tg 3 SOLUCIONARIO UNIDAD 5: Trigonometría II 2 x 2k2 ACTIVIDADES-PÁG. 112

Transcripción

1 MtemáticsI UNIDAD 5: Trigonometrí II ACTIVIDADES-PÁG.. L primer iguldd es verdder y ls otrs dos son flss. Pr probrlo bst con utilizr l clculdor.. El áre del círculo es π 0 = 56,64 cm. El ldo y l potem del heptágono regulr de rdio 0 cm miden 7,6 y 8,0 cm, respectivmente. Su 7 7,6 8,0 áre mide 094,90 cm. El áre entre el círculo y el hexágono será 56,64 094,90 = 6,74 cm.. Ls soluciones de ls ecuciones son: x 45º 60º k; k Z ) x x 5º 60º k; k Z x,5º 80º k; k Z x,5º 80º k; k Z b) ( x ) 0,5 x k ; k Z x k ; k Z c) x x x 0º 60º k; x 0º 60º k; k Z k Z 4. El vlor de l expresión es: 0º 50º 0º 50º 80º 0º 80º 0º 0º ACTIVIDADES-PÁG. 5. Llmmos B ls vcs blncs y N ls vcs negrs: 5 (4B + N) = 4 (B + 5N) 0B + 5N = B + 0N 8B = 5N Dn más leche ls vcs negrs.. El número de nrnjs de l pirámide es: = 40 nrnjs. 75

2 MtemáticsI ACTIVIDADES-PÁG. 7. ) Procedemos como se explic en el texto y teclemos los siguientes textos: (α + β) = +(α + β) α β α β = +((α)*(β)- sin(α)*sin(β)) y obtenemos un dibujo como el siguiente: b) Procedemos como se explic en el texto y teclemos los siguientes textos: (α + β) = +tn(α + β) = +((tn(α)+tn(β))/(-tn(α)*tn(β))) y obtenemos un dibujo como el siguiente: 76

3 MtemáticsI Not: Pr escribir l expresión utilizmos Insert Texto y escribimos lo que muestr l imgen seleccionndo en Fórmul LTex l fcción /b.. Pr l resolución de l ecución propuest seguimos ls etps. ) En el Menú contextul de los ejes coordendos cmbimos ls uniddes sí como el vlor de l distnci entre ls mrcs de grdución. x b) En el Cmpo de Entrd introducimos ls funciones f(x) = x y g(x) = x (x ) con el comndo Función [ x, -π, π] y Función [ (x ), -π, π] y observmos sus gráfics. c) Pr hllr ls soluciones, con l herrmient Intersección de dos objetos, hcemos clic sucesivmente sobre mbs gráfics en ls proximiddes de los puntos de corte. d) En el Menú contextul de los puntos hlldos podemos visulizr sus coordends, de form que ls bsciss de estos son ls soluciones buscds. e) Introducimos el texto que prece en el dibujo. 77

4 MtemáticsI. Procediendo como en el ejercicio nterior, obtenemos: ) x + x = en [0, π] b) x + x = en [0, 4π] ACTIVIDADES-PÁG Si y el ángulo está en el segundo cudrnte, entonces y Si b y el ángulo b pertenece l curto cudrnte, entonces b y b Teniendo en cuent los teorems de dición, obtenemos: 4 4 ) ( + b) = b) ( - b) = - c) ( + b) =

5 MtemáticsI. Teniendo en cuent ls formuls del ángulo doble y los teorems de dición, obtenemos: ) 90º = ( 45º) = 45º 45º = b) 90º = ( 45º) = 45º - 45º = 0 c) 0º = ( 60º) = d) 0º = ( 60º) = e) 0º = ( 60º) = f) 05º = (45º + 60) = g) 05º = 4 h) 05º =. Teniendo en cuent que =,5 y b = -,5 y los teorems de dición, obtenemos: ) ( + b) = - 0,05 b) ( b) = -,4545 c) ( + b) = 0,98 En este último prtdo hy que tener en cuent que = -,4. 4. Pr ello es suficiente con utilizr los teorems de dición pr el o, coo y tngente estudidos en est unidd. 5. Desrrollndo y operndo, obtenemos: (b c) b ( c) + c ( b) = = b c c b - b c + b c + c b c b = 0 6. Tenemos en cuent l relción: ( + b) ( b) = ( b b) ( b + b) = = b b 79

6 MtemáticsI A prtir de est expresión obtenemos ls dos igulddes: b b = ( b) ( ) b = b b b = b ( ) ( b) = b 7. Qued: ) = ( + ) = 4 b) 4 = ( ) = (4 8 ) 8. Si 80º = 0,7, entonces 80º = 0,98 y 80º = 5,76. Los vlores pedidos, teniendo en cuent ls fórmuls del ángulo doble, son: ) 60º = ( 80º) = 0,4 b) 60º = ( 80º) = - 0,94 c) 60º = ( 80º) = - 0,6 9. Si 80º = 0,7, entonces 80º = 0,98 y 80º = 5,76. Los vlores pedidos, teniendo en cuent ls fórmuls del ángulo mitd, son: 80º ) 40º = 80º = 0,64 ; 40º = 80º = 0,76 ; 40º = = 0,84 40º b) 0º = 40º = 0,4 ; 0º = 40º = 0,94 ; 0º = = 0,6 0º c) 0º = 0º 0º = 0,7 ; 0º = = 0,98 ; 0º = = 0,8 0. Si cot g, entonces. El vlor de tngente es: 0 o. Expresmos tods ls rzones en función de y y opermos: 80

