c) Expresar en radianes los siguientes ángulos : 30º, 60º, 75º, 225º, 315º, 330º 5 ; rad 3

Transcripción

1 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - TRIGONOMETRÍA.-Dos avions qu s ncuntran a a 8 Km d un aropurto C s obsrvan dsd ést bajo un ángulo d 8º. Calcular la distancia qu spara dichos avions..- Para colgar una bombilla dl tcho, s la hac pasar por una curda qu s clava d sus trmos n dos puntos tuados a una distancia d cm.los ángulos qu forma la curda con l tcho son d º, d 6º. Hallar la longitud total d la curda a qu distancia culga la bombilla dl tcho..- Las diagonals d un parallogramo midn 6 cm, forman un ángulo d 7º. Hallar l prímtro los ángulos dl parallogramo..-calcular l ára l prímtro d un pntágono rgular inscrito n una circunfrncia d radio cm..- Hallar l prímtro l ára d un hágono rgular d 8 cm d lado. 6.-Una antna d radio stá sujta al sulo con dos cabls qu forman con la antna ángulos d 6º 8º.Los puntos d sujción d los cabls stán alinados con l pié d la antna distan ntr 98m.Calcula la altura d la antna. 7.- Rsolvr los guints stmas trigonométricas : sn sn sn cos sn cos c) 8º cosc sc sn cos sn cos d) ) sn sn f) cosc sc cos sn cos cos 8.- Eprsar n radians los guints ángulos : º, 6º, 7º, º, º, º 9.- Eprsar n grados sagmals : rad ; rad ; rad 9 ; rad.- Hallar las razons trigonométricas d º ; º ; º ; º ; 96º ; -º; - rad.- Sabindo qu cotg sn, halla : dmás razons trigonométricas d. sn (9- ) c) cos( 9+ ) d) tg ( 8- ) ) cotg ( 8+ ) f) sc(6- ) g) cosc(6+ ).- Sabindo qu cosc = tg < ; tg = cos <, calcular : razons trig d razons trig d c) las d + d) las d - ) f).- Rsolvr las guints cuacions trigonométricas : cos cos cos + sn c) sn sn

2 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - d) tg tg ) sn cos sn cos f) sn = cos g) 8sn 6sn h) 8cos cos i) 6sn sn 6sn j) cos cos cos k) tg tg = l) 6cos+6sn = +sn sn m) sn cos = n) sn ñ) tg tg tg o) tg tg p) sn cosc q) tg tg.- Comprobar las guints prons son vrdadras o falsas : sn cos cos- cos = - c) sn cos sn sn cos d) tg cot g sn cos.- Simplificar : sn cos ) cot g sn cos sn( ) f) tg cos cos sn cos sn sn cos c) sn sn d) cosc cot g ) sc cos tg 6.-Rsolvr los guints triángulos rctángulos n A, conocindo : b= cm ; c= cm a= cm; b = cm ; c) B =º ; b= cm d) c= cm; B =6º Rsolvr los guints triángulos isóscls ( A C son los angulos iguals,b la bas, h la altura ): A = 68º 7 l= 7 m ; b = m c) A = 7º 8 ; b= 7m d) b=m; h= m 8.-Rsolvr los guints triángulos: a= cm;b=7cm; C=º a= cm; b=cm; c= cm c) b= cm ;C=º ; c= 7 cm

