 0 obtener la ecuación de la recta tangente a la + k si 0 gráfica de la función en el punto de abscisa =. [ Sol: y = ( )] º) Se considera la función real de variable real definida por f() = la recta tangente en el punto de infleión de abscisa positiva. [ Sol: y = ] +. Hallar la ecuación de 4º) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f() = sen en el punto de abscisa = π. [ Sol: y = ( π)] π 5º) Dada la función f() = e se pide: a) Determinar los máimos y mínimos relativos y asíntotas de la función justificando la eistencia o no de cada una de ellas. b) Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a f() en el punto =. [ Sol: a) Mínimo relativo P(, e). Máimo relativo Q (, 6 e). Asíntota horizontal y = 0. b) Recta tangente y = e y normal = ] 6º) Cuántas soluciones tiene la ecuación 6 + = 0 en el intervalo [0, ]? 7º) Demuestra que la ecuación = 0 solo tiene una raíz. 8º) Aplica el teorema del valor medio a f() en el intervalo [, 0] si f() = { si < 0 4

5 9º) Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f() = + y g() = + en [, 4]. ln (+ ) 0º) Dada la función f() = { si 0 calcula el valor del parámetro a para la a si = 0 función tome todos los valores comprendidos entre f( ) y f(). R 0, f() = ln (+ ) continua por ser cociente y composición de continuas y no anularse el denominador; en particular en [, 0) (0, ] L Ho p = ln Para = 0, lim (+ ) 4 lim = ( ) (+ ) La función f es continua en = 0 si f(0) = a = 0, de donde a =. Por tanto, para a = f() continua en [, ] T.de Val I f toma todos los valores comprendidos entre f( )y f() º) Calcula, utilizando la regla de L Ho pital, los siguientes límites: a) lim L(e + ) 0 e) lim(cos L(tg)) π i) lim ( ( a )) + L(cos) sen b) lim c) lim 0 0 sen f) lim 0 (cos + sen) j) lim 0 (cos) / sen d) lim 0 tg g) lim tg cos π h) lim + / k) lim(e + ) / l) lim ( ) π ln [: a) b) 9/ c) 0 d) ½ e) 0 f) e g) h) i) La j) /e 6 k) e l) -/ ] º) Un punto se desplaza siguiendo un movimiento de ecuación f(t) = t + ln(t + ), donde t mide el tiempo en segundos. En qué instante alcanza la velocidad media que desarrolla en los cuatro primeros segundos? [:,64 s ] º) Se sabe que lim 0 asen es finito. Calcula el valor de a y su límite. arctg 4º) Calcula lim 0 5º) Halla b y c para que la función f() = { + b + c si 0 ln(+) si > 0 cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en cualquier intervalo. Calcula el valor o valores de para los que se cumple la tesis en el intervalo [, 0]. 6º) Demuestra que la ecuación = sen + cos tiene eactamente dos raíces reales en el intervalo [ π, π]. 7º) Demuestra que la ecuación = tiene una única raíz positiva. 8º) Demostrar que la función f() = ( + sen) toma el valor. 9º) Demuestra que la ecuación (, + e). ln( ) = 5 tiene una única solución en el intervalo 5