Unidad 4 Trigonometría I
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- Manuel Rivas Herrera
- hace 5 años
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1 Unidad 4 Trigonometría I PÁGINA 87 SOLUCIONES 1. Sabemos que cos 0, y que 90º 180º. Utilizando la fórmula hallamos sen 0,98. Por otro lado quedaría: sen cos 1 sen tg 4,9 cos. La discusión quedaría: a) Falsa pues sen 1,1 b) Verdadera pues tg, c) Verdadera pues cos 70º cos 60º 1. 60
2 . Según el esquema: 60º:5 7º En el triángulo rayado calculemos el valor de la apotema del pentágono. 4. Según el esquema: 6 tg6 a a 8,6 cm 5 1 8, 6 Área Área 47,8 cm De los dos triángulos rectángulos de la figura obtenemos: h 1500 tg 40º tg 5º tg 40º h x tg 40º tg 5º h tg 5º 1500 x h 449, 61m 61
3 PÁGINA 10 SOLUCIONES 1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado. n Números triangulares : 1,, 4,10,15,1,..., Números cuadrados : 1,4,9,16,5,..., n n n n x 8 8 n x esto se cumple para 8, pues x 6. Como dice que hay más de 6 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es : n 49, pues 5 15 Luego x 15cajas tiene. 6
4 . Observamos que: con n. n 1 n n 1 n Luego : Sumando : , Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A indicamos que se tuesta la cara. 1.º A B tarda : 0 s : tostar cara A y B s :colocar A 5 s :colocar B 5 s :sacar B.º A C tarda : s :dar la vuelta A s :meterc 0 s :tostar cara A s :dar la vuelta C.º B C tarda : 5 s : sacar A 5 s :meter B 0 s :tostar carab s :sacar B 5 s :sacarc 1 1 y C 1 y C En total se necesitan: 16 s en tostar las rebanadas. 6
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6 SOLUCIONES 1. La tabla queda: 90º 45º 10º 70º 5º rad rad 4 rad rad 5 rad 4 40º 9º 4' 57º 0' 15º ' 4" 14º 19' 4 rad 0, rad. La resolución de los triángulos queda: I) Cˆ 50º; b 10 sen 40º 8,56 m; c 10 cos 40º 99,59m 1rad 0,75 rad,5rad II) C ˆ 95 5º ; c tg 55º 66,5 m; 95 a 115,97 m sen 55º 40 III) cos Cˆ C ˆ 5º 1' ; Bˆ 7º 59'; 65 c , m IV) a ,68 m; 140 tg Cˆ Cˆ 48º 14' " 15 Bˆ 41º 45' 7" 65
7 . Sea la figura: Queda: h tg 4º x 1 tg tg 4º 0,45; 4º 14' 15" h tg x Si nos colocamos a distancia triple se verificará: h 1 tg tg 4º 0, 16º 4' " x 4. Sea la figura: Queda: h tg 45º x 0 tg 45º tg 0º h h 40,98 m h tg 45º tg 0º tg 0º 0 x 66
8 5. Sea la figura: Queda: 60 tg 75º 4' 7" º 55' 5" Los ángulos del trapecio miden 75º 4' 7" los dos agudos y 104 º 55' " cada uno de los dos obtusos. 6. Sea la figura: Llamamos l al lado del pentágono. De la figura obtenemos: l sen 6º l 0 sen 6º l 17,6 cm 15 Perímetro 5 17,6 88,15 cm 7. Sea la figura: Llamamos al ángulo que forman las ramas del triángulo rectángulo de la figura. Obtenemos: 4 sen 0º 55' 55" 15 67
9 8. Quedan: 9. Quedan: sen 0,91; tg, cos x cos x y sen x 1 tg x Quedan: Si tg A 0 0 A ó A Como sen A A 5 4 sen A cos A 1 cos A y tg A
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11 SOLUCIONES 11. Las simplificaciones quedan: 1 tg 1 tg a) tg 1 cotg 1 1 tg cos 1 sen b) 1 sen 1 sen 1 sen 1 cos cos (1 tg ) cos c) tg cotg 1 tg d) sen cos (tg cotg ) 1 e) sen sen cos sen f) cos sen cos sen cos sen (sen cos )(cos sen ) sen cos sen 1 cos g) 1 cos 1 cos 1 cos 1 sec cos h) cos 1 tg 1 cos i) tg tg sen tg (1 sen ) tg cos sen 4 4 j) sen cos (sen cos ) (sen cos ) sen cos 70