3 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - d) B= º;C= º; a =cm ) a= cm; b= cm; A= º f) a= cm; b= cm; B= 6 º 9.- Dsd la orilla d un rio s v un árbol bajo un ángulo d º.Si l rio tin una anchura d m, calcular la altura dl árbol..-dsd un punto tuado a ras dl sulo, s v la copa d un árbol bajo un ángulo d 6º, nos acrcamos m l ángulo s d 7º.Hallar la altura dl árbol..-una scalra d m d largo, s túa n un punto d una call s apoa sobr una pard formando un ángulo d 6º con l sulo, dsd s mismo punto, s apoa sobr la otra pard formando un ángulo d º.Hallar la altura qu alcanza la scalra sobr cada pard la anchura d la call. VECTORES EN EL PLANO.- San v (, ) ; w (, - ). Calcular gráfica analíticamnt : v w v w c) v w.- Dados los puntos A(,) ; B(,-), calcular l vctor AB. Hallar l punto D para qu AB CD, ndo C(-, ).- comprobar stán alinados los puntos A(,-) ; B(6, ) ; C( 8,) calcular m para qu P(,); Q(,-) R( 6,m) stén alinados. c) hallar l punto mdio dl sgmnto AB, ndo A(-,) ; B( 7,-) d) hallar l métrico dl punto A(-,) rspcto dl punto P(,-) ) san M(7,) ; N(-,). Hallar un punto P dl sgmnto MN tal qu la distancia d M a P sa la mitad d la distancia d P a N..- Dados los vctors v (, ), w(,), calcular : v w v, w c) ángulo qu forman v w 6.- Dados los vctors v (,), w(, ), z(, ), calcula : v w z v z w z c) v w d) v w v z 7.- Dados los puntos A(,) ; B(,-) ; C(,-), calcular : ángulo qu forman AB BC. son prpndiculars stos vctors? CA CB 8.- Dado l vctor v (, k), calcular k para qu : sa ortogonal a w (, ) su módulo sa 9.- Si v ; w l ángulo qu forman s d 6º, calcula v w ; v w NOTA : todos los jrcicios dbéis rprsntarlos gráficamnt. ECUACIONES DE LA RECTA.-Hallar todas las cuacions d la rcta qu pasa por A(-,) tin d vctor dirctor v (, ). Calcula trs puntos cualsquira d la rcta..-idm d la rcta qu pasa por A(-,) ; B(, )

4 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso -.- Idm d la rcta qu pasa por A(-,) s paralla a la rcta r.- Idm d la rcta qu pasa por A(, -) tin d pndint m=.- Hallar la cuación d la rcta qu pasa por A(,) s paralla a la bisctriz dl º cuadrant..- Ecuación d la rcta paralla a -+6= cua ordnada n l orign l. 6.- prpndicular a =- pasa por l orign d coordnadas. 7.- Estudiar la poción rlativa d los guints pars d rctas ( s cortan, hallar los puntos d cort) : t t r s t 6 t t r s t 6 c) r 6 s d) r (, ) (6, ) t (, ) s 6 8 ) r s María Nacho saliron hac 6 horas d dos puntos guiron rspctivamnt las tractorias guints : (, ) = ( 7, )+ t (, ) ; (, ) = ( 6,) +t (, ) Dond t rprsnta l timpo n horas, ndo l instant actual t = n qué punto s ncuntran ahora? d qué punto saliron? s cruzan sus caminos? Si s así, n qué punto? c) s ncontrarán mantinn su marcha? 9.- Dadas las rctas r m ; s n, hallar m n para san parallas prpndiculars. c) s cortn n P(,) NOTA : todos los jrcicios dbéis rprsntarlos gráficamnt. GEOMETRIA EN EL PLANO..- Hallar l ángulo qu forman las rctas : r s s r (, ) (,) (, ) c) r s.- A(,-) ; B(-, -) ; C(,) son vértics d un triángulo. S pid : claficarlo sgún lados ángulos. cuación d la mdiana dl vértic A c) cuación d la altura dl vértic B d) cuación d la mdiatriz dl lado AB ) calcular su ára. f) Hallar un punto D para qu ABCD sa un parallogramo.con los datos obtnidos ants, qué parallogramo s?

5 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso -.- Idm para l triángulo d vértics A(,) ; B(,) ; C( -, ).- El ára d un triángulo ABC s d u, ndo A(,) ; B( 6,). Calcular C sabindo qu tin abscisa potiva stá sobr la rcta = +.- B( -,) ; C(,-) son vértics d un triángulo isóscls qu tin l vértic A sobr la rcta +-=, ndo AB AC los lados iguals. Hallar l vértic A, l ortocntro, l baricntro, circuncntro..-un rombo tin l vértic A n l j d abscisas.otos dos vértics opustos son B(,) D( -,-). Hallar los vértics qu faltan. 6.-Hallar las bisctrics d: r 6 r s j dordnadas s A(,) ; B(-,) ; C(,m) son vértics d un triángulo d ára 6. Hallar m 8.-Hallar las cuacions d las rctas qu pasando por A(,-) distn unidads d B(,) 9.- Hallar l ára dl parallogramo OABC sabindo qu l lado OA s la rcta -=; OC la rcta += l vértic B s B(,). Claficarlo, hallar las cuacions d las diagonals..-el triángulo ABC s rctángulo n A, ndo A(,) ;B(,) ; C(m,).Hallar m..- A(,) ; B(,) ; C(-, ) son vértics d un parallogramo. Calcular : vértic D Ecuacions d las diagonals. c) ára d) claficarlo..- D un parallogramo ABCD s conocn A(,-) ; B( -,) l cntro dl parallogramo M(,). Calcular : cuación d la rcta paralla a AB pasando por M prpndicular a AB pasando por M c) Vértics C D d) ára ) claficarlo..- D un rctángulo ABCD s conocn l lado AB : +-= ; B( 8,- ) D(,). Calcular : cuacions d los otros trs lados. vértics A C ) ára..-hallar l ára d un triángulo dtrminado por l punto C(-,) los puntos d intrscción con los js d coordnadas d la rcta qu pasa por los puntos A(, -) B(,).- D un triángulo ABC s conocn A(,) ; l punto mdio d BC s (,) l punto mdio d AB s (,). Hallar B, C l ára..- El j OX las rctas r ; s ; t 7 dtrminan un cuadrilátro. Hallar su ára, las cuacions d las diagonals l punto d cort d éstas. 6.- Por l punto P(,6), s trazan dos rctas prpndiculars a las bisctrics dl º º cuadrant. Hallar : las cuacions d dichas rctas. coordnadas d los otros vértics dl triángulo formado por la rcta --8= con dichas rctas. NOTA: Todos los jrcicios dbn rprsntars gráficamnt. CÓNICAS 7.- Los focos d una hipérbola son F (,) ; F (-,) la difrncia constant d las distancias d sus puntos a los focos s 6. Hallar la cuación rducida, cntricidad las cuacions d las asíntotas.