7 MtemáticsI 8 ) 0 ) ( b) ) (. L comprobción puede hcerse de l siguiente mner: ) b) co co = c) d) ) ( ) ( ACTIVIDADES-PÁG. 9. Los vlores pedidos son: 0, , s

8 MtemáticsI 4. Si y el ángulo es del curto cudrnte, el vlor del coo es 8. El vlor de / es: Los vlores de ls rzones pedids son: y Qued expresdo del siguiente modo: ) b) ( ) 7. Los resultdos son: 50º 50º ) 50 50º 50º º 75º 5 60 b) cot g 5 60= - 60 = - 95º 75º º 00º 0 0 c) 0 60º 00º 0 0 = - 8. ) Desrrollmos el numerdor de l frcción teniendo en cuent los teorems de dición, opermos y vemos que coincide con el numerdor, por tnto, el resultdo de l frcción se. b) Se demuestr del siguiente modo: 8

9 MtemáticsI ( b) ( b) ( b) ( b) ( b) b b. 9. Ls soluciones de ls ecuciones son: ) 5 x x k o x k con k, k Z b) x x 9 k o x k con k, k Z c) x x k con k Z 6 d) 8 ( x ) x 4k o x 4k con k, k Z e) x 0º = 0 x 0 º 0º k o x 50º 0º k con k k Z, x 45º f) cot g x 5 º 60º k con k Z 0. Ls soluciones de ls ecuciones son: ) x = x x x = x x x x = 0 x = 0; x = x = 90º + 80º k con k Z. b) x + x = x x x = x x x x = 0 x = 0; x = x = 90º + 80º k con k Z; x = 5º + 80º k con k Z y x = 75º + 80º k con k Z. c) 4x = x x x = x x x x = 0 x ( x ) = 0 x = ; x = 0 x = 0º + 90º k con k Z; x = 0º + 80º k con k Z y x = 50º + 80º k con k Z. d) x 6x = 5x + x - 4x (- x) = 4x x 4x ( x x) = 0 4x = 0 x = 45º k con k Z 8

10 MtemáticsI x x = 0 x ( x )= 0 x = 0; x = x = 90º + 80º k con k Z; x = 0º + 60º k con k Z y x 4 = 50º + 60º k 4 con k 4 Z. e) x x = 6 x x x 6 x = 0 x ( x x) = 0 x = 0 x = 0º + 80º k con k Z x x = 0 x ( x) = 0 x = 80º k con k Z y x = 50º + 80º k con k Z. x = 0º + f) x = x x ( x ) = 0 x = 0; x = x = 0º + 80º k con k Z; x = 60º + 60º k con k Z y x = 00º + 60º k con k Z.. Ls soluciones de ls ecuciones son: ) x = + x x = + x x + x = 0 x = x = 90º + 60º k con k Z x x x b) sec x + x = x x con k, k Z x 0 x k x x k x x c) 6 + x = 6 x x x x = - x = 0º + 60º k con k Z; x = 40º + 60º k con k Z d) 6 x + 6 x = 5 + x 6 = 5 + x x = x = 90º + 60º k con k Z x e) x x = x x = 50º + 80º k con k Z x = 0º + 80º k con k Z y f) x = x = 4 x x = x = 50º + 80º k con k Z x = 0º + 80º k con k Z y 84

11 MtemáticsI. Ls soluciones de ls ecuciones son: ) x + x= x x (x + 60º) = x = 0º + 60º k con k Z b) x + x = x x (x + 45º) = x = 45º + 60º k con k Z c) x + x = 5 Imposible y que x + x.. Ls soluciones de los sistems, en el primer giro, son: ) Summos mbs ecuciones y obtenemos: x + =, entonces x =. Sustituyendo el vlor nterior en l primer ecución y operndo, obtenemos: y = y = y e y. Ls soluciones del sistem son:, y, b) Summos mbs ecuciones y obtenemos: (x + y) =, entonces (x + y) = 90º o x = 90º - y. Sustituyendo l expresión nterior en l primer ecución y operndo, obtenemos: (90º - y) y = y = y. 4 4 Ls soluciones del sistem son: (60º, 0º); (00º, 50º); (40º, 0º) y (0º, 0º). c) De l segund ecución obtenemos: x + y = 0º, entonces x = - y Sustituyendo en l primer ecución, obtenemos: (- y) + y = y = y =. Ls soluciones del sistem son: (00º, 60º) y (60º, 00º). d) Despejmos y = 90º - x en l primer ecución y sustituimos en l segund: x ( 90º x) 45º ( x 45º) ( x 45º) x 45º 0º ó x 45º 0º

