ESTRUCTURA DE LA MATERIA

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1 /4/8 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

2 /4/8 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 4 /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 5

3 /4/8 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA Gráfica e niveles energéticos el átomo e hirógeno E s p p p D=9 s p p p D=4 /4/8 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 6 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 s D= /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 8

4 /4/8 Qué pasa si queremos graficar los orbitales? Generalmente no se puee Una gráfica e: Ψ n,l,ml ( x, y,z) O mas bien e: ( ) Ψ n,l,ml r,θ,φ Nos mostraría el comportamiento e caa orbital. Pero para poer graficar la función e ona completa necesitaríamos cuatro imensiones. Entonces, qué son los cacahuates y las onas que aparecen en los libros? /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 Como se ha mencionao anteriormente, el potencial el núcleo el átomo e hirógeno (y por cierto el e toos los emás átomos) tiene simetría esférica y la resolución e la ecuación e ona puee llevarse a cabo meiante el empleo e coorenaas polares. De esta forma se obtienen funciones e ona para caa triaa e valores e n, l y m l. Estas funciones e ona están compuestas por varios términos que pueen agruparse e la siguiente forma:! Ψ = R n,l,m l n,l ( r) Θ l,ml ( θ ) Φ l ( φ) /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA La función R(r) se enomina función e ona raial mientras que el proucto Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ) es la función e ona angular. Entonces, la representación e cualquier función e ona requerirá e un espacio e cuatro imensiones (4D), lo que hace que sea imposible visualizarlas. Pues icho espacio es inaccesible en la tierra que es D. Es por ello que que es necesario separar las os funciones mencionaas más arriba para estuiarlas por separao. Una vez que hemos separao la función raial e la función angular, poremos estuiarlas y visualizarlas. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4

5 /4/8 La parte raial e la función e ona De forma general, la función e ona raial e los orbitales hirogenoies es una expresión que epene e: n = número cuántico principal, e la istancia al núcleo y que puee expresarse en términos el raio e a que es el raio e Bohr (.59Å) a = 4πε! m e e =.59897Å La siguiente tabla muestra los valores e esta función para varias funciones e ona u orbitales. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA La parte raial e la función e ona La función e ona raial, tabla e valores e R nl n l R nl (r) nombre a e r a a r a e s s p /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA r a a r a e r a La parte raial e la función e ona La función e ona raial, tabla e valores e R nl n l R nl (r) nombre a r + a 7 r a a 4 e a r 6a r e a a 7 5 r a e s p /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 r a r r a 5

6 /4/8 La parte raial e la función e ona Funciones raiales para átomos hirogenoies: n=, l=: R, r e Zr a ( ) = Z a n=, l=: Z R, ( r) = a Zr a n=, l=: Z Z R, ( r) = a r a e /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 5 r a e Zr a La parte raial e la función e ona Más funciones raiales para átomos hirogenoies: n=, l=: R, ( r) = Z a Zr + a 7 Zr Zr a e a n=, l=: Z R, ( r) = a 4 Zr 6a Zr a n=, l=: Z R, ( r) = a 7 5 Zr a e a /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 6 e Zr a Zr El comportamiento raial e los orbitales Las funciones anteriores representan el comportamiento e los orbitales respecto al raio atómico. Z es la carga nuclear y a es el raio e Bohr o el raio más probable (5.9pm). Y se etermina con la masa (m e ) y la carga el electrón (e - ) así: h a = 4π m! e e La más importante característica e estas funciones, es que toas presentan un ecaimiento exponencial. Y aemás el raio más probable siempre epene e n y e l, y se calcula con esta ecuación: ( ) n r = a Z l l + n! /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 6

7 /4/8 La parte raial e los orbitales Y Cómo son los orbitales? Primero el orbital s La parte raial e los orbitales Y Cómo son los orbitales? Ahora el orbital s La parte raial e los orbitales Y Cómo son los orbitales? Ahora los orbitales p, p, 4p y toos juntos. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 7

8 /4/8 La parte raial e los orbitales Y Cómo son los orbitales? Ahora si toos juntos el s hasta el. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA La parte raial e la función e ona Toas las funciones raiales, para cualquier valor e n, presentan una característica común y es que ecaen exponencialmente con la istancia hasta el núcleo. Este ecaimiento es tanto más pronunciao cuanto menor sea el valor el número cuántico n. Otra característica es la posibilia e que en algún punto la función e ona sea cero. Ello no sucee para un orbital s, pero sí para los orbitales s y s. Estos valores para los que la función e ona raial se hace cero se enominan noos raiales. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA La parte raial e la función e ona En un noo, la probabilia e encontrar al electrón es cero. Un orbital presentará n-l- noos raiales, inepenientemente el valor e m l. Así el orbital s (n =, l = y m l = ) posee un noo raial. En tanto que el orbital s (n =, l =, m l = ) tiene noos raiales. De la expresión e la función raial es posible obtener el valor o valores e r one la función vale cero. Así, por ejemplo, el noo el orbital s aparece en un valor e r=.59 Å. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 8

9 /4/8 Parte angular e los orbitales Y la parte angular? Pues recoramos cuáles son las transormaciones Z De coorenaas cartesianas a polares: Empleano estas transformaciones trigonométricas x = rsenθ cosφ y = rsenθ senφ z = rcosθ X x, y, z r, θ, φ /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 φ θ r Y Parte angular e los orbitales La parte angular e la función e ona (compleja) l m l Y lm (q,f) nombre - π π cosθ senθ eiφ π senθ e iφ π /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 5 s p p p Parte angular e los orbitales La parte angular e la función e ona (real) l m l Y lm (q,f) nombre - π π cosθ senθ cosφ π senθ senφ π /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 6 s p p p z x y 9