6 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso Hallar l lugar gométrico d los puntos dl plano tals qu la difrncia d distancias a los puntos (, ) (,- ) s constant val. 8.- Calcular l cntro, vértics, focos d las guints hipérbolas : c) d) Hallar las cuacions d las hipérbolas guints, sabindo qu l cntro s l orign d coordnadas l j ral s l j d abscisas : j ral =8 ; distancia focal = cntricidad = ; dist focal = c) Pasa por los puntos P(,) Q(,) d) focos son (,) ;(-,) la pndint d las asíntotas s - 6.-Dtrminar la cuación d la hipérbola d cntro (-,) ; smij imaginario. 7.- El cntro d una hipérbola s C(,-) ; l j ral val 8 ; l j imaginario l j focal s parallo al j d abscisas. Calcula vértics, focos, cntricidad la cuación d la hipérbola. 8.- Hallar la longitud d la curda qu dtrmina la lips 6 con la rcta --= 9.- Hallar los puntos d intrscción ( s dcir, dond s cortan ) la cónica : 9 7 con : = c) qué rprsntan, gométricamnt, las cuacions d los apartados antriors? 6.- Hallar l lugar gométrico d los puntos dl plano qu quidistan d : d la rcta = - dl punto (,) = (,) c) = (,6) d) = - (-,) 6.- Hallar las cuacions d las guints parábolas : dirctriz = - ; Foco F(,) dirctriz = ; F(,) c) =- ; F(,) d) = ; F(-,) ) vértic V(,) ; F (,) f) vértic V (,) ; F (,) g) V (-,) ; F (-,) h) V (,) ; F (,) 6.- Dada la parábola, s pid : hallar h para qu la rcta =+h sa tangnt a la parábola la cuación d la rcta qu pasa por l foco s paralla a la tangnt. 6.-Dtrmina la cuación d la parábola d foco F(,) d dirctriz la rcta =-. Halla la cuación d la tangnt n l vértic. 6.- D las guints parábolas, dtrminar l vértic, foco dirctriz :

7 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - 6 c) 6 d) 6 ) f) g) h) 6.- Clafica las guints cónícas, halla los puntos notabls d cada una d llas : c) d) Dtrminar l cntro l radio d las guints circunfrncias : 6 6 c) d) 67.- Hallar la cuación d la circunfrncia qu pasa por los puntos : A(,- ) ; B(, ) ; C(,) P(,) ; Q( -, ) ; R (-,-) 68.- Hallar los puntos d cort d la circunfrncia : con : +7 - = + -7 = c) + - = d) 6 ) Una circunfrncia tin por trmos d uno d sus diámtros los puntos A (,) B (,-) 7.- Ecuación d la circunfrncia qu pàsa por P(,) ; por l punto d cort d r s tin su cntro n la rcta t 7.- Ecuación d la circunfrncia qu pasa por P(,-), tin d radio su cntro stá n la bisctriz dl º º cuadrant, 7.- Estudiar la poción rlativa d la rcta r con la circunfrncia :. Ecuación d la circunfrncia concéntrica con la antrior tangnt a la rcta r. 7.-Ecuación d la circunfrncia qu s tangnt a las rctas r ; s, a una d llas n l punto P(, ) 7.-Dada la circunfrncia : l punto P(,-) hallar l cntro l radio d la circufrncia cuación d la rcta tangnt a la circunfrncia n l punto P c) intrscción con la circunfrncia : Dada la circunfrncia : 6, hallar :