12 1. Queda: a) sen 10º b) sen 115º sen15º sen 45º c) cos 10º cos 0º d) tg ( 60º ) tg 60º e) tg 00º tg 60º f) sec sec 0º 6 g) cotg 5º cotg 45º 1 9 h) cosec cosec 5º 4 1. Los cálculos quedan: a) sen (180º ) sen 0,6 4 b) tg (90º ) cotg c) cos (180º ) cos 0,8 d) sen (70º ) cos 0,8 e) cos (90º ) sen 0,6 4 f) cotg (60º ) cotg 71
13 14. Se comprueba del siguiente modo: tg a tg b tg a tg b ( tg a tg b) tg a tg b a) tg a tg b cotg a cotg b 1 1 tg a tg b tg a tg b 4 4 b) sen x sen x sen x (sen x 1) (1 cos x) ( cos x) cos x cos x 1 sen cos c) 1 sen cos cos 1 sen sen x d) tg x tg x sen x tg x (1 sen x) cos x sen x cos x Todas las igualdades son verdaderas. 15. Sea la representación del problema: Por Pitágoras obtenemos: 85 x (50 h) h 5 m 65 h x También podemos calcular el ángulo por el teorema del coseno: cos 94º 4 ' 4" Por tanto h 180º 85º 5' 18" cos h 65 cos 5 m 65 7
14 16. Los triángulos se resuelven del siguiente modo: a) c 60c cos 4º c 74,9m ó c 14,79m ,9 Si c 74,9m cosc C 84º 5' 9" y B 5º 4' 51" ,79 Si c 14,79m cosc C 11º 5' 5" y B 16º 4' 55" 5060 b) 6 10 a 10 a cos 45º a no es un número real. Este triángulo no tiene solución. c) c cos 70º c 10,9 m A A B ,9 9 10,9 cos 59º 17' 5" y 50º 4' 5" d) cos A A 0º 1 0 Imposible. Además un lado es igual a la suma de los otros dos, por tanto no existe este triángulo. e) 8 4 c 4 c cos 40º c 10, 64 m 8 10,64 4 cos A= 8 10,64 A 18º 44' 44" y C 11º 15' 16" f) B 60º. Utilizando el teorema del seno obtenemos : a 10 a 8,16 m sen 45º sen 60º c 10 c 11,15 m sen 75º sen 60º 7
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16 SOLUCIONES 17. Un esquema del problema sería: El ángulo C 75º. Utilizando el teorema del seno obtenemos: a 80 sen 60º sen 75º a 71,7 m b 80 sen 45º sen 75º b 58,56 m Las distancias pedidas son 71,1 m y 58,56 m. 18. Un esquema del problema es el siguiente: El ángulo C 4º. Determinamos la distancia BC (lado a) mediante el teorema del seno: 1500 BC BC 65,85 m sen 4º sen 46º 75
17 19. La figura queda: Mediante el teorema del coseno: c cos 40º c 4, 5 m AB 0. Como el decágono está circunscrito a la circunferencia, el radio de ésta es la apotema del polígono. El ángulo central del polígono es 6º. Obtenemos el lado del triángulo de la figura: El cálculo queda: l 10 6,5 10 tg 18º l 6,5 cm Área 5 cm la figura es: En el triángulo rayado aplicamos el teorema del coseno y obtenemos la base mayor B. 15 B 5 B 5 cos 60º B 16,86 cm La altura h del triángulo mide: h 5sen60º 4,cm La base menor mide: B x B 5 cos 60º 11,86 cm El área total queda: B b 16,86 11,86 h Área 4, 6,18 cm 76
18 . La figura queda: Los cálculos son: l a cos 10º l 15,6 cm cos 60º a 9,17 cm Perímetro 15,6 9,17 49,58 cm a 0 l 0 l cos 9, ,6 0 15,6 cos 6º 0' 50" h h sen sen 6º 0' 50" h 8,88 cm 0 0 Área base altura = lh 15, 6 8,88 Área 18,71cm. La distancia d que los separa viene dada por: d cos 60º d 117,9 k m 4. Las soluciones en cada uno de los casos: El radio de la circunferencia inscrita es la apotema del dodecágono, por tanto: tg 15º r 11,0 dm r El radio de la circunferencia circunscrita lo calculamos en el triángulo: sen 15º R 11,59 dm R 77
19 5. La solución queda: r 1 sen 0º 6 m r h 6 10,9 V 91,7 m h 1 cos 0º 10,9m 6. Según la figura: Los cálculos quedan: Sean P y Q los árboles. En el triángulo ABP hallamos PB : PB 10 PB 5,5 m sen 110º sen 0º En el triángulo ABQ hallamos BQ : BQ 10 BQ 11, m sen 50º sen 55º En el triángulo PBQ hallamos x : x PB BQ PB BQ cos 5º x 148,0 m 78
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