10 /4/8 Parte angular e los orbitales La parte angular e la función e ona (Cartesianas) l m l Y lm (q,f) nombre - π π π π z x + y + z x x + y + z y x + y + z /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 s p p p z x y Parte angular e los orbitales Y la parte angular? Soluciones complejas l m l Y lm (q,f) nombre π ( cos θ ) 5 senθ cosθ eiφ π 5 senθ cosθ e iφ π 4 5 π sen θ e iφ 4 5 π sen θ e iφ /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 Parte angular e los orbitales Y la parte angular? Soluciones reales l m l Y lm (q,f) nombre π ( cos θ ) 5 cosθ senθ cosφ π 5 cosθ senθ senφ π 4 5 π sen θ senφ 4 5 π sen θ cosφ /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 9

11 /4/8 Parte angular e los orbitales Y la parte angular? Cartesianas l m l Y lm (q,f) nombre x y π z x + y + z 5 π x z x + y + z 5 π y z x + y + z 5 π x y x + y + z 4 5 π x y x + y + z /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA z xz yz xy El sentio físico nos lo a el cuarao e la función e ona. Empecemos por la parte raial (integral respecto a r), la integral en una región nos a la probabilia e encontrar al electrón en esa región. Entonces, el cuarao e la función e ona puee igualarse a la ensia electrónica o a la probabilia e que el electrón se encuentre en un elemento e volumen. Es ecir, Ψ (r, q, f) mie la probabilia e que un electrón se encuentre en el elemento e volumen v. Aemás, si la probabilia e encontrar al electrón en un sitio es grane, la ensia electrónica en ese sitio será x -y grane. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA Así, poemos ecir que la probabilia e encontrar al electrón en un sitio particular es lo mismo que hablar e la ensia electrónica e ese punto. Entonces, la ensia electrónica o ensia e probabilia son formas e representar a los electrones en los átomos Y escriben a los electrones localizaos en una región específica el espacio con valor e la ensia en caa punto el espacio. Es claro entonces que estamos interesaos principalmente en la probabilia e encontrar al electrón en iversos puntos el espacio. O aun mejor, la ensia electrónica en una zona. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA

12 /4/8 Si consieramos una función e ona esféricamente simétrica, por ejemplo un orbital s e un átomo hirogenoie, la probabilia e encontrar al electrón en el elemento e volumen t es Y t Pero t=4π r r entonces la ensia e probabilia raial es: ( ) Pr = 4π r R r r+r r La parte raial e los orbitales Y Cómo son los orbitales? Primero la primera capa, con un orbital el s La parte raial e los orbitales Ahora los orbitales e la seguna capa s y p /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 5

13 /4/8 La parte raial e los orbitales Ahora los orbitales e la tercera capa s, p y : La parte raial e los orbitales Ahora comparamos los orbitales s e estas tres capas Gráfica biimensional el orbital s /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 6 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 8

14 /4/8 Gráfica biimensional el orbital s Gráfica biimensional el orbital s Gráfica biimensional el los tres orbitales /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 4

15 /4/8 Too junto La parte raial e los orbitales Y finalmente los comparamos toos: La parte angular e los orbitales Y tienen esta forma: s s s /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 44 5

16 /4/8 La parte angular e la función e ona En tanto que para los orbitales p z, tiene esta forma: l =, m l = : Θ( θ )Φ φ! ( ) = 4π cos( θ ) Los orbitales p x y p y tienen una epenencia e Θ(θ) y Φ(φ) iferente pero la misma forma, es ecir únicamente se orientan en el espacio e manera iferente. La parte angular e los orbitales Y su forma es así: p x p y p z La parte angular e la función e ona Finalmente en el caso el orbital z se tiene esta epenencia angular e la función e ona: l =, m l = : Θ( θ)φ φ 6π ( ) = 5 cos ( θ ) Los emás orbitales también tienen una epenencia e Θ(θ) y Φ(φ) iferente. Y también tienen iferentes orientaciones en el espacio. /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 45 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 46 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 47 6

17 /4/8 La parte angular e los orbitales Y tienen esta forma: z x-y xy /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 48 Consierano lo anterior, vemos que los tres números cuánticos n, l y m l eterminan los posibles estaos energéticos y su ensia electrónica corresponiente. En particular la energía y el número e orbitales están efinios por n, así: n Done K vale. kj/mol, Z la carga! E n = K Z n E l m n -. (s) -8. (s),(p) +,, (s),(p),() +,+,,-, (4s),(4p),(4),(4f) +,+,+,,-,-,- 6 /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 49 La información e la tabla anterior se puee representar gráficamente por meio e un iagrama e energías. l = 4 Done caa casilla (n = 4) 7.7 representa un orbital (n = ) kj/mol que puee ser ocupao por un electrón. Así, para el átomo e hirógeno presentamos la energía para caa uno e los estaos (funciones e ona) el sistema. (n = ) 8. (n = ). Esto lo presentamos aquí:. kj/mol /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 5 7

18 /4/8 Otros átomos hirogenoies, también tienen esquemas similares, excepto que ebio a que la energía epene e Z, los valores obtenios son mayores. Así, las cantiaes en rojo son kj/mol /4/8 ESTRUCTURA ATÓMICA 5 8

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