5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Repaso Variables Aleatorias. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

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1 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Repaso Variables Aleatorias Jorge Eduardo Ortiz Triviño

2 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN 2. VARIABLES ALEATORIAS 3. TEOREMA FUNDAMENTAL. 4. GENERADORES DE V.A. 5. GENERALIZACIÓN DELTEOREMA FUNDAMENTAL. 6. GENERADORES DE VECTORES ALEATORIOS.

3 1. INTRODUCCIÓN MUNDO REAL DECISIONES MODELAR EXPERIMENTAR? IMAGEN DEL MUNDO REAL MODELO OBTENER RESUL- TADOS: EXPERIMENTAR

4 1. INTRODUCCIÓN Hasta el momento se han simulado sistemas cuya densidad es uniforme. Es decir si X U a, b 1 significa que f X ( x) I, x ab b a entonces X a b au donde U es un número aleatorio. Por fortuna todas las técnicas se basan en generadores uniformes, y por tanto comparten las características de estos. 4

5 1. INTRODUCCIÓN Pero Cómo simular comportamientos más complejos que los uniformes? Por ejemplo, Cómo simular eventos exponenciales 1 x f ( x) exp x El principal método de generación que estudiares es el método de la transformación inversa: Teorema Fundamental de la Simulación. También estudiaremos otras técnicas basadas en transformaciones. 0? 5

6 Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real Ejemplo N 1: 2. Variables Aleatorias X : R = falla, no falla X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1

7 2. Variables Aleatorias Espacio Muestral no falla falla A cada s le corresponde exactamente un valor X(s) X({no falla}) = 0 X({falla}) = IR Conjunto Números Reales X : Rx IR X -1 (-, x) Familia de eventos elementales

8 2. Variables Aleatorias s k A s i X(s) = b; s X(s) = a R X a b El espacio R X es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral El espacio muestral original la Variable Aleatoria X induce un espacio muestra Rx asociado a Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral R X

9 VARIABLES ALEATORIAS X : R X H : R X R Y A s dominio X x R X rango X (s, x) X R X B X(s) B x R X dominio H y R Y rango H (x, y) H R Y C H(x) C s A H(X(s)) C Y : R Y s dominio Y = H(X) y R Y rango Y = H(X) (s, y) Y = H(X) P(C) = P[{ x R X : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}]

10 VARIABLE ALEATORIA: Clasificación Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas Función Cuantía Función de densidad Función de distribución

11 VARIABLES ALEATORIAS Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) f X (x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria. Entonces: Si H(x) discreta Si H(x) continua discreta Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. discreta X es v.a. continua Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. continua

12 VARIABLES ALEATORIAS X U (0,1) Y = ln X derivando con respecto a y tenemos: ) (ln ) ( ) ( y X P y P Y y F Y ) ( ) ( y X y e F e X P y y X y X Y Y e e f dy dx dx e df y F dy d y f ) ( ) ( ) ( ) ( (y) I e R y 1

13 Variable Aleatoria X : R X -1 (-, x) Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C ) Soporte contable f : C R C = c i : i I N i) f(c i ) 0 ii f(c i ) ii) = 1 Usando la transformación X

14 Función de Probabilidad v.a. Discreta A cada resultado posible x i se asocia un número f(x i ) = P(X(s) = x i ) llamado la probabilidad de x i Los f(x i ) deben satisfacer 0 f(x i ) 1; i = 1, 2, 3,..., n f(x i ) S f(x i ) = 1 i El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x n x P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de masa Función de Frecuencia

15 X(c i ) = x i P(A) = j i: c i C A Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = x i ) 0 2. S P ( X = x i ) = 1 i f(c j ) P( x xi ) 3. Función de Distribución: F(x) = S P ( X = x i ) = S f ( x i ) x i x i x i x

16 Esperanza de una v.a. X X x P( X E ) i i x i Varianza de una v.a. X V X ( x EX i ) P( X 2 i x i )

17 Ejemplo: Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad p. X: N de piezas defectuosas en las n extracciones P( X Entonces n k k nk k) p (1 p) k = 0, 1, 2,...,n

18 E X = np V X = np (1-p) Notación: X B( n, p ) Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que p se hace relativamente constante.

19 Función de Distribución v.a. Discreta F(x) 1 0 F(x) = 0 x < x 1 = S f( x i ) x 1 x < x 2 P(X=x 5 ) = f(x 5 ) Función de Probabilidad de masa Función de Frecuencia 1 i = 1 2 = S f( x i ) x 2 x < x 3 i = 1 3 = S f( x i ) x 3 x < x 4 i = 1 4 = S f( x i ) x 4 x < x 5 i = 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 xn x

20 Variables Aleatorias Continuas Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.) Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = x i ; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde R x es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial f: R R P(x < X < x + h) f(x) = lim h 0 h > 0

21 Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: f(x) A: un evento f(x) > 0; x R x a b A: { x a < x b) x R x f(x) dx = 1 b P(A) = P(a < x < b) f( x) dx a

22 Distribuciones de Probabilidad Continuas Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades: 1. f (x) f( x)dx 1

23 Observaciones P ( a x b) f ( x) dx x F ( x) P( X x) f ( t) dt 3. F (-) = 0 ; F () = 1 4. F x es no decreciente b a f(x) b A f ( x) dx a 5. E X xf ( x) dx a b x R 6. X ( x EX 2 V ) f ( x) dx R

24 Función de Distribución Acumulada Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X x) Si X es una v.a. Discreta S i x i x F(x) = f(x i ) Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen x i x Si X es una v.a. Continua F(x) = x - f(t) dt Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x

25 Construcción de Modelos de Probabilidad II) Sea F : R R, i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 F u Distribución, entonces: Luego P( -, x ) = F(x) define una Probabilidad Además: P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a - ) P( a,b ) = F(b - ) - F(a) P( a,b ) = F(b - ) - F(a - )

26 Variables Aleatorias Continuas f(x) 0,2 Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es: f x 1 ( ) a x b b a Sea a = 3; b = 12 A: el evento { 4 < x < 7 } 0,1 Entonces: 0, a b x P(A) = P(4 < x < 7) dx min máx 4 P(A) = 1 3

27 1. Distribución Uniforme: Dada la función de densidad La función de Distribución es b x a a b x f 1 ) ( b x b x a a b a x a x x F 1 0 ) ( Distribuciones Continuas Especiales

28 E X a b 2 VX ( b a) 12 2 Notación: X U( a, b )

29 Distribuciones Continuas Especiales 2. Distribución Normal f ( x) 1 x e, x R F(x) : No tiene expresión analítica

30 EX 2 V X Notación: X N(, 2 ) Estandarización Haciendo Z se tiene que: X f z ( z) N( 0, 1 ) 1 e 2 1 z 2 2, z R y F Z (z) se obtiene de tablas!

31 Función Densidad de Probabilidades