8 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - cuación d la circunfrncia concéntrica con la antrior tangnt a --= rcta tangnt a la circunfrncia n l punto P (-, ) 76.- Hallar la cuación d la circunfrncia qu pasa por A(, ) ; B(, ) s tangnt a la rcta + = 77.- Hallar la cuación d la circunfrncia qu tin l cntro n --= pasa por A(, ) B (, ) 78.- Dada la circunfrncia : 6 66 ; halla las cuacions d las rctas tangnts parallas a la rcta -+ = 79.- D las guints lipss, calcular los focos, cntro, vértics cntricidad : 6 9 c) 6 d) 8 ) 6 6 f) Hallar las cuacions rducidas d las guints lipss : j maor = 9 ; distancia focal =8 j mnor = ; distancia focal c) Ecntricidad = ; distancia focal = ) cntricidad = ; distancia focal= d) Pasa por los puntos A(, ) ; B( 6, ) 8.- Hallar la cuación d la lips d cntro (, ) ; un foco s ( 6,) pasa por l punto (,6) 8.- Halla la cuación d la lips d cntro ( -, ) ; un vértic (,-) cntricidad= 8.- Hallar la cuación rducida d la lips qu pasa por P(, ) cntricidad s 8.- Calcula las cuacions d las tangnts a la lips 9 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. cua pndint s 8.- Calcular los dominios d las guints funcions : f() = f() = c) f() = d) f() = 8 ) f() = 9 f) f() = g) f() = h) f() = log i) f() = log

9 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - j) f() = k) f() = 8.- Calcular f+g ; f-g ; f g ; f g ; ndo : l) f() =sn co( m) f() = ) f() = g() = - - f() = g() = Calcular (g o f )() ( f o g)() ( la compoción ) para : f ( ) g( ) f ( ) log cos d) g( ) ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) c) f) f ( ) f ( ) g( ) g( ) sn( ) 87.- Calcular la función invrsa ( rcíproca ) d las funcions : f() = g() = c) h() = log(+) d) f() = ) g() = f) h() = 88.- Rprsnta gráficamnt las guints funcions, calcula su dominio, rcorrido, cotas, monotonía continuidad : f() = f() = Calcular los guints límits : c)

10 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - d) ) f) g) h) i) o) p) q) ) 7 r) 6 s) CÁLCULO DIFERENCIAL 9.- Estudiar la continuidad d las guints funcions : f ( ) - f ( ) 9.- Calcular a b para qu sa contínua : f ( ) a b Calcula, usando la dfinición, : ' f () ndo f ( ) ' f ( ) f ( ) 9.- Estudiar la drivabilidad d : f ( ) f ( ) 9.- Calcular a b para qu sa drivabl : f ( ) a b

11 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso Calcular la cuación d la rcta tangnt a : f ) n l punto ( f ( ) n l punto ) f ( ) n f) f ) Ln n ( c) f ) 8 n d) ( f ( ) sn n 96.- n qué punto d la función f ( ) la rcta tangnt s r? ist algún valor d n l qu la rcta tangnt a f ( ) 6 sa paralla a la rcta tangnt a g ( ) 97.-Estudiar la drivabilidad d las funcions : f ( ) f ( ) a b 98.- Drivar las guints funcions, dando l rsultado lo más mplificado pobl : f ( ) f ( ) c) f ( ) ) d) f ( ) 6 ) f ( ) log f) f ( ) sn g) f ( ) arctg( ) h) f ( ) i) f ( ) sn sn j) f ( ) sn k) f ( ) cos Ln l) f ( ) arctg m) ñ) f ( ) n) f ( ) tg( ) Ln f ( ) o) f ( ) Ln ( cos)

12 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - p) f ( ) q) f ( ) sn cos( ) r) f ( ) log ` s) f ( ) cos( ) DERIVADAS Drivar las guints funcions : Ln( ) 7 c) = d) cos ) f) g) Ln sn h) sn cos i) sn(ln) j) sn Ln k) sn Ln l) sn m) tg n) Ln( ) tg n) tg cos ñ) arcsn o) arctg s) arctg t) arcsn( ) sn u) Ln v) cos 8 cot g w) cos Ln - Driva mplifica : sn sn sn sm c) Ln sn sn d) Ln ) h) Ln arctg sn sn f) Ln cos g) Ln cos cos cos sn i) Ln arctg sn sn.- Estudiar la drivabilidad d las guints funcions : ( rcurda qu la condición ncsaria para qu una función sa drivabl s qu sa contínua ) : f ( ) ( ) f ( )