12 MtemáticsI Ls soluciones del sistem son: (5º, 75º) y (75º, 5º). ACTIVIDADES-PÁG Según l siguiente figur: Llmndo β l ángulo bjo el cul se ve el pedestl, tenemos: 60, ; x x x 60,8 x x 6,8 x x x 7,x 745 x,7 m. L nchur del río es de,7 metros. 5. Se el esquem: Los cálculos quedn: H 60º H 6 H 0,9 m. 6 h 0º h 6 h,46 m. 6 En l expresión, sustituimos H 6 y h, y obtenemos: 6 86

13 MtemáticsI h H H 6 H h 7h 6 H 0 h 6 h H 6 Est es relción que lig mbs lturs. Relción que se verific pr los vlores obtenidos nteriormente. 6. A prtir del desrrollo de (A + B + C) y de sustituir A + B + C = 80º, obtenemos l expresión buscd: A ( B C) ( A B C) A ( B C) A ( B C) A B C B C A A B C B A C Como A + B + C = 0, entonces (A + B + C) = 0 y qued A + B + C = A B C 7. Se el triángulo: El áre del triángulo es: S bse ltur c h Vmos clculr h: h A x h B c x A B h c A B De modo que sustituyendo en el áre obtenemos l fórmul buscd. S A B c c A B c A B A B 8. En el dibujo djunto prece l nten, AC, y los cbles, uno de ellos BC. En el dibujo puede precirse el triángulo ABC, rectángulo en A, con el ángulo en B de 75º y sus ldos son: - AC l longitud de l nten, - AB l mitd de l digonl de l bse, - BC l longitud de uno de los cbles. 87

14 MtemáticsI L medid de AB es l mitd de l digonl del cudrdo de ldo 80 m, por tnto: AB D AB 56, 57 m Clculmos l longitud de cd cble y l longitud de l nten en el triángulo ABC: 75º 56,57 L cble L cble 56,57 75º L cble 8,57 m. Lnten 75º Lnten 56,57 75º Lnten, m. 56,57 9. Se el dibujo del enuncido: En el triángulo ABC : El ángulo C vle C = 80º - 7º - 49º = 59º. Utilizndo el teorem de los os: 00 59º AC 49º BC 7º AC BC º 59º 7º 59º 056,56,44 En el triángulo ABC : El ángulo C vle C = 80º - 47º - 8º = 5º. 88

15 MtemáticsI Utilizndo el teorem de los os: 00 5º AC 8º BC 47º AC BC º 5º 47º 5º 59,08 9,9 Determinmos l longitud del cble, L cble, en el triángulo AC C plicndo el teorem del coo: L cble 056,56 59,08 056,56 59,08 5º L cble 75,6 m. ACTIVIDADES-PÁG. ) L distnci que buscmos es d = OH, como puede verse en l figur. El triángulo OHC es rectángulo en H y que el rdio y l tngente en H son perpendiculres. Aplicndo el teorem de Pitágors y operndo, obtenemos: ( R h) R d R h Rh R d h Rh d d h Rh d Rh En l expresión finl no se h tenido en cuent h, y que su vlor será prácticmente nulo comprdo con el vlor de Rh. Pr el cso de un person que teng los ojos h =,8 m = 0,008 km del suelo y ddo que el rdio de l Tierr es R = 67 km, tenemos: d 67 0,008 4,789 km. b) En este cso hy que clculr l distnci d, correspondiente l rco de círculo PH. En el triángulo OHC podemos clculr: R R h R rc R h 89

16 MtemáticsI En el triángulo curvilíneo PHC tenemos en cuent l relción rco = rdio ángulo y obtenemos: d R rc R R h Pr h =,8 m = 0,008 km, obtenemos: 67 d 67 rc 4,789 km. 67 0,008 El resultdo es prácticmente igul l obtenido con nterioridd. Esto es debido que R y R + h tienen vlores muy próximos y, por tnto, el ángulo es muy pequeño. c) En l gráfic pueden verse ls gráfics de ls funciones que relcionn l distnci l horizonte, tomndo o no el término h. Ests funciones son: d h 67 h y D 67 h En l gráfic pueden verse ls gráfics de ls funciones de ls distncis l horizonte: d h 67h y 67 d 67 rc 67 h 90

17 MtemáticsI d) Debemos resolver l siguiente ecución: 50 R h h h ,96 km. Tendrímos que subir unos 00 m de ltur. R e) Desde un ltur h se puede ver un csquete esférico de ltur R ( α), donde rc R h Teniendo en cuent que el áre de un csquete esférico viene dd por l fórmul A = πrh, tenemos: R A R R rc A R R h Tomndo l ltur del Everest h = 8848 m = 8,848 km, tenemos: R R h A , km. 9