13 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso - c) f ( ) d) f ( ).- Hallar a b para qu san drivabls : a b f ( ) a Ln f ( ) a ( ) b Ln( ).- Gométricamnt, la drivada d una función n un punto qu rprsnta? n qué puntos d la gráfica f ( ) la pndint d la rcta tangnt s?.- Hallar la cuación d la rcta tangnt normal a 6 6 n l punto d abscisa ordnada ngativa. Idm n l punto d ordnada abscisa potiva. ( qué cónica s? Dibújala t audará a rsolvr l jrcicio ) GRÁFICAS DE FUNCIONES.-Rprsntar gráficamnt las guints funcions :

14 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.- Dscomponr l númro 9 n l producto d dos factors d tal forma qu la suma d éstos sa mínima. 6.- Dscomponr l númro 98 n dos sumandos tals qu la suma d sus raícs cuadradas sa máima. 7.- Una finca rctangular tin m d suprfici. Calcula las dimnons d los lados para qu l prímtro sa mínimo. 8.- Con cartulinas d 8 dm una mprsa quir fabricar cajas n tapa, cortando cuadrados iguals n las squinas d la cartulina doblándola. cómo db cortar los cuadrados para qu la capacidad d la caja sa máima? 9.- S quir hacr un dpóto abirto con bas cuadrada d 8 l d capacidad. Elgir las dimnons para qu la suprfici dl dpóto sa mínima.

15 COLEGIO SANTO DOMINGO DE GUZMÁN-OVIEDO Curso -.- Una hoja d papl db contnr 6 cm d tto imprso. Los márgns suprior infrior dbn sr d cm cada uno, los márgns latrals d cm. S pid calcular las dimnons d la hoja para qu l gasto dl papl sa mínimo..- Hallar los cattos d un triángulo rctángulo d hipotnusa cm qu ngndra al girar alrddor d uno d sus cattos l cono d volumn máimo. ( V r h ).- A una vntana d m d ára s l quir construir un marco d madra. El cost por cada mtro d altura d la vntana s, por cada mtro d ancho s,8. Hallar las dimnons dl marco más conómico?.- D todos los cilindros d 6 m d volumn, hallar l radio d la bas la altura dl qu tin ára total mínima..- En un rctángulo d m d prímtro, s sustitun los lados por smicírculos triors.hallar las dimnons dl rctángulo para qu l ára d la figura rsultant sa mínima..- Un alambr d m d longitud s corta n dos trozos, con uno d llos s hac un cuadrado con l otro trozo un círculo. Hallar l lado dl cuadrado l radio dl círculo para qu la suma d las áras sa mínima. 6.- Calcular l radio d la bas la altura dl cilindro inscrito n una sfra d radio m para qu la suprfici latral sa máima. 7.- Frnt a dos puntos d la costa distants ntr sí millas, stán fondados dos barcos, l Xurlo l Fanca a millas d la costa rspctivamnt. cuál db sr la tractoria d un bot qu salindo dl Xurlo dj a un pasajro n la orilla s dirija al Fanca para qu la tractoria sa mínima? 8.-S quir hacr una caja con tapa d volumn 7 cm. Los lados d la bas han d sr tals qu uno mida l dobl qu l otro. Hallar las dimnons para qu la suprfici total sa mínima. 9.- D todos los triángulos isóscls d cm d prímtro, hallar l d ára máima..- D todas las rctas qu pasan por P (, ), hallar la qu dtrmina con la part potiva d los js d coordnadas, l triángulo d ára mínima..-d todos los triángulos rctángulos cua suma d cattos s cm, hallar l d ára máima..-un triángulo isóscls d 6 cm d prímtro, gira alrddor d la altura corrrspondint al lado dgual, gnrando un cono. Halla la bas dl triángulo para qu l volumn sa máimo..- Doblar un trozo d alambr d cm d longitud d modo qu form un rctángulo d ára máima..- Un granjro dispon d m d valla para crrar dos corrals iguals rctangulars adacnts. qué dimnons dbn tnr los corrals para qu l ára ncrrada sa máima?.- Hallar l punto o puntos d la rcta + + = cua distancia al punto P (, ) sa mínima. ( rsolvrlo también gométricamnt)